7、6.3.1 平面向量基本定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6．3.1　平面向量基本定理 　 第六章　6．3　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义，培养数学抽象核心素养．　 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．　 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题，培养数学运算核心素养． 知识点　平面向量基本定理 1 课时测评 4 综合应用 2 内容索引 随堂演练 3 知识点　平面向量基本定理 返回 问题导思 问题1.如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是 这一平面内与e1，e2都不共线的向量．请你将向量a分解成图 中所给的两个方向上的向量． 问题2.上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示：分解方法唯一．如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2 －μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝ －e2.由此可得e1，e2共线，这与已知e1，e2不共线矛盾，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的． 新知构建 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底 若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 不共线 任一 有且只有一对 不共线 微提醒 (1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可． (2)当基底确定后，任一向量的表示方法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．特别地：当λ1e1＋λ2e2＝0时，λ1＝λ2＝0. (1)(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，λ，μ为实数，则下列说法正确的是 A．若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对 C．线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量 D．当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量 例1 √ √ 对于A，若λ≠0，则e1＝－ e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.故A正确；对于B，由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．故B不正确；对于C，平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．故C正确；对于D，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λ和μ取不同值时向量λe1＋μe2表示不同向量．故D不正确．故选AC. (2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是 A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以6e1－8e2与3e1－4e2共线，所以不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选ACD. √ √ √ 规律方法 对基底的理解 1．两个向量是否能构成基底，关键是看两向量是否共线．若共线，则不能作为基底，若不共线，则可作为基底． 2．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一地线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共 线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则　　 对点练1．已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 3 返回 综合应用 返回 例2 应用一　用基底表示向量 解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 规律方法 用基底表示向量的两种基本方法 1．运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止． 2．通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解，即若a ＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则根据 来构建方程(组)，使得问题获解．　　 a＋b 2a＋c 应用二　平面向量基本定理的应用 例3 规律方法 用向量解决平面几何问题的一般步骤 第一步：选取合适的基底，要注意与已知条件的联系； 第二步：将相关向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题； 第三步：利用向量知识进行向量运算，得到向量问题的解； 第四步：将向量的解转化为平面几何问题的解．　　 对点练3．如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC 上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN 的值． 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 返回 课堂小结 知识 (1)平面向量基本定理．(2)用基底表示向量．(3)平面向量基本定理的应用． 方法 数形结合 易错误区 忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量． 随堂演练 返回 √ 2．如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝ A．－2e1－4e2 B．－4e1－2e2 C．e2－3e1 D．－e2＋3e1 √ A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 √ 返回 课时测评 返回 对于A，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；对于B，2e1－e2＝2(e1－ e2)，为共线向量；对于C，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，也为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，知只有选项D中的两向量可作为基底．故选D. 1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量的基底的是 A．{e1－e2，e2－e1} B．{2e1－e2，e1－ e2} C．{2e2－3e1，6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1＋3e2} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．如图，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ C．2m＝3n D．3m＝2n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为____________________． 若{a，b}能作为平面内一个基底，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb(k∈R)，得λ≠4. (－∞，4)∪(4，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ C．2m＋n＝3 D．m＋2n＝3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值．(6分) 解：因为A，O，M三点共线， 因为D，O，N三点共线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以AO∶OM＝3∶11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 提示：如图，＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. 因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，由平面向量基本定理得所以所以x－y＝3. 