8、6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 　 第六章　6．3　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养直观想象核心素养．　 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示，培养数学运算核心素养． 知识点一　平面向量的坐标表示 1 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　平面向量的坐标表示 返回 问题导思 问题1.如图，在光滑斜面上的一个木块受到重力G的作用， 产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜 面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，这些力之间有什么关系？ 提示：重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2. 问题2.如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内 的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示：由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y， 使得a＝x i＋yj. 新知构建 1．平面向量正交分解的定义 把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量作正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示 互相垂直 (x，y) (2)向量坐标与点的坐标的关系 终点A 微提醒 (1)向量的坐标只与表示此向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，坐标不变． 例1 (1)如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量 {i，j}作为基底，若|a|＝ ，θ＝45°，则向量a的坐标为 A．(1，1)　　　　 B．(－1，－1) √ (2)(多选)已知 ＝(－2，4)，则下列说法不正确的是 A．A点的坐标是(－2，4) B．B点的坐标是(－2，4) C．当B是原点时，A点的坐标是(－2，4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2，4) 由题意，向量 ＝(－2，4)与终点、起点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是(－2，4)，故A错误；同理B点的坐标不一定是(－2，4)，故B错误；当B是原点时，A点的坐标是(2，－4)，故C错误；当A是原点时，B点的坐标是(－2，4)，故D正确．故选ABC. √ √ √ 规律方法 求点和向量坐标的常用方法 1．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． 2．求一个向量的坐标，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 返回 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 返回 问题导思 问题3.已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 问题4.如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求 的坐标？ 新知构建 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表，   符号表示 加法 a＋b＝_________________ 减法 a－b＝_________________ 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__________________ (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (x2－x1，y2－y1) 微提醒 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 例2 (1)求a＋b－c； 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16). 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). 设O为坐标原点． ＝(－9，－7)，所以N(－9，－7)， 规律方法 平面向量坐标运算的技巧 1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行求解． 2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 3．向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行．　　 A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) √ 返回 综合应用 返回 例5 平面向量坐标运算的应用 (1)点P在第一、三象限的角平分线上； (2)点P在第三象限内； (3)点P在坐标轴上． 若点P在y轴上，则x＝5＋5λ＝0，所以λ＝－1. 规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 1．条件：相等向量的对应坐标相等． 2．应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．　　 对点练3．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点． 解：设点D的坐标为(x，y)， 故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0). 返回 课堂小结 知识 (1)平面向量的正交分解及坐标表示．(2)平面向量加、减运算的坐标表示． 方法 数形结合 易错误区 已知A，B两点求 的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标． 随堂演练 返回 1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于 A．(－2，1) B．(2，－1) C．(2，0) D．(4，3) 由题意得b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).故选B. √ 2．若A(3，1)，B(2，－1)，则 的坐标是 A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2) ＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2).故选C. √ 3．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则 可以表示为 A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j √ 返回 (2，0) 课时测评 返回 1．如图所示，向量 的坐标是 A．(1，1) B．(－1，－2) C．(2，3) D．(－2，－3) 由题图知，M(1，1)，N(－1，－2)，则 ＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3).故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．(1，10) B．(5，4) C．(－4，6) D．(－5，2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．(1＋m，7＋n) B．(－1－m，－7－n) C．(1－m，7－n) D．(－1＋m，－7＋n) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对平面内的任一向量a，下列结论中错误的是 A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y) B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2 C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y) 由平面向量基本定理，可知A正确；取a＝(1，0)≠(1，3)，1＝1，0≠3，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．故选BCD. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)已知平行四边形的三个顶点坐标为(3，－2)，(5，2)，(－1，4)，则第四个顶点的坐标可能是 A．(9，－4) B．(1，8) C．(－3，0) D．(1，－3) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．在平面直角坐标系内，已知i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示为a＝________． 在平面直角坐标系内，已知i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示为a＝(2，－3). (2，－3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．已知2 025个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2 024个向量的和为____________． 设其余2 024个向量的和为(x，y)，则(8，15)＋(x，y)＝(0，0)，所以(x，y)＝(－8，－15). (－8，－15) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n＝________． －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2). 