16、6.4.3 第2课时 正弦定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　正弦定理 　 第六章　6．4　6．4.3　余弦定理、正弦定理 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．　 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题，培养逻辑推理及数学运算核心素养． 知识点　正弦定理 1 课时测评 4 综合应用 2 内容索引 随堂演练 3 知识点　正弦定理 返回 问题导思 (2)当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 新知构建 1．正弦定理的表示 (1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径． (2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 ＝______＝______＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 正弦 2．正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝________； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (5)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A. 2R sin C 例1 角度1　已知两角及任意一边解三角形 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 解：因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 规律方法 已知两角及一边解三角形的一般步骤 对点练1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值． 解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， 变式探究 (变条件)若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形． 因为b<a，所以B＝45°，所以C＝75°， 规律方法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 √ (2)在△ABC中，若a＝6，b＝6 ，A＝30°，则B＝ A．60° B．60°或120° C．60°或150° D．120° √ 返回 综合应用 返回 应用一　判断三角形的形状 (1)若a cos B＝b cos A，则△ABC是________三角形； 例3 等腰 (2)若a cos A＝b cos B，则△ABC是___________三角形． 等腰或直角 规律方法 利用正弦定理判断三角形形状的方法 1．化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状． 2．化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30°的直角三角形 √ 应用二　三角形解的个数的判断 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； 例4 (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解． 规律方法 已知两边及其中一边的对角 判断三角形解的个数的方法 1．应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． 规律方法 2．在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>b sin A 两解 a＝b sin A 一解 a<b sin A 无解 对点练4．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 √ √ √ 返回 课堂小结 知识 (1)正弦定理．(2)正弦定理的变形推论．(3)利用正弦定理解三角形．(4)三角形解的个数的判断． 方法 化归转化、数形结合． 易错误区 已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． 随堂演练 返回 √ √ 3．已知在△ABC中，b＝4 ，c＝2，C＝30°，那么此三角形 A．有一解 B．有两解 C．无解 D．解的个数不确定 √ 返回 在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ . 4．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝__________． 课时测评 返回 √ 1．在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝4，c＝6，C＝60°，则cos B＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．30° B．45° C．60° D．90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．当k＝5时，△ABC是直角三角形 B．当k＝3时，△ABC是锐角三角形 C．当k＝2时，△ABC是钝角三角形 D．当k＝1时，△ABC是钝角三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有 A．A∶B∶C＝a∶b∶c C．若A>B，则a>b D．若A>B，则sin A>sin B √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，则sin A∶sin B∶sin C＝________． 3∶5∶7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)在△ABC中，根据下列条件解三角形： (1)A＝30°，C＝105°，a＝2；(5分) 解：因为A＝30°，C＝105°，所以B＝180°－(A＋C)＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为c>b，所以C＝60°或C＝120°. ①当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝ ＝6. ②当C＝120°时，A＝180°－(B＋C)＝30°＝B， 所以a＝b＝3. 综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为( ＋1)∶2，则最大角为 A．45° B．60° C．75° D．90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是________(填序号). ①sin A>sin B； ②cos A<cos B； ③sin A＋sin B>cos A＋cos B． ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(11分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A－C＝90°，a＋c＝ b，求C. 解：由A－C＝90°，得A为钝角，且A－90°＝C，所以cos (A－90°)＝cos C，即sin A＝cos C， 所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，所以C＝15°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BPC＝90°，AB ＝ ，BC＝1，∠APC＝120°，则tan ∠BCP＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明：如图，设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CAD＝α，∠CDA＝180°－β. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 因为＋＝，所以j·(＋)＝j·. 由分配律，得j·＋j·＝j·， 即|j|||cos ＋|j|||cos ＝|j|||cos ， 问题1.在Rt△ABC中，＝＝，在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示：(1)如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C. 也即a sin C＝c sin A，所以＝. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得＝. 因此＝＝. 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C， 仿照上述方法，同样可得＝＝. 问题2.