如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示 ，. 所以＝＝＝b. ＝＋＋＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 对点练2．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时， 可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________． 以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b；以{a，c}为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得＝2a＋c. 如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c. (1)用a，c表示向量； 解：因为＝－＝c－a，点D是AC的中点， 所以＝＝(c－a)， 因为点E是BD的中点， 所以＝(＋)＝＋ ＝－a＋(c－a)＝c－a. (2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF. 解：设＝λ(0<λ<1)， 所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a) ＝(1－λ)a＋λc. 又＝a＋c，所以λ＝， 所以＝，所以AF∶CF＝4∶1. 解：设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μ e1＋μ e2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得解得 所以＝，＝， 1．在△ABC中，＝c，＝b，点D满足＝2，若将{b，c}作为一个基底，则＝ A．b＋c B．c－b C．b－c D．b＋c 因为＝2，所以－＝2(－)，所以－c＝2(b－)，所以＝b＋c.故选A. 如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C. 3．已知非零向量 ， 不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是 由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2，即x＋y－2＝0.故选A. 4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝ －＋，又因为与不共线，所以λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝. A．e1，e2是该平面所有向量的一个基底，－＋＝e1＋2e2 B．e1，e2是该平面所有向量的一个基底，－＋＝2e1＋e2 C．e1，e2不是该平面所有向量的一个基底，－＋＝e1＋2e2 D．e1，e2不是该平面所有向量的一个基底，－＋＝2e1＋e2 由题图可知，平面向量e1，e2不共线，是该平面所有向量的一个基底，且－＋＝＋＝＝e1＋2e2.故选A. 3．在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设＝a，＝b，则＝ A．－a＋b B．a－b C．－a－b D．a＋b 由题意＝－＝－＝(＋)－＝(＋)－＝－＝－a＋b.故选A. 4．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则＝ A． B． C．3 D． 由题意可得，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，据此可知λ＝，μ＝，所以＝.故选A. 5．(多选)点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则有 A．＝－a－b B．＝a－b C．＝a＋b D．＝－a 如图，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确．故选AD. 6．(多选)如图，在OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且＝4，若＝m＋n，其中m，n∈R，则 A．m＋n＝ B．m－n＝ 在平行四边形中＝，＝，＝＋，因为E是AC的中点，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝4，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝m＋n，所以＝(m＋n)＋(m＋n)，所以解得所以m＋n＝，m－n＝，2m＝3n，故选ABC. 8．如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________(用a，b表示). a＋b ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 9．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________． 考虑以{，}为基底来计算．因为＝3，＝2，所以＝＋，＝－＝－＋，所以·＝(＋)·(－＋)＝2－2＝×36－×16＝9. 10．(10分)如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，CN＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，， 表示出来． 解：＝－＝－＝a－b， ＝－＝－－ ＝－b－(a－b)＝－a＋b， ＝－＝－(＋)＝(a＋b). 11．M是△ABC内的一点，若＝＋λ，＝＋μ，则λ＋μ＝ A． B．1 C． D． 由－＝，则＝＋μ－－λ，所以＝μ－λ，即＝6(μ－λ)＝6(μ＋λ)，又＝＋，故μ＝λ＝，故λ＋μ＝.故选D. 12．(多选)已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设＝m，＝n，其中m>0，n>0，则下列结论正确的是 A．＝＋ B．＝＋ 如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A正确，B错误．因为＝m，＝n，所以＝＋＝ ＋.又因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，故2m＋n＝3，故C正确，D错误．故选AC. 13．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________． ＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ(－＋)＝－＋λ，所以则＝. 14．(11分)如图所示，在ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB. (1)试用向量a，b来表示，；(5分) 解：因为AN＝AB，所以＝＝a， 所以＝－＝a－b. 因为BM＝BC， 所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b. 所以∥， 设＝λ， 则＝－＝λ－ ＝λ(a＋b)－b＝λa＋(λ－1)b. 所以∥，存在实数μ使＝μ， 则λa＋(λ－1)b＝μ(a－b). 由于向量a，b不共线，则 解得 所以＝，＝， 15．(5分)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________． 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为OB所在射线为邻边，OC为对角线对角线作OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，则存在λ，μ，使＝λ，＝μ，即＝＋＝λ＋μ.在Rt△OCM中，因为||＝2，∠COM＝30°，∠OCM＝90°，所以||＝4，所以＝4，又||＝||＝2，所以＝2，所以＝4＋2，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 16．(14分)如图，在△AOB中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b. (1)试用a，b表示向量；(6分) 解：设＝t，则＝＋＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝4＋t，由于C，M，B三点共线，所以4＋t＝1，t＝.所以＝＋＝a＋b. (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设＝λ，＝μ，求λ＋μ的最小值．(8分) 解：依题意＝λ，＝μ，由于EF过点M，且＝，＝，所以 由(1)得＝＋，所以＝·＋·＝＋， 由于M，E，F三点共线，所以＋＝1，λ＋μ＝＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝时等号成立，解得λ＝，μ＝.所以λ＋μ的最小值为. $$