4、6.2.3 向量的数乘运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6.2.3　向量的数乘运算 [学习目标]　1.了解向量数乘的概念．　2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.　3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法，培养数学抽象、数学运算核心素养． 知识点一　向量的数乘运算 问题1.如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 提示：＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 模 |λa|＝|λ||a| 方向 λa(a≠0)的方向： 特别地，当λ＝0时，λa＝0． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a [微提醒]　(1)数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加． (2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. (3)当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量． 例1　设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　 ) A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C.＝·a D．＝· 答案：D 解析：依题意，λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，但是λ<0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，故A，B错误；由数乘运算的长度的定义可知＝·，故C错误，D正确．故选D. 对数乘向量的三点说明 1．λa中的实数λ叫做向量a的系数． 2．向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍． 3．当λ＝0或a＝0时，λa＝0，注意是0，而不是0.　　 对点练1．(多选)对于非零向量a，下列说法正确的是(　　 ) A．2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同 B．－的长度是a的长度的，且－与a方向相反 C．若λ＝0，则λa等于零 D．若λ＝，则λa是与a同向的单位向量 答案：ABD 解析：对于A，2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同，故A正确；对于B，－的长度是a的长度的，且－与a方向相反，故B正确；对于C，若λ＝0，则λa等于零向量，不是零，故C错误；对于D，若λ＝，则λa是与a同向的单位向量，故D正确．故选ABD. 知识点二　向量的线性运算 问题2.类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？ 提示：数乘向量满足乘法对加法的分配律． 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： (1)λ(μ a)＝λμ_a； 学生用书第12页 (2)(λ＋μ)a＝λa＋μ_a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 例2　(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　 ) A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． 答案：(1)C　(2)4b－3a 解析：(1)原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.故选C. (2)由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 向量线性运算的基本方法 1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． 2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． 对点练2．(1)化简的结果是(　　) A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b (2)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. 答案：(1)B 解析：(1)原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝2b.故选B. (2)(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b. 知识点三　向量共线定理 问题3.如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)? 提示：共线，存在． 问题4.若A，B，C三共点线，O为直线外一点，且＝x＋y，那么x与y有什么关系？ 提示：x＋y＝1，证明如下： 因为A，B，C三点共线， 所以存在实数λ，使得＝λ， 即－＝λ(－)， 所以＝(1＋λ)－λ， 又＝x＋y， 则x＝1＋λ，y＝－λ， 所以x＋y＝1. 问题5.若＝x＋y，且x＋y＝1，那么A，B，C三点共线吗？ 提示：共线．证明如下：由＝x＋y，且x＋y＝1，可得＝x＋(1－x)＝x＋－x，即－＝x(－)，所以＝x，由向量共线定理，得与共线，故A，B，C三点共线． 1．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． [微思考]　共线向量定理中为什么规定a≠0? 提示：向量共线定理中规定a≠0的原因： (1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； (2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线； (3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾． 学生用书第13页 2.向量共线定理的推论 在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(O为平面内直线AB外任意一点)，其中x＋y＝1. 例3　设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． 解：(1)证明：因为＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， 所以与共线，且有公共点B， 所以A，B，C三点共线． (2)因为8a＋kb与ka＋2b共线， 所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， 因为a与b不共线，所以 解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4. 1．证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． 2．利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．　　 对点练3．已知向量a，b不共线，若＝a＋2b，＝－3a＋7b，＝4a－5b，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 答案：B 解析：对于A，因为＝a＋2b，＝－3a＋7b，若A，B，C三点共线，则存在实数λ使得＝λ，则无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；对于B，因为＝＋＋＝a＋2b－3a＋7b＋4a－5b＝2a＋4b，所以＝2(a＋2b)＝2，又因为A是公共点，所以A，B，D三点共线，故B正确；对于C，因为＝a＋2b，＝－3a＋7b，所以＝－2a＋9b，若A，C，D三点共线，则存在实数λ使得＝λ，又＝4a－5b，所以无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数λ使得＝λ，又＝－3a＋7b，＝4a－5b，所以无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误．故选B. 用已知向量表示未知向量 例4　在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设＝a，＝b，试用a和b表示. 解：因为B，C，D三点共线，且CD＝2BD，所以＝. 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. [变式探究] (变条件)若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？ 解：法一：如图①，因为＝－，且CD＝BD， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b). 法二：如图②，以AB，AC为邻边作▱ABEC，则＝＋， 因为CD＝BD，所以D是AE的中点． 所以＝＝(＋)＝(a＋b). 用已知向量表示其他向量的两种方法 1．直接法 2．方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　　 对点练4．(1)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且＝，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．－a＋b C．a－b D．－a－b (2)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，则向量＝________．(用a，b表示) 答案：(1)A　(2)b＋a 解析：(1)如图所示，＝－＝－＝(－)＋＝＋＝a＋b.故选A. (2)＝＋＝＋＝b＋a. 知识 (1)向量的数乘及运算律．(2)向量共线定理．(3)三点共线的常用结论． 方法 数形结合、分类讨论． 易错误区 忽视零向量这一个特殊向量． 学生用书第14页 1.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝(　　) A．－＋ B．＋ C．－ D．－ 答案：D 解析：＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋＝－.故选D. 2．(多选)下列运算正确的是(　　) A．(－3)·2a＝－6a B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0 D．2(3a－b)＝6a－2b 答案：ABD 解析：根据向量数乘运算和加、减运算律知A，B，D正确；对于C，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误． 3．化简4(a－3b)－6(－2b－a)＝________． 答案：10a 解析：4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a. 4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝______． 答案：－ 解析：因为A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得＝λ，又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以解得k＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$