9、6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 　 第六章　6．3　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示．　 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．　 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养数学运算、逻辑推理核心素养． 知识点一　数乘运算的坐标表示 1 知识点二　平面向量共线的坐标表示 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　数乘运算的坐标表示 返回 问题导思 问题1.已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示：λa＝λ(x i＋y j)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy). 新知构建 平面向量数乘运算的坐标表示 1．语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 2．坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝_________． (λx，λy) 例1 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b； 解：2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b； 解：a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). 规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行计算，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 (1)求2a－3b＋c； (2)求满足c＝m a＋n b的实数m，n. 返回 知识点二　平面向量共线的坐标表示 返回 问题导思 问题2.已知a，b两个向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存 在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2) 消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 新知构建 平面向量共线的坐标表示 条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b共线的充要条件是_____________ x1y2－x2y1＝0 例2 (1)下列各组向量共线的是 A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(2，3)，b2＝(3，2) C．a3＝(1，2)，b3＝(7，14) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，4) √ 对于A，因为a1＝(－2，3)，b1＝(4，6)，则(－2)×6－3×4≠0，即a1与b1不共线；对于B，因为a2＝(2，3)，b2＝(3，2)，则2×2－3×3≠0，即a2与b2不共线；对于C，因为a3＝(1，2)，b3＝(7，14)，则1×14－2×7＝0，即a3与b3共线；对于D，因为a4＝(－3，2)，b4＝(6，4)，则(－3)×4－2×6≠0，即a4与b4不共线．故选C. 规律方法 向量共线的判定方法 证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2). 返回 综合应用 返回 应用一　利用向量共线的坐标表示求参数 (1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝______． 例3 3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)， 所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－ . 规律方法 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 1．利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解． 2．利用向量共线的坐标表示直接求解． 提醒　当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．　　 对点练3．(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为 √ 非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，所以m＝ .故选D. (2)若a＝( ，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________． 应用二　有向线段定比分点坐标公式及应用 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2， y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 ＝2，求点G的坐标． 例4 设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 规律方法 (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上； (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上； (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上．　　 对点练4．已知点A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝2|BP|，则点P的坐标为________． (6，－9) 返回 课堂小结 知识 (1)平面向量数乘运算的坐标表示．(2)两个向量共线的坐标表示． 方法 化归与转化 易错误区 两个向量共线的坐标表示的公式易记错． 随堂演练 返回 √ 2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么a－b等于 A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6) √ A．－4　　 B．－5 C．4　　　 D．5 √ 返回 课时测评 返回 1．下列向量组中，能作为基底的是 A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．(2，16) B．(－2，－16) C．(4，16) D．(2，0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k＝ A．±2 B．－2 C．2 D．0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a＝(5，4)，b＝(3，2)，所以2a－3b＝(1，2)，则与2a－3b平行的向量c＝(x，y)需满足y－2x＝0，即y＝2x.选项A，D中向量满足．故选AD. 5．(多选)已知a＝(5，4)，b＝(3，2)，则下列向量中与2a－3b平行的向量有 C．(－2，1) D．(1，2) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3，1)或(1，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1). 所以D点的坐标为(5，－4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4). 因为(ka－b)∥(a＋3b)， 所以4(k－2)＝7(－5k－3)， 解得k＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(多选)在平面α中，已知A(1，2)，B(3，－2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，则P点的坐标为 A．(4，3) B． C．(2，－6) D．(5，－6) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．(－4，2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4，2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(11分)如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，用向量法求AC和OB的交点P的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)已知A(0，5)，B(－1，0)，C(3，4)，D是BC上一点且△ACD的面积是△ABC面积的 ，则△ABC的重心G的坐标是________，D的坐标是 ________． ( ，3) (2，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sinα≤2， 所以－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 (3)a－b. 