12、重点题型强化(二)　平面向量中的最值、范围问题-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

重点题型强化(二)　平面向量中的最值、范围问题 　 第六章　平面向量及其应用 学习目标 1.进一步掌握平面向量线性运算和数量积的计算方法．　 2.掌握平面向量中最值、范围问题的解决方法，培养数学运算核心素养． 题型一　向量线性运算中的最值、范围问题 1 题型二　向量数量积的最值、范围问题 2 题型三　向量模的最值、范围问题 3 课时测评 5 内容索引 随堂演练 4 题型四　向量夹角的最值、范围问题 4 题型一　向量线性运算中的最值、范围问题 返回 例1 (－1，0) 规律方法 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后利用函数的性质或基本不等式求最值(范围).　　 返回 题型二　向量数量积的最值、范围问题 返回 例2 √ 规律方法 解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解．在求最值时我们也可以利用图形直观求解．　　 √ 返回 题型三　向量模的最值、范围问题 返回 例3 √ 规律方法 求向量模的最值(范围)一般要利用公式|a|＝ 转化为函数或基本不等式求解，或利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解．　　 对点练3．已知|a＋b|＝2，向量a，b的夹角为 ，则|a|＋|b|的最大值为________． 返回 题型四　向量夹角的最值、范围问题 返回 例4 非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，|a|＋|b|＝2，则a与b的夹角的最小值为________． 规律方法 √ 返回 随堂演练 返回 √ A．[2，4] B．[2，3] C．[3，4] D．[1，4] √ A．3 B．4 C．5 D．9 √ 返回 4．已知平面向量a，b，c满足a·b＝b·c＝c·a＝－1，|a|＝1，|b|≥2，若c＝xa＋yb，x，y∈R，则x＋y的取值范围是__________． 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(λ，－1)，λ∈R，μ∈R，则 A．若a∥c，则λ＝ B．若(a＋2b)⊥c，则λ＝4 C．若a＝tb＋c，则λ＋t＝－4 D．|a＋μb|的最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C．λ＋μ的最大值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C．μ的取值范围为[0，1] D．λ＋μ的取值范围为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求与a平行的单位向量c；(5分) 解：设c＝(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设x＝a＋(t2＋3)b，y＝－k·ta＋b，若存在t∈[0，2]，使得x⊥y成立，求k的取值范围．(6分) 所以a·b＝0. 因为x⊥y，所以x·y＝0， 即－kt|a|2＋(t2＋3)|b|2＝0. 因为|a|＝2，|b|＝1，所以t2－4kt＋3＝0. 问题转化为关于t的二次方程t2－4kt＋3＝0在[0，2]内有解． 令f(t)＝t2－4kt＋3，对称轴为直线t＝2k， 则当2k≤0，即k≤0时，因为f(0)＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以方程t2－4kt＋3＝0在[0，2]内无解； 当0<2k≤2，即0<k≤1时， 由Δ＝16k2－12≥0， 当2k>2，即k>1时，由f(2)≤0得4－8k＋3≤0， 解得k≥ ，所以k>1. 综上，实数k的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求pq的取值范围；(7分) 解：如图，以O为原点，平行于BA的直线为x轴，平行于DA 的直线为y轴建立平面直角坐标系． 设点S(2cos α，2sin α)，由题可知A(2，2)，B(－2，2)，M(2cos α，2)，N(2，2sin α)， p＝4cos α＋4，q＝－4＋4sin α， 所以pq＝16(cos α＋1)(sin α－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝16(cos αsin α＋sin α－cos α－1). 当t＝1时，pq有最大值0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 令sin α＋1＝m∈(0，2]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________． 由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0). 对点练1．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________． 