2、6.2.1 向量的加法运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6.2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 [学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念，培养数学抽象核心素养．　2.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何意义．　3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，培养直观想象核心素养． 知识点一　向量加法的定义及三角形法则 问题1.某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的一种方法吗？ 提示：如右图所示，这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以看作是与的和；三角形法则． 1．向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋00＋a＝a. 2．三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝． [微提醒]　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”． 例1　(1)已知平面四边形ABCD，则＋＋＝(　　) A． B． C． D．0 (2)如图所示， ①a＋b＝________； ②c＋d＝________； ③a＋b＋d＝________； ④c＋d＋e＝________． 答案：(1)A　(2)①c　②f　③f　④g 解析：(1)＋＋＝＋＝. (2)①a＋b＝＋＝c； ②c＋d＝＋＝f； ③a＋b＋d＝＋＋＝＝f； ④c＋d＋e＝＋＋＝g. 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点到最后一个向量的终点，即＋＋…＋＝．　　 对点练1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于(　　) A． B． C． D．0 答案：A 解析：＋＋＝＋＝. 知识点二　向量加法的平行四边形法则 问题2.如图，作AD綉BC， (1)向量与是什么关系？ (2)由向量加法的三角形法则可知，＋＝，则＋与相等吗？ (3)四边形ABCD的形状如何？ 提示：(1)＝. (2)相等． (3)平行四边形． 学生用书第6页 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和． [微提醒]　应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”．向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义． 例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图①所示． (2)法一(三角形法则)：如图②所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，连接OB，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)：如图③所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 向量加法的三角形法则 和平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 对点练2．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝. 知识点三　向量加法的运算律及应用 问题3.请结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则，探索一下|a＋b|与|a|，|b|之间的关系． 提示：(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 问题4.我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示：满足．如图①，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a. 如图②，易得(a＋b)＋c＝＋＝，且a＋(b＋c)＝＋＝，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 　 1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 例3　化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋； (3)＋＋＋＋； (4)＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝0. (4)＋＋＝＋＋＋＋＝. 学生用书第7页 向量加法运算律的意义和应用原则 1．意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． 2．应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 对点练3．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　　 ) A．＋＝ B．＋＋＝ C．＋＋＝ D．＋＋＝0 答案：AD 解析：根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝，故B错误；＋＋＝＋＝，故C错误；＋＋＝＋＝0，故D正确．故选AD. 向量加法的综合运用 例4　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解：作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中， ||＝||＝|v水|＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min， 所以cos α＝＝＝， 所以α＝60°， 从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向． [变式探究] 1．(变设问)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程(单位：km). 解：由例4解析图可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km). 2．(变条件、变设问)若将本例的条件改为“船沿垂直于水流的方向航行”，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角). 解：如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min， ||＝|v水|＝10 m/min， 则tan ∠BAC＝2，即为所求． 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 　　 对点练4．如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计) 解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力， 物体的重力用表示，则＋＝. 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°， 所以∠FCE＝90°，四边形CFGE为矩形，||＝||cos 30°＝10×＝5 (N)，||＝||cos 60° ＝10×＝5(N). 所以A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N． 知识 (1)向量加法的三角形法则．(2)向量加法的平行四边形法则．(3)向量三角不等式．(4)向量加法的运算律． 方法 数形结合 易错误区 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． 学生用书第8页 1．下列三个结论：①若|a＋b|<|a|＋|b|，则a，b不共线；②＝的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则a＝0. 其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案：A 解析：若|a＋b|<|a|＋|b|，则a，b不共线，或反向共线；故①错误；当＝时，应有||＝||，且由点A到点B与由点C到点D的方向相同，但不一定有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错误；若a＋b＝0且b＝0，则a＝0，故③正确．故选A. 2．化简＋＋等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：根据平面向量的加法运算，得＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选C. 3．如图所示，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 答案：D 解析：由于＝，故＋＋＝＋＋＝.故选D. 4．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是________． 答案：等腰直角三角形 解析：以AB，AC为邻边作▱ABDC(如图)，则|＋|＝||＝.又AB＝AC＝1，且BD＝AC，所以AB＝BD＝1，从而△ABD为等腰直角三角形．因此▱ABDC为正方形，故△ABC为等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$