即点P的坐标为(3，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：设点P的坐标为(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．(2，2) B．(3，3) C．(1，3) D．(3，4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取{i，j}作为基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于 A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求向量a，b的坐标；(5分) 解：过点A作AM⊥x轴交x轴于点M(图略)， 因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， 所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求点B的坐标．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．0个 B．1个 C．5个 D．10个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(14分)已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，－1)，(1，2)，(m，1)，(3，n)，求m sin α＋n cos α的最大值． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是_______的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标． C．(， ) D．(－，－) 由题意，得a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1，1).故选A. 对点练1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量的坐标为_________． (2，6) 设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6). 提示：＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b. (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 又因为＝－＝b， 所以＝b＋＝(－6，－3)＋(－3，－4) 所以＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11). 对点练2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于 法一：设C(x，y)，O(0，0)，则＝－＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则＝－＝(－7，－4).故选A. 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).故选A. 已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ).若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时： 解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且与不共线， 所以则 若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝. 解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且与不共线， 所以则 若点P在第三象限内，则所以λ<－1. 解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且与不共线， 所以则 若点P在x轴上，则y＝4＋7λ＝0，所以λ＝－； 所以当λ＝－或－1时点P在坐标轴上． 当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2，2)； 当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4，6)； 当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，得D(－6，0). 设O为坐标原点，因为A(2，3)，B(4，2)，所以＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝4i＋2j－2i－3j＝2i－j.故选C. 4．已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量－＋的坐标为________． 依题意A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，C(1，1)，所以＝(1，0)，＝(1，1)，＝(1，1)－(1，0)＝(0，1)，故－＋＝(1，0)－(0，1)＋(1，1)＝(2，0). 2．设点A在30°角的终边上，||＝2(O是坐标原点)，则向量的坐标为 A．(，) B．(，) C．(－，－) D．(－，－) 因为点A在30°角的终边上，||＝2(O是坐标原点)，所以点A在第一象限，且到原点的距离为2，根据直角三角形的边角关系得，A点的横坐标x＝2cos 30°＝，纵坐标y＝2sin 30°＝，故所求的坐标为(，).故选A. 3．已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线为AC，BD，则－＝ 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋＝(1，10)，＝－＝(5，4)，所以－＝(1，10)－(5，4)＝(－4，6).故选C. 4．设＝(2，3)，＝(m，n)，＝(－1，4)，则＝ ＝＋＋＝－－－＝－(－1，4)－(m，n)－(2，3)＝(－1－m，－7－n).故选B. 如图，设A(3，－2)，B(5，2)，C(－1，4)，所以当平行四边形以AB，AC为邻边时，第四个顶点为D1，则＝＋＝＋(－4，6)＝，此时D1；当平行四边形以BA，BC为邻边时，第四个顶点为D3，则＝＋＝＋＝，此时D3；当平行四边形以CA，CB为邻边时，第四个顶点为D2，则＝＋＝＋＝，此时D2(9，－4).故第四个顶点的坐标可能是(1，8)，(－3，0)，(9，－4).故选ABC. 因为a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以所以所以m－n＝2－5＝－3. (1)若＝＋，求点P的坐标；(5分) 解：因为＝(1，2)，＝(2，1)， 所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)， (2)若＋＋＝0，求的坐标．(5分) 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)， 所以解得 所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2). 11．已知点A(1，1)，B(2，4)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是 因为点A(1，1)，B(2，4)，所以＝(1，3)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化，所以＝＝(1，3).故选C. 向量a对应的坐标为(x2＋x＋1，－x2＋x－1).因为x2＋x＋1＝＋>0，－x2＋x－1＝－－<0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．故选D. 13．已知A(7，2)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a＝________． 设点C(x0，ax0)，由于＝，所以(x0－7，ax0－2)＝(1－x0，4－ax0)， 则解得 14．(11分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形． 则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， 所以A(2，2)，故a＝(2，2). 所以C，所以＝＝，即b＝. 解：因为＝＋＝(2，2)＋＝，所以B. 15．(5分)设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使＋＋＋＋＝0成立的点M的个数为 建立适当的直角坐标系(图略)，设M(x，y)，A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，则＝(x1－x，y1－y)，＝(x2－x，y2－y)，＝(x3－x，y3－y)，＝(x4－x，y4－y)，＝(x5－x，y5－y)，因为＋＋＋＋＝0， 则(x1－x，y1－y)＋(x2－x，y2－y)＋(x3－x，y3－y)＋(x4－x，y4－y)＋(x5－x，y5－y)＝(0，0)，于是有(x1＋x2＋x3＋x4＋x5－5x，y1＋y2＋y3＋y4＋y5－5y)＝(0，0)，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5－5x＝0，且y1＋y2＋y3＋y4＋y5－5y＝0，所以x＝，且y＝，只有一组解，所以符合条件的点M只有一个．故选B. 解：因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝，又A(3，－1)，B(1，2)，C(m，1)，D(3，n)， 所以(3－3，n＋1)＝(m－1，1－2)，即 解得 所以m sin α＋n cos α＝sin α－2cos α＝sin (α＋φ)，其中tan φ＝－2， 故m sin α＋n cos α的最大值为. $$