因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－，所以＝m＋n＝m＋n(－)＝(m－n)·＋n，由P，B，C三点共线得，m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，所以＋＝(＋)(m＋n)＝＋＋≥＋2＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2时，取等号)，即＋的最小值为. 在Rt△ABC中，B＝90°，AC＝2AB＝2，＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，则·的最大值为 A． B． C．1 D．2 由题可知||＝1，||＝，·＝0.则·＝(＋)·(＋)＝(＋＋λ)·＝[(1－λ)－]·[＋(1－λ)－(1－λ)]＝[(1－λ)－]·[λ＋(1－λ)]＝－λ2＋4λ－3＝－(λ－2)2＋1≤1.则·的最大值为1.故选C. 对点练2．已知△ABC是边长为a的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是 A．－2a2 B．－a2 C．－a2 D．－a2 以BC的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，a)，B(－a，0)，C(a，0).设P(x，y)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)，所以＋＝(－2x，－2y)， 所以·(＋)＝－x·(－2x)＋(a－y)·(－2y)＝2x2－ay＋2y2＝2x2＋2(y－a)2－a2.所以当x＝0，y＝a时，·(＋)取得最小值 －a2.故选B. 已知G为△ABC的重心(三条中线的交点)，∠BAC＝，·＝－2，则||的最小值为 A． B． C． D． 取BC的中点为D，连接AD，如图所示．因为G为△ABC的重心，所以＝＝(＋)，因为∠BAC＝，·＝－2，所以·＝||||·cos ＝－2，所以||||＝4，又||＝|＋|＝ ＝ ＝≥ ＝，当且仅当||＝||＝2时取等号，故||的最小值为.故选C. 将|a＋b|＝2两边平方并化简得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4，由基本不等式得|a||b|≤()2＝，故(|a|＋|b|)2≤4，即(|a|＋|b|)2≤，即|a|＋|b|≤，当且仅当|a|＝|b|＝时，等号成立，所以|a|＋|b|的最大值为. 设a与b的夹角为θ，由2a·b＝a2b2知，2|a|·|b|·cos θ＝a2b2.由基本不等式知，cos θ＝|a|·|b|≤()2＝，当且仅当|a|＝|b|＝1时等号成立，即cos θ≤，又θ∈[0，π]，故θ∈.故a与b的夹角的最小值是. 求向量夹角的最值(范围)问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值cos θ＝的最值(范围)问题．　　 对点练4．已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角θ的最小值为 A． B． C． D． 因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，a·b＝b2，cos θ＝＝＝＝＝，又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，所以0<cos θ≤，所以θ的最小值为.故选C. 1．已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，则当||取最小值时，实数t＝ A． B． C． D．1 由＝t得＝＋t(－)，则＝(1，0)＋t＝(1－t，2t)，||＝＝＝，则当t＝时，||有最小值．故选A. 2．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则·的取值范围是 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则D(0，1)，E(1，0).设F(2，m)(0≤m≤1)，所以＝(1，－1)，＝(2，m－1)，所以·＝2－m＋1＝3－m.因为0≤m≤1，所以2≤3－m≤3，即·的取值范围为[2，3].故选B. 3．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为 由图可知x，y均为正数，且x＋y＝1，所以＋＝(＋)(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝，y＝时等号成立，则＋的最小值为9.故选D. 设a＝(1，0)，由a·b＝c·a＝－1，可设b＝(－1，m)，c＝(－1，n)，因为|b|2＝1＋m2≥4m2≥3，又c＝xa＋yb＝(x－y，my)＝(－1，n)，所以而b·c＝1＋mn＝－1mn＝－2，所以x＋y＝－1＋2y＝－1＋2×＝－1－，又因为m2≥3，所以x＋y∈. 1．已知点A(4，3)和B(1，2)，O为坐标原点，则|＋t|(t∈R)的最小值为 A．