3、6.2.2 向量的减法运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2.2　向量的减法运算 [学习目标]　1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解向量减法的几何意义，培养数学抽象核心素养．　2.掌握平面向量的减法运算及运算法则，培养数学运算核心素养． 知识点一　向量的减法运算 问题1.在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？ 提示：减去一个数等于加上这个数的相反数． 1．相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2．向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法． [微提醒]　(1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 例1　(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是(　　 ) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 答案：BCD 解析：相反向量的大小相等、方向相反，故A错误．故选BCD. 向量的减法运算可看作向量加法与相反向量的综合．　　 对点练1．(多选)下列命题中，正确的是(　　 ) A．相反向量就是方向相反的向量 B．向量与是相反向量 C．两个向量的差仍是一个向量 D．相反向量是共线向量 答案：BCD 解析：由相反向量的定义知B，D正确，且C正确，A错误，故选BCD. 学生用书第9页 知识点二　向量减法的几何意义 问题2.向量加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么如何进行向量的减法运算呢？ 提示：转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义． 例2　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 1．可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． 2．可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　　 对点练2．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解：如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 应用一　向量加、减法的混合运算 例3　(1)已知正六边形ABCDEF，则＋－＝(　　) A． B． C． D． (2)(多选)下列结果为零向量的是(　　) A．＋(－) B．－＋－ C．－＋ D．＋＋－ 答案：(1)B　(2)BCD 解析：(1)如图，由正六边形的特征可知＝，＝，所以＋－＝＋－＝＝.故选B. (2)对于A，＋(－)＝＋(＋)＝＋＝≠0，故A不正确；对于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故B正确；对于C，－＋＝＋＝0，故C正确；对于D，＋＋－＝＋－＝－＝0，故D正确．故选BCD. 向量加减法运算的基本方法 1．利用相反向量统一成加法(相当于向量求和). 2．运用减法公式－＝(正用或逆用). 3．运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．　　 对点练3．化简下列式子： (1)－－－； (2)(－)－(－). 解：(1)原式＝＋－＝＋＝0. (2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0. 学生用书第10页 应用二　向量加、减法的综合应用 例4　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：由平行四边形的性质可知＝＝c， 由向量的减法可知＝－＝b－a， 由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c. [变式探究] (变条件)若本例中的条件“B是该平行四边形外一点”变为“B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c. 1．解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．　　 2．主要应用向量加、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养． 对点练4．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 解：(1)＝－＝c－a. (2)＝－＝d－a. (3)－＝＝－＝d－b. (4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c. (5)－＝－－(－)＝f－b－d＋b＝f－d. 知识 (1)向量的减法运算．(2)向量减法的几何意义． 方法 数形结合 易错误区 忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算． 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　 ) A．a B．a＋b C．b－a D．a－b 答案：D 解析：＝－＝a－b.故选D. 2．化简－＋＋等于(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.故选B. 3．在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　 ) A.a－b＋c　　　 B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 答案：A 解析：＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.故选A. 4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝______． 答案：2 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$