3、6.2.2 向量的减法运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6．2.2　向量的减法运算 　 第六章　6.2　平面向量的运算 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解向量减法的几何意义，培养数学抽象核心素养．　 2.掌握平面向量的减法运算及运算法则，培养数学运算核心素养． 知识点一　向量的减法运算 1 知识点二　向量减法的几何意义 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　向量的减法运算 返回 问题导思 问题1.在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？ 提示：减去一个数等于加上这个数的相反数． 新知构建 1．相反向量：与向量a长度______，方向______的向量，叫做a的______向量，记作－a. 2．向量的减法：向量a加上b的____________，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的____________，求两个向量___的运算叫做向量的减法． 相等 相反 相反 相反向量 相反向量 差 微提醒 (1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 例1 相反向量的大小相等、方向相反，故A错误．故选BCD. (多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是 A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 √ √ √ 规律方法 向量的减法运算可看作向量加法与相反向量的综合．　　 由相反向量的定义知B，D正确，且C正确，A错误，故选BCD. 对点练1．(多选)下列命题中，正确的是 A．相反向量就是方向相反的向量 C．两个向量的差仍是一个向量 D．相反向量是共线向量 √ √ √ 返回 知识点二　向量减法的几何意义 返回 问题导思 问题2.向量加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么如何进行向量的减法运算呢？ 提示：转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 新知构建 向量减法的几何意义 例2 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 规律方法 求作两个向量的差向量的两种思路 1．可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． 2．可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　　 对点练2．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 返回 综合应用 返回 例3 应用一　向量加、减法的混合运算 √ (2)(多选)下列结果为零向量的是 √ √ √ 规律方法 向量加减法运算的基本方法 1．利用相反向量统一成加法(相当于向量求和). 3．运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．　　 对点练3．化简下列式子： 应用二　向量加、减法的综合应用 例4 变式探究 规律方法 1．解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．　　 2．主要应用向量加、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养． 返回 课堂小结 知识 (1)向量的减法运算．(2)向量减法的几何意义． 方法 数形结合 易错误区 忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算． 随堂演练 返回 A．a B．a＋b C．b－a D．a－b √ √ A．a－b＋c　　　 B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c √ 返回 2 课时测评 返回 √ 1．下列向量关系式中，正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．四边形ABCD是矩形 D．四边形ABCD是正方形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作菱形ABCD，其中△ABC为等边三角形， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 6．(多选)下列结果恒为零向量的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2. 8．若a，b互为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________． 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的有 A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同 B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反 C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b的模相等 D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同 √ √ √ 当a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.当a，b同向时，有|a＋b|＝|a|＋|b|，||a|－|b||＝|a－b|.当a，b反向时，有|a＋b|＝||a|－|b||，|a|＋|b|＝|a－b|.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．点P在△ABC内部 B．点P在直线BC上 C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)|a＋b＋c|；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)|a－b＋c|.(7分) 所以|a－b＋c|＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 B．向量与是相反向量 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义． 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 解：如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. (1)已知正六边形ABCDEF，则＋－＝ A． B． C． D． 如图，由正六边形的特征可知＝，＝，所以＋－＝＋－＝＝.故选B. A．＋(－) B．－＋－ C．－＋ D．＋＋－ 对于A，＋(－)＝＋(＋)＝＋＝≠0，故A不正确；对于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故B正确；对于C，－＋＝＋＝0，故C正确；对于D，＋＋－＝＋－＝－＝0，故D正确．故选BCD. 2．运用减法公式－＝(正用或逆用). (1)－－－； 解：原式＝＋－＝＋＝0. (2)(－)－(－). 解：原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0. 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：由平行四边形的性质可知＝＝c， 由向量的减法可知＝－＝b－a， 由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c. (变条件)若本例中的条件“B是该平行四边形外一点”变为“B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c. 对点练4．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量： (1)； 解：＝－＝c－a. (2)； 解：＝－＝d－a. (5)－. 解：－＝－－(－)＝f－b－d＋b＝f－d. (3)－； 解：－＝＝－＝d－b. (4)＋； 解：＋＝－＋－＝b－a＋f－c. 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于 ＝－＝a－b.故选D. 2．化简－＋＋等于 A． B． C． D． 原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.故选B. 3．在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于 ＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.故选A. 4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝______． |－＋|＝|＋＋|＝||＝2. A．＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＋＝ 根据向量的概念可得A错误；对于B，＋＝，故B错误；对于C，－＝，故C错误；对于D，＋＋＝，故D正确．故选D. 2．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B. 3．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则必有 由四边形可知，B，C错误；在平行四边形ABCD中，＋＝，－＝，由题知||＝||，即平行四边形的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，故A正确；易知四边形ABCD不一定是正方形，故D错误．故选A. B．＝0或＝0 C．＝0 4．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为 A．1 B．2 C． D． 则|－|＝|－|＝||＝.故选D. 5．(多选)已知＋＝，则下列结论正确的是 A．＋＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝ 对于A，＋＝，故A错误；对于B，化为－＝，即＋＝，故B正确；对于C，对＋＝移项可得－＝，故C错误；对于D，由－－＝－，即＋＝，故D正确．故选BD. A．－(＋) B．－＋－ C．－＋ D．＋＋－ 对于A，－(＋)＝－＝＋＝2；对于B，－＋－＝＋＝0；对于C，－＋＝＋＝0；对于D，＋＋－＝＋＝0.故选BCD. 7．如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝________． －＋－＋＝＋＋＋＋＝＋＝0. 9．在矩形ABCD中，||＝2，||＝4，则|＋－|＝________，|＋＋|＝__________． 4 在矩形ABCD中，因为＋－＝＋＋＝＋＝2，所以|＋－|＝2||＝2＝4.因为＋＋＝＋＋＝＋＝2，所以|＋＋|＝2||＝8. (1)用a，d，e表示；(2分) 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. ＝＋＋＝d＋e＋a. (2)用b，c表示；(2分) 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. ＝－＝－－＝－b－c. (3)用a，b，e表示；(3分) 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. ＝＋＋＝e＋a＋b. (4)用d，c表示.(3分) 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. ＝－＝－(＋)＝－c－d. 11．(多选)下列各式的化简结果为的是 A．(－)－ B．－(＋) C．－(＋)－(＋) D．－＋－＋ (－)－＝＋＋＝，故A正确；－(＋)＝－0，故B正确；－(＋)－(＋)＝－(＋)－(＋)＝－－＝－(＋)＝－＝，故C正确；－＋－＋＝＋＋＋＝＋＝≠，故D不正确．故选ABC. 13．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝______． 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向量加减法的几何意义可知，＝＋，＝－，因为|＋|＝|－ |，所以||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，所以||＝||＝||＝2. 14．(11分)(开放题)如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ 解：由向量的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b. 15．(5分)已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋，则下列结论正确的是 因为＋＝＋，所以－＝－，所以＝＋，－＝，即＝.故点P在边AC所在的直线上．故选D. 16．(14分)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求： 解：由已知得a＋b＝＋＝， 因为＝c，所以延长AC到E，使||＝||，如图所示，则a＋b＋c＝， 且||＝2. 所以|a＋b＋c|＝2. 解：作＝，连接CF，则＋＝， 而＝－＝－＝a－b， 所以|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2. $$