5 B．5 C．3 D． 由题意可得＝(4，3)，＝(1，2)，则＋t＝(4，3)＋t(1，2)＝(4＋t，3＋2t)，|＋t|＝＝＝，结合二次函数的性质可得，当t＝－2时，|＋t|min＝.故选D. A． B． C． D． 设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π].因为(a－b)⊥(3a－b)，所以(a－b)·(3a－b)＝0，整理可得3a2－4a·b＋b2＝0，即3|a|2－4a·b＋|b|2＝0.将|a|＝1代入得3－4|b|cos θ＋|b|2＝0，整理可得cos θ＝＋≥2＝，当且仅当＝，即|b|＝时，取等号，故cos θ≥，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为.故选A. 3．已知M是边长为1的正三角形ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则·的取值范围是 A． B． C． D． 取AC的中点O，连接OB，以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－，0)，B(0，)，N(－，).设M(x，0)，－≤x≤，则＝(x，－)，＝(－－x，).所以·＝－x2－x－＝－(x＋)2－，－≤x≤，所以当x＝时，·取最小值－，当x＝－时，·取最大值－，所以·的取值范围是.故选A. 4．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为，则的最小值为 A． B． C．1 D．4 因为e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为，所以e1·e2＝|e1||e2|cos ＝，则|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy，则＝＝＝≥＝，当且仅当＝－时，取等号．故选B. 对于A，已知a∥c，则(－3)×(－1)＝2×λ，解得λ＝，故A正确；对于B，a＋2b＝(1，4)，由于(a＋2b)⊥c，则1×λ＋4×(－1)＝0，解得λ＝4，故B正确；对于C，由于a＝tb＋c，则(－3，2)＝t(2，1)＋(λ，－1)＝(2t＋λ，t－1)，得解得故λ＋t＝－6，故C不正确；对于D，a＋μb＝(－3＋2μ，2＋μ)，|a＋μb|＝＝＝≥＝，当μ＝时等号成立，即|a＋μb|的最小值为，故D正确．故选ABD. 6．(多选)如图，正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形内部及边上运动，＝λ＋μ，则下列结论正确的有 A．点P在线段BC上时，·为定值 B．点P在线段CD上时，·为定值 D．使λ＋2μ＝的P点轨迹长度为 以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点P(x，y)(0≤x≤2，0≤y≤2)，则＝(2，0)，＝(0，2)，＝(x，y)，·＝2x，当点P在线段BC上时，x＝2，·＝2x＝2×2＝4，故A正确；当点P在线段CD上时，x不是定值，·＝2x不为定值，故B错误； 由＝λ＋μ得，(x，y)＝λ(2，0)＋μ(0，2)＝(2λ，2μ)，则λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝(x＋y)，故当x＝y＝2时，即当点P与点C重合时，λ＋μ取得最大值2，故C正确；由λ＋2μ＝得，＋y＝，直线＋y＝交x轴于点E(1，0)，交y轴于点F(0，)，所以使λ＋2μ＝的P点轨迹为线段EF，且|EF|＝＝，故D错误．故选AC. 7．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________． 根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，所以A(0，3)，B(4，0)，C(0，0)，所以＝(4，－3)，设＝λ(λ∈)，则＝＋＝＋λ＝(0，3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈，所以·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0，3)＝9－9λ∈[0，9]，所以·(－)的最大值为9. 8．在△ABC中，·(－4)＝0，则cos A的最小值为________． 在△ABC中，＝－，所以·(－4)＝(－)·(－4)＝－4||2－||2＋5·＝－4||2－||2＋5||||cos A＝0，在△ABC中，设||＝b，||＝c，则有－4b2－c2＋5bccos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立． 9．在△ABC中，AB＝，BC＝2，B＝150°，点D是AC边上的一点(包括端点)，点M是AC的中点，则·的取值范围是________． 因为点M是AC的中点，所以＝＋，因为点D是AC边上的一点(包括端点)，所以设＝λ，λ∈，即－＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，则·＝(＋)·＝λ2＋·＋(1－λ)2.