1、6.1 平面向量的概念-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．1　平面向量的概念 [学习目标]　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．　2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念，培养数学抽象核心素养． 知识点一　向量的概念及几何表示 问题1.在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？ 提示：面积、质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向． 问题2.平面直角坐标系中的x轴是如何表示方向的？ 提示：用箭头表示方向． 向量的概念及表示 定义 既有大小又有方向的量叫做向量．只有大小没有方向的量称为数量 表示方法 (1)几何表示法：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向；如：以A为起点，B为终点的有向线段记作； (2)字母表示法：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，) 向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，如a，的模记作|a|，|| [微提醒]　(1)向量有两个要素：大小和方向． (2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示． 例1　给出下列物理量：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案：C 解析：质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量． 判断一个量是否为向量的关键是看它是否具备向量的两个要素；向量可以用有向线段表示，但有向线段不是向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．　　 对点练1．(多选)下列说法中正确的有(　　 ) A．向量的模与向量的模相等 B．有向线段就是向量，向量就是有向线段 C．|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关 D．向量的模可以比较大小 答案：ACD 解析：向量的模与向量的模都等于线段AB的长度，故A正确；有向线段是向量的几何表示，两者并不相同，故B错误；|a|与|b|分别表示向量a与b的大小，与a，b的方向无关，故C正确；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D正确．故选ACD. 学生用书第2页 知识点二　零向量和单位向量 问题3.我们知道向量的模是表示向量的有向线段的长度，那么向量的模是否可以为0或1呢？模为0或1的向量如何定义呢？ 提示：可以为0或1；模为0或1的向量分别定义为零向量和单位向量． 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 [微提醒]　(1)不能说零向量没有方向，它的方向是任意的． (2)单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同． 例2　(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．零向量可以是任意方向 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 答案：ACD 解析：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向是任意的，零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1，故A，C，D正确． 1．单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．　　 2．在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆． 对点练2．(多选)下列说法中错误的是(　　 ) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 答案：ABD 解析：零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，有无数个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．故选ABD. 知识点三　相等向量与共线向量 问题4.如图所示，边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小相等，方向相同． 问题5.如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小不等，方向相同． 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a＝b [微提醒]　在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性． 例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，在每两点所确定的向量中． (1)请写出所有与a的长度相等、方向相反的向量； (2)请写出所有与a共线的向量． 解：(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，. (2)与a共线的向量有，，，，，，，，. 学生用书第3页 [变式探究] 1．(变设问)若本例条件不变，写出与共线的向量． 解：与共线的向量有，，，，，，，，. 2．(变条件、变设问)在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长． 解：因为在正六边形中，相邻两顶点与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1，即正六边形的边长为1. 相等向量与共线向量的探求方法 1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量．　　 对点练3．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝BC.又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)模与的模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有，. 向量的几何表示及应用 例4　在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时，它完成了此片海域的巡逻任务． (1)作出向量，，； (2)求||； (3)在作出的四边形ABCD中，是否一定有＝？ 解：(1)如图所示，作出，，. (2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以AD＝BC＝400 km，所以||＝400 km. (3)一定有＝.因为AB与DC平行且相等，与的方向也相同，所以＝. 用有向线段表示向量的步骤 　　 学生用书第4页 对点练4．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)||＝3，点A在点O北偏西45°方向； (2)||＝2，点B在点O正南方向． 解：(1)因为||＝3，点A在点O北偏西45°方向，所以以O为圆心，3为半径作圆，圆弧与图中正方形对角线OP的交点即为A点，如图①所示． (2)因为||＝2＝，点B在点O正南方向，所以以O为圆心，图中OQ为半径作圆，圆弧与OR的交点即为B点，如图②所示． 　 知识 (1)向量的概念及表示．(2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量). 方法 数形结合 易错误区 零向量和单位向量的方向容易混淆． 1．如图，在圆O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量 答案：C 解析：由题图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆O的半径．故选C. 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．加速度是向量 B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量 C．一人从A点向东走500米到达B点，则向量表示这个人从A点到B点的位移 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 答案：AB 解析：由向量的定义知，加速度是向量，故A正确；B显然正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故C不正确；若两个单位向 量平行，则方向相同或相反，则这两个单位向量不一定相等，故D错误． 3．(多选)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．||＝|| C．＝ D．与共线 答案：AD 解析：因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC中点，即有＝，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则||与||不一定相等，B不正确；点A，O，B不共线，C不正确；平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有与共线，D正确． 4．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________． 答案：菱形 解析：因为＝，所以AB＝DC，AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，因为||＝||，所以四边形ABCD是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$