4、6.2.3 向量的数乘运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.2.3　向量的数乘运算 　 第六章　6.2　平面向量的运算 学习目标 1.了解向量数乘的概念．　 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.　 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法，培养数学抽象、数学运算核心素养． 知识点一　向量的数乘运算 1 知识点二　向量的线性运算 2 知识点三　向量共线定理 3 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点一　向量的数乘运算 返回 问题导思 问题1.如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 新知构建 定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的______，记作λa 模 |λa|＝|λ||a| 方向 λa(a≠0)的方向： 特别地，当λ＝0时，λa＝___． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a 向量 数乘 λ>0 λ<0 0 微提醒 (1)数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加． (2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. 例1 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反 √ 规律方法 对数乘向量的三点说明 1．λa中的实数λ叫做向量a的系数． 2．向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍． 3．当λ＝0或a＝0时，λa＝0，注意是0，而不是0.　　 对点练1．(多选)对于非零向量a，下列说法正确的是 A．2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同 C．若λ＝0，则λa等于零 √ √ √ 返回 知识点二　向量的线性运算 返回 问题导思 问题2.类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？ 提示：数乘向量满足乘法对加法的分配律． 新知构建 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： (1)λ(μ a)＝_____； (2)(λ＋μ)a＝________； (3)λ(a＋b)＝________； 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的__________________运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________． λμ a λa＋μ a λa＋λb 加、减、数乘 λμ1a±λμ2b 例2 (1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于 A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 √ 原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.故选C. (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． 4b－3a 由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 规律方法 向量线性运算的基本方法 1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． 2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b √ (2)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. (a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b. 返回 知识点三　向量共线定理 返回 问题导思 问题3.如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)? 提示：共线，存在． 提示：x＋y＝1，证明如下： 因为A，B，C三点共线， 则x＝1＋λ，y＝－λ， 所以x＋y＝1. 新知构建 1．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_______． b＝λa 微思考 共线向量定理中为什么规定a≠0? 提示：向量共线定理中规定a≠0的原因： (1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； (2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线； (3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾． 2.向量共线定理的推论 例3 设a，b是不共线的两个向量． 求证：A，B，C三点共线； 所以A，B，C三点共线． (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． 解：因为8a＋kb与ka＋2b共线， 所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， 解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4. 规律方法 1．证明或判断三点共线的方法 2．利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．　　 A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 √ 返回 综合应用 返回 例4 用已知向量表示未知向量 变式探究 (变条件)若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？ 规律方法 用已知向量表示其他向量的两种方法 1．直接法 2．方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　　 √ 返回 课堂小结 知识 (1)向量的数乘及运算律．(2)向量共线定理．(3)三点共线的常用结论． 方法 数形结合、分类讨论． 易错误区 忽视零向量这一个特殊向量． 随堂演练 返回 √ 2．(多选)下列运算正确的是 A．(－3)·2a＝－6a B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0 D．2(3a－b)＝6a－2b 根据向量数乘运算和加、减运算律知A，B，D正确；对于C，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误． √ √ √ 4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a. 3．化简4(a－3b)－6(－2b－a)＝________． 10a 返回 课时测评 返回 1．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的有 ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n. A．②④ B．①② C．①③ D．③④ 对于①，m(a－b)＝ma－mb，故①中命题正确；对于②，(m－n)a＝ma－na，故②中命题正确；对于③，当m＝0时，由0·a＝0·b，不能得到a＝b，故③中命题错误；对于④，当a＝0时，由ma＝na，不能得到m＝n，故④中命题错误．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．下列各组向量中，一定能推出a∥b的是 A．① B．①② C．②③ D．①②③ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)下列说法正确的有 A．λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0) B．若a∥b，则b＝λa(λ∈R) C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 当λ>0时，a与λa方向相同，当λ<0时，a与λa方向相反，故A正确；当a≠0时，结论才成立，故B错误；当|b|＝2|a|时，b与2a不一定共线，故C错误；显然当b＝±2a时，|b|＝2|a|，故D正确．故选AD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是 A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：因为P在直线AB上，即A，B，P三点共线，所以3＋x＝1，即x＝－2. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：法一：如图所示，在▱ABCD中，设AC交BD于点O， 则点O平分AC和BD. 所以N为OC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 所以点M是△ABC的重心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以M，N，C三点共线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C．－6 D．6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(14分)设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论． 解：b与a＋c共线．证明如下： 因为a＋b与c共线， 所以存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.① 因为b＋c与a共线， 所以存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.