因为AB＝，BC＝2，∠B＝150°，所以2＝3，·＝－3，2＝4，所以·＝－λ.因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.故·的取值范围是. 10．(10分)已知·＝0，M是线段BC的中点． (1)若||＝2||，求向量－与向量＋的夹角的余弦值；(5分) 解：因为·＝0，所以⊥， 令||＝a，则C(0，a)，B(2a，0)，所以－＝(2a，－a)，＋＝(2a，a). 设向量－与向量＋的夹角为θ， 所以cos θ＝ ＝＝. ＝2· (2)若O是线段AM上任意一点，且||＝2||＝2，求·＋·的最小值．(5分) 解：因为·＝0，所以⊥， 因为||＝2||＝2，则C(0，1)，B(2，0)，M(1，)，设O(x，)，x∈， 所以·＋·＝·(＋) ＝2(－x，－)·(1－x，－) ＝2(x2－x＋－)＝(x2－x) ＝(x－)2－. 当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－. 11．如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是 A． B． C． D．[－1，1] 不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，x∈[0，1]，则λμ＝－＝－(x2＋2x)，所以λμ∈. 12．(多选)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是 A．当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B．λμ的最大值为 以B为原点，，为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B(0，0)，E(0，1)，D(2，2)，设M(t，2)，则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以(t，2)＝λ(0，1)＋μ(2，2)＝(2μ，λ＋2μ)，所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝，对于A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－＝，故A正确； 对于B，λμ＝(2－t)＝t－t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，故B正确；对于C，因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，故C正确；对于D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，故D错误．故选ABC. 13．已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，||在t0时取得最小值．当0<t0<时，夹角θ的取值范围为________． (，) 由题意可得·＝2×1×cos θ＝2cos θ，＝－＝(1－t)－t，所以2＝(1－t)22＋t22－2t(1－t)·＝(1－t)2＋4t2－4t(1－t)cos θ＝(5＋4cos θ)t2＋(－2－4cos θ)t＋1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0＝，由题意可得0<<，求得－<cos θ<0，所以<θ<，故夹角θ的取值范围为(，). 14．(11分)已知向量a＝(，－1)，b＝(，). 根据题意得 解得或 所以c＝(，－)或c＝(－，). 解：因为a＝(，－1)，b＝(，)， 解得k≤－或k≥，所以≤k≤1； 15．(5分)(多选)设e1，e2均为单位向量，对任意的实数t有≤恒成立，则 A．e1与e2的夹角为 B．＝ C．|e2－te1|的最小值为 D．|e2＋t(e1－e2)|的最小值为 对于A，设e1，e2的夹角为θ，≤|e1＋te2|，两边平方可得：＋cos θ≤t2＋2t cos θ＋1，即t2＋2cos θ×t－－cos θ≥0对任意的t恒成立，故可得：Δ＝4cos2θ＋4cosθ＋1≤0，即(2cos θ＋1)2≤0，则cos θ＝－，又θ∈[0，π]，故θ＝π，故A错误；对于B，＝＝，故B正确； 对于C，|e2－te1|＝＝＝≥，当且仅当t＝－时取等号，故C错误；对于D，|e2＋t(e1－e2)|＝＝，令y＝3t2－3t＋1，当且仅当t＝时，y取得最小值，故|e2＋t(e1－e2)|的最小值为，故D正确．故选BD. 16．(14分)如图，圆O是边长为4的正方形ABCD的内切圆，S为圆周上一点，过S作AB，AD的垂线，垂足分别为M，N.设p＝·，q＝·. 令sin α－cos α＝t∈， 则cos αsin α＝，pq＝－8(t－1)2， 所以当t＝－时，pq有最小值为－8(3＋2)＝－24－16， 所以pq的取值范围是[－24－16，0]. 所以的最小值为－1. (2)求的最小值．(7分) 解：＝＝， 原式＝＝m－2＋≥2－2＝－1， 当且仅当m＝时，即sin α＝－时等号成立． $$