10、6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 　 第六章　6．3　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．　 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题，培养数学运算核心素养． 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 1 知识点二　平面向量的模 2 知识点三　平面向量的夹角、垂直问题 3 课时测评 5 内容索引 随堂演练 4 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 返回 问题导思 问题1.在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 新知构建 向量数量积的坐标表示 1．语言表示：两个向量的数量积等于它们____________________． 2．坐标表示：已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__________． 对应坐标的乘积的和 x1x2＋y1y2 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝ A．6 B．5 C．4 D．3 例1 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.故选B. (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝ A．10 B．－10 C．3 D．－3 √ √ 由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.故选C. 规律方法 数量积坐标运算的方法 进行平面向量的数量积的坐标运算的前提是牢记相关的运算法则和运算性质，通常有两种解题方法：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知进行计算． 提醒　如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法求平面向量的数量积．　　 建立平面直角坐标系如图所示， 返回 知识点二　平面向量的模 返回 问题导思 问题2.若向量a＝(x，y)，你能计算出向量a的模吗？若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能计算出的 模吗？ 新知构建 1．向量模的坐标公式 若a＝(x，y)，则|a|2＝______，|a|＝ . 2．两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 | |＝___________________． x2＋y2 例2 设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于 √ 规律方法 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 1．求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．　　 对点练2．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 ，则|b|＝_____． 5 因为a＝(2，1)，所以a2＝5，又|a＋b|＝5 ，所以(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，所以5＋2×10＋b2＝50，所以b2＝25，所以|b|＝5. 返回 知识点三　平面向量的夹角、垂直问题 返回 问题导思 问题3.你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为 时，得到的结论是什么？ 新知构建 1．两向量夹角的余弦公式 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ ＝ ＝______________． 2．向量垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b_____________． x1x2＋y1y2＝0 微提醒 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角． 例3 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2). (1)求a与b夹角的余弦值； 解：因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解：因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝ . 规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)若a∥b，求实数m的值； 若a∥b，则1×m＝2×1，解得m＝2. (2)若a⊥b，求实数m的值； 若a⊥b，则1×2＋1×m＝0，解得m＝－2. (3)若a与b夹角为锐角，求实数m的取值范围． 若a与b夹角为锐角，则a·b＝1×2＋1×m>0，且a与b不同向共线，即m≠2， 所以实数m的取值范围为(－2，2)∪(2，＋∞). 课堂小结 知识 (1)平面向量数量积的坐标表示．(2)a⊥bx1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量). (3)cos θ＝ (θ为非零向量a，b的夹角). 方法 化归与转化 易错误区 两向量夹角的余弦公式易记错． 返回 随堂演练 返回 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，则a·(2a＋b)＝ A．0 B．1 C．－1 D．2 由题意，向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，可得a2＝2，a·b＝1×(－1)＋(－1)×3＝－4，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2×2－4＝0.故选A. √ 2．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为 √ A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 √ 返回 7 课时测评 返回 1．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则实数x的值为 A．4 B．1 C．－1 D．－4 因为a⊥b，所以a·b＝0，即x－4＝0，所以x＝4.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B．若a∥b，则x＝－1 C．若x＝－1，则a∥b D．若a·b＝－2，则x＝－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，1)，则 B．(a＋b)∥a √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于a＝(1，2)，a－b＝(－2，－2)，故b＝a－(a－b)＝(3，4)，所以|2b|＝ ＝10. 8．已知a＝(1，2)，a－b＝(－2，－2)，则|2b|＝________． 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1). (1)若|c|＝3 ，且c∥a，求向量c的坐标；(5分) 故c＝(－3，3)或c＝(3，－3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．－2 B．2 C．－2或2 D．0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(11分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2). (1)若|c|＝2 ，且c与a方向相反，求c的坐标；(5分) 因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若|b|＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.(6分) 解：因为(a＋2b)⊥(2a－b)， 所以(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是 A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知x＋2y＝0，与上式联立，化简得y2－2y－3＝0，解得y＝3或y＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 对点练1．