② 由①－②得，a－c＝λc－μa. 所以(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又因为a与c不共线，所以1＋μ＝0，1＋λ＝0， 所以μ＝－1，λ＝－1，所以a＋b＝－c， 即a＋b＋c＝0，所以a＋c＝－b. 故b与a＋c共线． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 提示：＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. (3)当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量． C．＝·a D．＝· 依题意，λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，但是λ<0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，故A，B错误；由数乘运算的长度的定义可知＝·，故C错误，D正确．故选D. B．－的长度是a的长度的，且－与a方向相反 D．若λ＝，则λa是与a同向的单位向量 对于A，2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同，故A正确；对于B，－的长度是a的长度的，且－与a方向相反，故B正确；对于C，若λ＝0，则λa等于零向量，不是零，故C错误；对于D，若λ＝，则λa是与a同向的单位向量，故D正确．故选ABD. 对点练2．(1)化简的结果是 原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝2b.故选B. 问题4.若A，B，C三共点线，O为直线外一点，且＝x＋y，那么x与y有什么关系？ 所以存在实数λ，使得＝λ， 即－＝λ(－)， 所以＝(1＋λ)－λ， 又＝x＋y， 问题5.若＝x＋y，且x＋y＝1，那么A，B，C三点共线吗？ 提示：共线．证明如下：由＝x＋y，且x＋y＝1，可得＝x＋(1－x)＝x＋－x，即－＝x(－)，所以＝x，由向量共线定理，得与共线，故A，B，C三点共线． 在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(O为平面内直线AB外任意一点)，其中x＋y＝1. (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 证明：因为＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， 所以与共线，且有公共点B， 因为a与b不共线，所以 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． 对点练3．已知向量a，b不共线，若＝a＋2b，＝－3a＋7b，＝4a－5b，则 对于A，因为＝a＋2b，＝－3a＋7b，若A，B，C三点共线，则存在实数λ使得＝λ，则无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误； 对于B，因为＝＋＋＝a＋2b－3a＋7b＋4a－5b＝2a＋4b，所以＝2(a＋2b)＝2，又因为A是公共点，所以A，B，D三点共线，故B正确；对于C，因为＝a＋2b，＝－3a＋7b，所以＝－2a＋9b，若A，C，D三点共线，则存在实数λ使得＝λ，又＝4a－5b，所以无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数λ使得＝λ，又＝－3a＋7b，＝4a－5b，所以无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误．故选B. 在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设＝a，＝b，试用a和b表示. 解：因为B，C，D三点共线，且CD＝2BD，所以＝. 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 解：法一：如图①，因为＝－，且CD＝BD， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b). 法二：如图②，以AB，AC为邻边作▱ABEC，则＝＋， 因为CD＝BD，所以D是AE的中点． 所以＝＝(＋)＝(a＋b). 对点练4．(1)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且＝，＝，若＝a，＝b，则＝ A．a＋b B．－a＋b C．a－b D．－a－b 如图所示，＝－＝－＝(－)＋＝＋＝a＋b.故选A. (2)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，则向量＝________．(用a，b表示) b＋a ＝＋＝＋＝b＋a. 1．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝ A．－＋ B．＋ C．－ D．－ ＝＋＝＋，＝＋＝＋＝ －＋(＋)＝－＋＋＝－.故选D. 4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝______． － 因为A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得＝λ，又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以解得k＝－. ①a＝－3e，b＝2e；②a＝e1－e2，b＝－e1； ③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋. ①中，a＝－b，所以a∥b；②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线，故不能推出a∥b.故选B. 3．已知a，b为两个不共线的向量，向量－ta＋b(t∈R)与a－b共线，则实数t＝ A． B．± C． D．± 因为向量－ta＋b与a－b共线，则存在实数λ，使－ta＋b＝λ(a－b)，结合a，b为两个不共线向量可得有－t2＝－，解得t＝±.故选D. 4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2BD，E是AD的中点，则＝ A．－ B．＋ C．－－ D．－＋ 因为CD＝2BD，所以＝＝(－).因为E是AD的中点，所以＝＝(＋)＝＋(－)＝＋，则＝－＝－＋.故选D. C．已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 对于A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；对于B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；对于C，a，b显然不共线；对于D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量，不是共线向量，即不能判定a，b共线．故选AB. ± 由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.因为|a|＝3，|b|＝5，所以|λ|＝，即λ＝±. 8．已知＝，且＝k，则实数k＝________． 因为＝，所以A，B，P三点共线，其位置关系如图，由图知，点B在线段AP四等分点的位置(靠近点P)，所以＝4，所以k＝4. 9．已知O，A，B是平面内任意不共线的三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝________． 法一：因为点P在直线AB上，所以＝λ，λ∈R，－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，所以所以x＝－2. 10．(10分)在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示). 因为＝3，所以＝， 又M为BC的中点，所以MN綉BO， 所以＝＝＝(b－a). 法二：＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a). 11．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于 A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 因为△DEF∽△BEA，所以＝＝，所以DF＝AB＝DC，所以＝＋＝＋.因为＝＋＝a，＝－＝b，联立得＝(a－b)，＝(a＋b)，所以＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.故选D. A．＝ B．＝ C．＋＝ D．＝－2 因为在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，所以G是△ABC的重心．所以＝，故A正确；＝－，故B错误；＋＝＋＝＝，故C正确；＝ －2，故D正确．故选ACD. 13．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________． 法一：因为＋＋＝0， 所以＋＝3，所以m＝3. 法二：在△ABC中，＝－， ＝－， 若＋＝m成立，则(－)＋(－)＝m成立，整理得＋＋(m－2)＝0，由已知可得，m－2＝1，即m＝3. 14．(11分)如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线． 证明：设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知： ＝－＝－＝a－b. 又因为N在BD上且BN＝BD， 所以＝＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝－＝(a＋b)－b ＝a－b＝(a－b)， 所以＝， 所以与共线，且有公共点C， 15．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，＝2，若＝x＋y，则3x＋6y等于 A． B．－ ＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋－＝＋.因为＝x＋y，所以x＋y＝＋，所以(x－)＝(－y)，又与不共线，所以x－＝0且－y＝0，故x＝，y＝.所以3x＋6y＝6.故选D. $$