14、6.4.2 向量在物理中的应用举例-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6．4.2　向量在物理中的应用举例 　 第六章　6．4　平面向量的应用 学习目标 会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用，培养数学建模核心素养． 应用一　向量与力 1 应用二　向量与速度、加速度、位移 2 应用三　向量与功 3 课时测评 5 内容索引 随堂演练 4 应用一　向量与力 返回 例1 设平面上作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，|F1|＝ 1 N，|F2|＝2 N，F1和F2的夹角为 .求： (1)F3的大小； 解：因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)， (2)〈F3，F2〉的大小． 解：如图，以三个力的作用点O为坐标原点，F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．将向量F1，F3正交分解． 规律方法 平面向量在物理中的力学应用广泛，用向量处理这些问题时，根据题意把物理矢量用有向线段表示，利用向量加法的平行四边形法则、向量的正交分解等方法转化为代数方程来计算．　　 对点练1．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功． 解：如图所示，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方 向建立平面直角坐标系， 返回 应用二　向量与速度、加速度、位移 返回 例2 解：如图所示， 规律方法 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．　　 对点练2．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是________ m，方向是北偏东________． 60 30° 返回 应用三　向量与功 返回 例3 已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了 20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) 解：如图所示，设木块的位移为s， 因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J). 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J． 规律方法 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角).　　 因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8). 对点练3．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).则在这个过程中三个力的合力所做的功为________． －40 返回 课堂小结 知识 (1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题． 方法 转化法 易错误区 不能将物理问题转化为向量问题． 随堂演练 返回 1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为 A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． √ √ 3．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为 A．7 B．10 C．14 D．70 F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14× ＝70.故选D. √ 4．已知平面内两个粒子A，B从同一发射源C(1，2)射出，在某一时刻，它们的位置分别为A(3，3)，B(2，4)，相应的位移分别为sA，sB，则sA在sB上 的投影向量为________． 返回 课时测评 返回 1．已知两个力F1＝(1，2)，F2＝(－2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3＝ A．(1，－5) B．(－1，5) C．(5，－1) D．(－5，1) 根据力的合成可知F1＋F2＝(1，2)＋(－2，3)＝(－1，5)，因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，则F3＝(1，－5).故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．加强体育锻炼是青少年生活学习中的重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g＝ 10 m/s2， ≈1.732) A．81 B．87 C．89 D．91 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为 A．(－2，4) B．(－30，25) C．(10，－5) D．(5，－10) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．飞机以大小为300 km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________km/h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且 力F所做的功W＝250 J，则F与s的夹角等于________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．如图所示，在倾斜角为37°(取sin 37°＝0.6)，高为2 m的 斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面滑下，物体m受到的摩擦 力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的 功为______J，重力对物体m所做的功为______J(g＝9.8 m/s2). 0 98 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使其由点A(20，15)移动到点B(7，0). (1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(5分) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99， ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3. 所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．(5分) ＝－99－3＝－102. 所以合力F对质点所做的功为－102. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两 个人共提一个旅行包．当两人提着重力为G的旅行包时， 两人拉力方向的夹角为θ，两人拉力的大小都为|F|，若 |F|＝ |G|，则θ的值为 A．30° B．60° C．90° D．120° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150° D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．一个物体受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且|F1|＝3 N，|F2|＝4 N，则F1与F3夹角的余弦值是 ________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(11分)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 所以四边形ABCD为平行四边形． 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是 A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 解：设t h后，台风中心移动到Q处， 此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. ＝100(4t2－96t＋900). 从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 所以|F3|＝|F1＋F2|＝ ＝ ＝ ＝(N). 设∠MOC＝θ， 由受力平衡知 将|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝代入 得即 又因为θ∈，所以θ＝， 所以〈F3，F2〉＝π－＝. 所以合力F所做的功为24 J. 则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)， 所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4). 又位移s＝(4，4)， 所以合力F所做的功W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J). 一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？ 设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作 ▱ACED，则当AE与AB重合时能最快到达彼岸B码头，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，所以||＝ ＝2，又AB＝，所以用时0.5 h，易知sin ∠EAD＝，所以∠EAD＝30°.所以该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h． 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则||＝＝60(m)，tan ∠BOA＝＝，所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°. 则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J). 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(8×10－25)×0.02＝1.1(N)， 又因为＝(－1，4)，所以F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三个力的合力做的功为－40. 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.人的速度和风速方向相反，|v1＋v2|＝＝＝|v1|－|v2|.故选C. 2．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为 A．5 N B．5 N C．5 N D．5 N 两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝＝5(N).故选D. (，) sA＝(2，1)，sB＝(1，2)，则sA在sB上的投影向量为sB＝(，). A．6 B．2 C．2 D．2 由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20，所以|F3|＝2.故选C. 设两只胳膊的拉力分别为F1，F2，＝＝500，〈F1，F2〉＝60°，所以|F1＋F2|＝＝＝ ＝500≈866，所以10m＝866，解得m＝86.6≈87(kg).所以学生的体重约为87 kg.故选B. 设(－10，10)为A，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则AA1＝(x＋10，y－10)，由题意有AA1＝5v，即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，所以解得即A1(10，－5).故选C. A．10 m/s B． 2 m/s C．4 m/s D．12 m/s 由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．所以|v|＝＝＝2(m/s).故选B. A．40 N B．10 N C．20 N D． N 对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，可知这两个力的大小都是10 N；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 N.故选B. 150 如图所示，|v1|＝|v|cos 30°＝300×＝150(km/h). 设F与s的夹角为θ，由W＝F·s，得250＝10×50cos θ，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 解：＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15) W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15) 解：W＝F·＝(F1＋F2)· ＝F1·＋F2·＝W1＋W2 设两人拉力分别为F1，F2，则|F1|＝|F2|＝|F|，|F1＋F2|＝|G|，所以F＋F＋2F1·F2＝G2，又|F|＝|G|，所以2|F|2＋2|F|2cos θ＝3|F|2，解得cos θ＝，所以θ＝60°.故选B. 12．(多选)在水流速度大小为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h大小的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是 A．这艘船在静水中航行速度的大小为12 km/h B．这艘船在静水中航行速度的大小为8 km/h 如图，设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船在静水中航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知|v3|＝＝8(km/h).设船航行速度的方向和水流方向的夹角为θ，则tan (180°－θ)＝＝＝，所以tan θ＝－，θ＝120°，船在静水中的速度为8 km/h，航行速度方向与水流方向的夹角为120°.故选BD. － 因为物体处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0.因此F3＝－(F1＋F2)，于是|F3|＝＝＝ ＝，设F1与F3的夹角是θ.又F2＝－(F1＋F3)，所以|F2|＝＝ ＝ ＝4，解得cos θ＝－. 解：如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过江的速度． 因为＋＝， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°， 设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ(0<θ<)，则|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝.因为θ增大，cos θ减小，所以|F|增大．因为|F|sin θ增大，所以船的浮力减小．故选AC. 16．(14分)如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风中心，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ [cos θ＝，θ∈(0，)]方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos (θ－45°)＝. 因为＝＋， 所以2＝(＋)2＝2＋2＋2·＝2＋2－2||||cos (θ－45°) ＝3002＋(20t)2－2×300×20t× 依题意得2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24. $$