13、6.4.1 平面几何中的向量方法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6．4.1　平面几何中的向量方法 　 第六章　6．4　平面向量的应用 学习目标 1.能用向量方法解决简单的几何问题．　 2.体会向量在解决数学问题中的作用，培养数学建模的核心素养． 应用一　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 1 应用二　用向量解决平面几何中的垂直问题 2 应用三　利用平面向量求几何中的长度问题 3 应用四　利用平面向量求几何中的角度问题 4 课时测评 6 内容索引 随堂演练 5 应用一　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 返回 例1 规律方法 对点练1．如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF. 因为点G不在直线EF上，所以HG∥EF. 返回 应用二　用向量解决平面几何中的垂直问题 返回 例2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 则|a|＝|b|，a·b＝0. 法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 规律方法 利用向量解决垂直问题的方法和途径 1．方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 2．途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．　　 对点练2．如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， 法二：如图，建立平面直角坐标系． 返回 应用三　利用平面向量求几何中的长度问题 返回 例3 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不 包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形． 试用向量法证明：PA＝EF. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1， 规律方法 用向量法求平面几何中线段的长度问题，即向量模的求解，一是利用图形特点选择基底，转化为向量的数量积，用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，利用向量的坐标计算|a|＝ (a＝(x，y))，即把向量问题中的几何关系代数化，使问题解决程序化，从而降低难度．　　 对点练3．在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 返回 应用四　利用平面向量求几何中的角度问题 返回 例4 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝ DC.求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 所以θ＝90°，即∠DAC＝90°. 规律方法 用向量法求角度的策略 1．将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可． 2．注意两向量夹角和要求角的关系．　　 对点练4．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE＝________． 课堂小结 知识 (1)用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题．(2)利用向量证明平面几何中的垂直问题．(3)利用平面向量求几何中的长度．(4)利用平面向量求几何中的角度． 方法 转化法、数形结合法． 易错误区 不能将几何问题转化为向量问题． 返回 随堂演练 返回 A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 √ 2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为 A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 √ 3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC等于 √ 返回 1 课时测评 返回 A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．sin θ>0，cos θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0 C．sin θ<0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2， 由条件知，a2－b2＝c2－d2， 所以2e·c－2e·d＝0，即e·(c－d)＝0， 所以AD⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1∶3 如图，设D为BC边的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求点B，C的坐标；(5分) 解：连接OB(图略)，设B(xB，yB)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：四边形OABC为等腰梯形．(6分) 所以四边形OABC为等腰梯形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以O为原点，以OA1所在的直线为x轴建 立平面直角坐标系， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(14分)如图所示，以△ABC两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为边BC的中点．求证：AM⊥EF. 证明：因为M是边BC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 所以＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n， 所以＝. 如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上． 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 证明：设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 1．几何图形中要证明线段AB∥CD，只需证明存在实数λ，使得＝λ或x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2). 2．几何图形中要证明A，B，C三点共线，只需证明存在实数λ，使得＝λ或存在实数t，使得＝t＋(1－t)(O为A，B，C所在直线外一点).　　 于是＝－＝λ(－)＝λ， 所以∥， 证明：因为⊥，⊥，所以∥. 设＝λ(λ≠0)，则＝λ， 同理＝λ. 所以·＝· ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 证明：法一：设＝a，＝b， 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 则＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. 所以⊥，即DP⊥EF. 