15、6.4.3 第1课时 余弦定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　余弦定理 　 第六章　6．4　6．4.3　余弦定理、正弦定理 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法．　 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养逻辑推理及数学运算核心素养． 知识点一　余弦定理 1 知识点二　解三角形 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　余弦定理 返回 问题导思 问题1.在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算． 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2ab cos C，同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B． 问题2.在问题1的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例． 新知构建 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝____________________； c2＝____________________ c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C 微提醒 (1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一． (4)定理特例：当夹角为90°时(例如A＝90°)，定理变为b2＋c2＝a2，这就是勾股定理．所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 例1 (1)在△ABC中，已知a＝2 ，b＝3，C＝30°，求c，A. 所以A＝90°. (2)在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝ ，求a，c的值． 得(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36， 规律方法 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．　　 对点练1．在△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝ √ 返回 知识点二　解三角形 返回 问题导思 问题3.在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？ 新知构建 1．余弦定理的推论 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 2．解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的______． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________． 元素 解三角形 例2 规律方法 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角．　　 对点练2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小． 解：因为a>c>b，所以A为最大角． 又因为0°<A<180°，所以A＝120°， 所以最大角A为120°. 返回 综合应用 返回 例3 利用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a－b＝2c cos B，cos A＋cos B＝1，则△ABC一定是 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 √ 规律方法 1．判断三角形形状的两条思考路线 (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．　　 2．判断三角形的形状时的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； (4)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 对点练3．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 √ 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D. 返回 课堂小结 知识 (1)余弦定理．(2)解三角形．(3)利用余弦定理判断三角形的形状． 方法 化归转化、数形结合． 易错误区 易忽略三角形中的隐含条件． 随堂演练 返回 √ √ 3．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b cos A，则△ABC一定是 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 由余弦定理有c＝b× ，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC一定是直角三角形．故选C. √ 返回 4．在△ABC中，若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝______． 120° 课时测评 返回 1．在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于 A．30° B．45° C．60° D．90° 由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以c＝ ，故a2＋c2＝b2，所以△ABC为直角三角形，A＝30°.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝ b＝12，则c的值可以为 A．2 B．4 C．6 D．8 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．30° B．60° C．150° D．120° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a＋c＝3，ac＝1，cos B＝ ，则△ABC的周长为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝ . 8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．在△ABC中，AB＝3，BC＝ ，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 ＋cosA＝0. (1)求A的大小；(5分) 所以A＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a＝2 ，b＝2，求c的值．(5分) 解：由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是_________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(11分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－ sin A)cos B＝0. (1)求B的大小；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a＋c＝1，求b的取值范围．(6分) 解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，b＝6，c＝4，则中线AD的长为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求角A的值；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 所以cb＝24，② 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，a＝2 及①，得c2＋b2＝52，③ 由②③得(c＋b)2＝100， 所以c＋b＝10， 所以c，b是一元二次方程x2－10x＋24＝0的两个根， 由b<c，解得c＝6，b＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 提示：如图，设＝a，＝b，＝c，那么c＝a－b，① 解：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋9－2×2×3×＝3， 所以c＝. 所以cos A＝＝＝0， 所以ac＋4＝36－2ac，解得ac＝9， 所以解得a＝3，c＝3. 解：由余弦定理，得cos B＝， 则＝， 得a2＋c2＝ac＋4，由a＋c＝6， A．1 B．2 C． D． 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12＋22－2×1×2×＝3，所以b＝.故选D. 提示：根据余弦定理的变形得cos A＝，cos B＝，cos C＝. 则cos A＝，cos B＝，cos C＝. 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． 解：根据余弦定理的推论，得cos A＝＝＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝，cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. 所以B＝π－A－C＝π－－＝， 所以A＝，B＝，C＝. 由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝－. 由2a－b＝2c cos B及余弦定理，可得2a－b＝2c·，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.所以A＋B＝，因为cos A＋cos B＝1，所以cos A＋cos (－A)＝cos A＋cos cos A＋sin sin A＝cos A－cos A＋sin A＝cos A＋sin A＝1，即sin (＋A)＝1.因为A∈(0，π)，所以＋A＝，A＝，从而B＝π－A－C＝.所以△ABC为等边三角形．故选A. 1．在△ABC中，B＝30°，BC＝2，AB＝，则边AC的长等于 A．－1 B．1 C． D．2 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝3＋4－2×2×＝1，解得AC＝1.故选B. 2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 A． B． C． D． 因为a>b>c，所以C为最小角且C为锐角，由余弦定理，得cos C＝＝＝.又因为C为锐角，所以C＝.故选B. 由c2＝a2＋b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－ab，cos C＝＝＝－，由于0°<C<180°，所以C＝120°. A． B． C． D． 由6a＝4b＝3c，得c＝2a，b＝a，所以cos B＝＝＝.故选D. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos A＝，则B＝ A． B． C． D． 由题意cos A＝＝，化简得a2＋c2＝b2，所以B＝.故选C. 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是 A．－ B．－ C．－ D．－ 根据题意，由余弦定理可得c＝＝＝3.因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角．因此cos A＝＝＝－.故选C. 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.故选BD. 6．(多选)在△ABC中，a，b，c为三个内角A，B，C的对边，若tan B＝ac，则角B＝ 由题得tan B＝，根据余弦定理可知cos B tan B＝sin B＝，所以B＝60°或B＝120°.故选BD. 3＋ 由余弦定理可得，b2＝－2ac＝32－2×(1＋)＝，所以△ABC的周长为3＋ ＝3＋. 由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，又0<A<π，所以A＝，所以sin A＝.则AC边上的高h＝AB sin A＝3×＝. 解：因为cos A＝2cos2－1， 2cos2＋cosA＝0， 所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－， 又a＝2，b＝2，cos A＝－， 所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×， 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC是 在△ABC中，因为cos2＝，所以＝＋，所以cos A＝.由余弦定理，知＝，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．故选A. A． B． C． D． 设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，因为l＝5c，所以a＝b＝2c，由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝.故选D. (，5) 因为b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，所以cos A＝>0，且cos C＝>0，所以7<a2<25，所以 <a<5. 又0<B<π，所以B＝. 解：由已知得，－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin Acos B＝0，即sin A sin B－sin A cos B＝0. 因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0， 易知cos B≠0，所以tan B＝. 因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3(a－)2＋. 又0<a<1，所以≤b2<1，即≤b<1. A．2 B．2 C． D． 根据题意，如图，在△ABD和△ADC中由余弦定理得：AB2＝AD2＋DB2－2AD·DB cos ∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC，又cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，DB＝DC，两式相加得AB2＋AC2＝2AD2＋DB2＋DC2，即42＋62＝2AD2＋42＋42，所以2AD2＝20，所以AD＝.即△ABC的中线AD的长为 .故选D. 16．(14分)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A＝sin(＋B)·sin (－B)＋sin2B. 解：因为sin2A＝sin(＋B)·sin (－B)＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝， 所以sinA＝或－， 又A为锐角，所以A＝. (2)若·＝12，a＝2，且b<c，求b，c的值．(8分) 解：由·＝12，可得cb cos A＝12，① 由(1)，知A＝， $$