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝______． 则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为 ＝2，所以F.所以＝(2，1)，＝－ (2，0)＝，所以·＝(2，1)·＝2×＋1×2＝. 提示：根据a2＝a·a＝x2＋y2，所以＝，＝(x2－x1，y2－y1)， 则＝. A． B． C． D． 因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝＝.故选A. 2．a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 提示：若两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝． 当夹角为时，x1x2＋y1y2＝0. |a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. 1．求解方法：由cos θ＝＝，直接求出cos θ. 2．注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.　　 对点练3．已知a＝，b＝， 解：因为a＝，b＝， 解：因为a＝，b＝， 解：因为a＝，b＝， A． B． C． D． |a|＝＝5，|b|＝＝13，a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝.故选A. 3．已知向量a＝，b＝，若⊥，则 因为a＝，b＝，所以a＋λb＝，a＋μb＝，由⊥可得，·＝0，即＋＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 4．已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________． ＝(1，－3)，所以·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3，2)，所以||＝＝. A． B．2 C．4 D．12 a＝(2，0)，|b|＝1，所以|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.所以|a＋2b|＝＝2.故选B. 3．已知向量a＝，b＝，则cos 〈a＋b，a－b〉＝ A． B． C． D． 因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝，a－b＝，则＝＝，＝＝，·＝5×1＋3×＝2，所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B. 4．设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为 A． B． C． D． 因为四边形OABC是平行四边形，所以＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，所以a＝6，所以＝(4，2)，＝(2，6)，设向量与的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝，又θ∈(0，π)，所以与的夹角为.故选B. 5．(多选)已知平面向量a＝，b＝，则下列说法正确的是 A．若a⊥b，则x＝ 对于A，若a⊥b，则a·b＝1×－3x＝0，解得x＝，故A正确；对于B，若a∥b，则1×－x＝0，解得x＝－1或3，故B错误；对于C，若x＝－1，则a＝，b＝，则1×－×3＝0，故a∥b，故C正确；对于D，若a·b＝－2，则1×－3x＝－2，解得x＝1，故D错误．故选AC. C．向量a在向量b上的投影向量的模为 D．若c＝(，－)，则a⊥c A．a与a－b夹角的余弦值为 对于A，由题意得，a－b＝(5，0)，所以a与a－b夹角的余弦值为＝，故A正确；对于B，由题意得，a＋b＝(－1，2)，所以(a＋b)·a＝－1×2＋1×2＝0，所以(a＋b)⊥a，故B不正确；对于C，易知＝＝＝－，所以向量a在向量b上的投影向量的模为，故C正确；对于D，因为a＝(2，1)，c＝(，－)，所以a·c＝2×＋1×(－)＝0，所以a⊥c，故D正确．故选ACD. 7．已知向量a＝，b＝，若(a－λb)⊥b，则λ＝__________． 因为a－λb＝－λ＝(1－3λ，3－4λ)，所以由⊥b可得，3＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝. 9．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝________． (，) 设b＝(x，y).因为|b|＝＝1，所以x2＋y2＝1.所以a·b＝x＋y＝，所以x2＋＝1，所以4x2－6x＋2＝0.所以2x2－3x＋1＝0.所以x1＝1，x2＝，所以y1＝0，y2＝.因为(1，0)是与x轴平行的向量，舍去．所以b＝(，). 解：设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得 所以或 解：因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1， 故cos θ＝＝， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 11．若向量＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·＝7，则n·＝ 因为＋＝，所以n·(＋)＝n·，即n·＋n·＝n·，所以n·＝n·－n·＝7－5＝2.故选B. 12．(多选)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为 A.－ B． C． D． 因为＝(2，3)，＝(1，k)，所以＝－＝(－1，k－3).若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，所以k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，所以k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，所以k＝.故所求k的值为－或或.故选ABC. 13．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________． 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB＝，BC＝2， 所以A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，因为点E在边CD上，且＝2，所以E.所以＝，＝，所以·＝－＋4＝. 解：设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2， 可得 所以或 所以2×5＋3a·b－2×＝0， 所以a·b＝－， 所以cos θ＝＝－1. 因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>，即>A>－B>0，又因为函数y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin A>sin (－B)＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B>0，设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝>0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角．故选A. 16．(14分)已知向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3). (1)若∥，求x与y之间的关系式；(5分) 解：因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)， 所以＝－＝(－x－4，2－y). 又∥，且＝(x，y)， (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．(9分) 解：＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3). 因为⊥，所以·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 当y＝3时，x＝－6，此时＝(0，4)， ＝(－8，0)； 当y＝－1时，x＝2，此时＝(8，0)， ＝(0，－4)； 所以S四边形ABCD＝||·||＝×8×4＝16. $$