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， 所以·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· 设正方形ABCD的边长为1，P(x，x)，则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)，所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)， 由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. 所以＝， DP＝λ(0<λ<)， 则A(0，1)，P， E，F， 所以||＝||，所以PA＝EF. ＝. 所以||＝ ＝ ， ||＝ ＝ ， 所以5－2a·b＝4，所以a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝. 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝ ＝＝ ＝2， 所以AD＝. 解：设＝a，＝b，则＝＋ ＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 所以||2＝2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3. 解：设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，则θ为与的夹角． 所以cos θ＝＝ ＝＝＝0. 以OA，OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示．则D，E. 所以＝，＝，故cos ∠DOE＝＝＝，即cos ∠DOE的值为. 1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC (＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，所以CA＝CB，则△ABC是等腰三角形．故选C. 因为＝(3，3)，＝(－2，－2)，所以＝－，所以与共线．又||≠||，所以该四边形为梯形．故选A. A.－ B． C．0 D． 如图建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4).又∠BDC为，的夹角，所以cos ∠BDC＝＝＝.故选B. 4．在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________． 因为＝＋(＋)，所以－＝(＋)，＝(＋)，所以AP为Rt△ABC斜边BC的中线．所以||＝1. 1．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则这个四边形是 由＝知DC∥AB，且DC＝AB，因此四边形ABCD是梯形．又因为||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形．故选C. 2．在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为 A． B．2 C．5 D．10 因为·＝0，所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S＝|| ||＝××2＝10.故选D. 3．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于 A． B．2 C．3 D．2 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设||＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，所以＝(2，－a)，＝(4，a).因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8，所以a＝2，所以＝(2，－2)，所以||＝＝2.故选B. 4．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则 因为＝＝－，所以－＝(－)，所以＝，点P在线段AB的反向延长线上．故选B. 5．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的 因为·＝·，所以(－)·＝0，所以·＝0，所以OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，所以O为三条高所在直线的交点．故选D. 6．已知O，A，B三点不共线，∠AOB＝θ.若|＋|<|－|，则 因为|＋|<|－|，所以|＋|2<|－|2，即||2＋2·＋||2<||2－2·＋||2，所以·＝|| ·||·cos θ<0，所以cos θ<0.又O，A，B三点不共线，所以θ∈(，π)，所以sin θ>0，cos θ<0.故选B. 7．在四边形ABCD中，＝，＝，⊥，则该四边形的面积是____________． 因为＝，＝，⊥，所以4×2＋×m＝0，解得m＝4，则＝＝2，||＝＝2，所以S＝·＝×2×2＝10. 8．在△ABC中，M是BC的中点，且||＝1，若P为△ABC的重心，则(＋)·(＋)＝________． 据题意及向量的加法，知＋＝2，所以(＋)·(＋)＝·(＋)＝2·＝2||||cos 0°＝2×××1＝. 9．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________． － ＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝ 2－2＝－1＝－. 证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d， 即·＝0， 11．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是 由题意知，·(－)＋·(－)＝0，即·＋·＝0，即·＝0，则⊥，故△ABC的形状为直角三角形．故选C. 12．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必通过△ABC的 假设BC的中点是O，则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M形成的图形必通过△ABC的外心．故选C. 13．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为________． 则＝(＋).因为3－－＝0，所以3＝＋＝2，所以＝，所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.所以△ABM与△ABC的面积之比为1∶3. 所以＝＋＝＋(－1，)＝. 所以B，C. 14．(11分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，). 则xB＝||＋||·cos(π－∠OAB)＝， yB＝||·sin (π－∠OAB)＝， 证明：因为＝，＝， 所以＝3，所以∥. 又易知OA与BC不平行，||＝||＝2， 15．(5分)如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3是全等的等腰直角三角形(OB1＝，Bi处为直角顶点)，且O，A1，A2，A3四点共线．若点P1，P2，P3分别是边A1B1，A2B2，A3B3上的动点(包含端点), 则OB1·OP3＝________，OB2·OP2的取值范围为________． 则O，A1，A2，A3， B1，B2，B3，直线A1B1的方程为：y＝－x＋2，设P1，且x1∈，直线A2B2的方程为：y＝－x＋4， 设P2，且x2∈，直线A3B3的方程为：y＝－x＋6，设P3，且x3∈，所以OB1＝，OP3＝，OB1·OP3＝x3＋6－x3＝6，OB2＝，OP2＝，所以OB2·OP2＝3x2＋4－x2＝4＋2x2∈. ＝(·＋·－·－·) ＝(0＋·－·－0) 所以＝(＋). 又因为＝－， 所以·＝(＋)·(－) ＝(·－·) ＝[||||·cos (90°＋∠BAC)－ ||||·cos (90°＋∠BAC)]＝0， 所以⊥，即AM⊥EF. $$