在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 提示：观察右图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，所以在△AB′C中，＝＝c，c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A＝，sin B＝___，sin C＝； (4)＝＝＝＝2R； 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋). 由＝，得c＝＝＝ ＝4(＋1). 所以A＝45°，c＝4(＋1). 所以c＝＝＝. 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形． 解：由正弦定理＝，知sin A＝＝，因为b<a，所以A＝60°或120°， 所以c＝＝＝； 故当A＝60°时，C＝75°，c＝； 当A＝120°时，C＝15°，c＝. 解：由正弦定理＝， 知sin B＝＝， 所以c＝＝＝. 对点练2．(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝ A． B． C．或 D．或 由题意可得sin B＝＝＝，则B＝或B＝.因为b<a，所以B<A，所以B＝.故选A. a<b⇒A<B⇒B>30°，由正弦定理可知＝，所以sin B＝＝＝，因为B∈(30°，180°)，所以B＝60°或120°.故选B. 由正弦定理＝，得＝.又a cos B＝b cos A，所以＝，所以＝，所以sin A·cos B＝sin B·cos A，即sin A·cos B－sin B·cos A＝0，故sin (A－B)＝0.因为A，B是三角形内角，所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形． 由正弦定理得＝，得＝.又a cos A＝b cos B，所以＝，所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B.因为A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形． 对点练3．已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是 已知＝＝，由正弦定理可得cos A＝sin A，cos B＝sin B，故A＝B＝，C＝，则△ABC是等腰直角三角形．故选C. 解：sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解． 解：sin B＝＝sin C>sin C＝. 解：sin B＝sin 60°＝×＝，而 <<1， 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°，满足A＋B<180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°.故三角形有两解． 对于A，因为＝，所以sin B＝＝1，所以B＝90°，即只有一解；对于B，因为sin C＝＝>，且c>b，所以C>B，故有两解；对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，所以b＝＝＝，故有一解；对于D，因为＝，所以sin B＝＝<，又b<a，所以有一解．故选ABD. 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则＝ A． B． C． D． 根据正弦定理，得＝＝.故选A. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆半径等于 A．2 B． C． D．1 设△ABC外接圆半径为R，根据正弦定理可得2R＝＝＝＝2，所以R＝1，即△ABC外接圆半径为1.故选D. 由正弦定理和已知条件，得＝，所以sin B＝>1，所以此三角形无解．故选C. 1∶1∶ A．1 B．2 C．2 D．2 由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理＝，因此AC＝＝2.故选C. A． B． C．± D．± 由正弦定理得＝，代入数据可得sin B＝，又因为b<c，所以B<C，所以cos B>0，所以cos B＝.故选A. 3．在△ABC中，若＝，则C＝ 由正弦定理，知＝，所以＝，所以cos C＝sin C，所以tan C＝1，又因为0°<C<180°，所以C＝45°. 4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝，bc sin A＝8sin B，a＝2，则b＝ A．4 B．2 C．2 D．2 因为bc sin A＝8sin B，所以abc＝8b，即ac＝8.又a＝2，所以c＝4，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac cos B，从而b＝＝2.故选B. 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝(k为非零实数)，则下列结论正确的是 对于A，当k＝5时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝5，b＝3，c＝4，a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形；对于B，当k＝3时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝3，b＝3，c＝4，显然△ABC是等腰三角形，且c为最大角，a2＋b2－c2＝9＋9－16＝2>0，说明C为锐角，故△ABC是锐角三角形； 对于C，当k＝2时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝2，b＝3，c＝4，可得a2＋b2－c2＝4＋9－16＝－3<0，说明C为钝角，故△ABC是钝角三角形；对于D，当k＝1时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝1，b＝3，c＝4，此时a＋b＝c，不能构成三角形，故结论错误．故选ABC. B．＝ 由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A错误；设＝＝＝k，则＝＝k＝，故B正确；在三角形中，大角对大边，故C正确；若A>B，则a>b，由正弦定理＝，得sin A>sin B，故D正确．故选BCD. 由a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，得a＝c，b＝c，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝c∶c∶c＝3∶5∶7. 8．在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝________． 或 由正弦定理，得sin A＝＝＝，又A∈(0，π)，a>b，所以A>B，所以A＝或. 9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________． 在△ABC中，因为sin B＝，0<B<π，所以B＝或B＝π.又因为B＋C<π，C＝，所以B＝，所以A＝π－－＝π.因为＝，所以b＝＝1. 所以B＝45°，b＝2，c＝＋. 因为＝＝， 所以b＝＝＝2， c＝＝＝＋. (2)b＝3，c＝3，B＝30°.(5分) 解：由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝. 设C为最大角，则A为最小角，所以A＋C＝120°，所以＝＝＝＝×＋＝＋，所以＝1，所以tan A＝1.又因为A为锐角，所以A＝45°，C＝75°. 12．在△ABC中，若sin C＝2sin B cos B，且B∈(，)，则的取值范围为 A．(，) B．(，2) C．(0，2) D．(，2) 由正弦定理得＝＝＝2cos B．又<B<，余弦函数在此范围内单调递减，故<cos B<，所以∈(，).故选A. A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故①成立．函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，因为A>B，所以cos A<cos B，故②成立．在锐角三角形中，因为A＋B>，所以0<－B<A<，又函数y＝sin x在区间上单调递增，则sin A>sin (－B)，即sin A>cos B，同理sin B>cos A，所以sin A＋sin B>cos A＋cos B，故③成立． 由a＋c＝b及正弦定理，得sin A＋sin C＝sin B， 所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin (C＋45°)＝sin B，又角A，B，C是△ABC的内角，所以C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)， 由题得AC＝＝2，∠ACB＝60°.设∠BCP＝α，所以∠ACP＝60°－α，∠CAP＝180°－120°－(60°－α)＝α，在Rt△PBC中，PC＝1×cos α＝cos α.在△ACP中，由正弦定理得＝，所以tan α＝. 16．(14分)在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：＝. 在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得＝，＝. 又因为sin (180°－β)＝sin β，所以＝，即＝. $$