解：a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝. 对点练1．已知向量a＝，b＝，c＝(4，7). 解：2a－3b＋c＝－＋(4，7)＝(17，－3). 解：因为c＝m a＋n b，所以＝m＋n＝， 所以解得 (2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 解：＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6). 法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，所以与共线，通过观察可知，和方向相反． 法二：因为＝－2，所以与共线且方向相反． 对点练2．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝，＝，求证：∥. 由题意知＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)， 所以＝＝(，)，＝＝(－，1)， 所以＝(x1，y1)－(－1，0)＝(，)， ＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)， 所以(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0)， 所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，－). 因为4×(－)－(－1)×＝0， 所以∥. － (2)已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________． － ＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)， 由题意可知∥， 所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－(k＝1不合题意，舍去). A．－1或 B．1或－ C．－1 D． 因为a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b，所以sin α－3cos α＝0，即tan α＝，又0<α<，故α＝. 解：因为D是AB的中点，所以点D的坐标为， 因为＝2，所以＝2， x＝＝， y＝＝， 即点G的坐标为. 1．用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比． 2．若＝λ，其中λ≠0. 设点P的坐标为(x，y)，由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知即点P的坐标为(6，－9). 1．已知向量a＝， b＝，那么2a＋b＝ A． B． C． D． 因为a＝，b＝，所以2a＋b＝2(1，－1)＋＝＋＝.故选A. 因为a∥b，所以a＝λb，则得所以b＝(－2，4)，所以a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).故选C. 3．若三点A，B，C共线，则实数t＝ ＝，＝，由题意可得∥，则t＋2＝－2，解得t＝－4.故选A. 4．已知A，B，O为坐标原点，A，B，M三点共线，且＝＋λ，则点M的坐标为________． 因为A，B，M三点共线，且＝＋λ，所以λ＝，又A，B，即＝(2，－1)，＝(－1，1)，所以＝(2，－1)＋(－1，1)＝，则点M的坐标为. D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－) 对于A，因为e1＝0，则有e1∥e2，e1与e2不能作为基底；对于B，因为e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)，(－1)×7－2×5≠0，则有e1与e2不共线，e1与e2可作基底；对于C，因为e1＝(3，5)，e2＝(6，10)，则有e2＝2e1，e1与e2不能作为基底；对于D，因为e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，则有e1＝4e2，e1与e2不能作为基底．故选B. 2．已知点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为 设点D(x，y)，＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)，则＝2－3＝(6，2)－(3，－12)＝(3，14)＝(x＋1，y－2)，所以解得即D(2，16).故选A. 因为a与b共线且方向相反，所以存在实数λ(λ<0)，使得b＝λa，即(4，k)＝λ(k，1)＝(λk，λ)，所以解得或(舍去).故选B. 4．已知向量＝(7，6)，＝(－3，m)，＝(－1，2m)，若A，C，D三点共线，则m＝ A． B． C．－ D．－ ＝＋＝(4，m＋6)，因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－(m＋6)，解得m＝－.故选D. A．(，) B．(，－) 6．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m＝ A．－2 B． C．1 D．－1 因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形．故选ABD. － 由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－. 8．已知A(2，4)，B(－4，6)，若＝，＝，则的坐标为__________． 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，＝，则(x1－2，y1－4)＝(－6，2)＝(－9，3)，所以x1＝－7，y1＝7，即C(－7，7).＝，则(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝，所以x2＝4，y2＝，即D，则＝. 9．设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为_______________． 因为A(2，0)，B(4，2)，所以＝(2，2).因为点P在直线AB上，且||＝2||，所以＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1). (1)若＝，求D点的坐标；(4分) 解：设D(x，y)，则＝(1，－5)，＝(x－4，y－1). 因为＝，所以(1，－5)＝(x－4，y－1)， 即解得 (2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．(6分) 解：由题意得a＝＝(1，－5)，b＝＝(2，3)， 因为|AP|＝2|PB|，所以＝2或＝－2，由定比分点坐标公式可知当λ＝2时，P，当λ＝－2时，P(5，－6).故选BD. 12．在△ABC中，已知A(2，3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且＝2，那么点C的坐标为 ＝(4，－7)，设C(x，y)，则＝(x－2，y－3)，因为AD为△ABC的中线，所以＝(＋)＝(，)，又＝2，所以＝＝(，).因为A(2，3)，G(4，－1)，所以＝(2，－4)，所以解得所以C(4，－2).故选C. 13．已知A(－3，0)，B(0，－2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝________． 由题设知，C在第三象限内，又||＝2且∠AOC＝，所以C(－2，－2)，所以＝(－2，－2)，而＝(－3，0)，＝(0，－2)，则＝λ＋，即(－2，－2)＝λ(－3，0)＋(0，－2)＝(－3λ，－2)，可得λ＝. 解：设P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以4x＝4y，即x＝y. 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)且与共线，则(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3). 由题可得△ABC的重心G的坐标为(，)，即(，3).由题意得＝3.设D(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(3－x，4－y)，所以x＋1＝3(3－x)，y＝3(4－y)，解得x＝2，y＝3，即D(2，3). 16．(14分)设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围． 解：由a＝2b，知 所以 所以≤m≤2， 因为＝＝2－，所以－6≤2－≤1， 所以的取值范围为[－6，1]. $$