1、6.1 平面向量的概念-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6．1　平面向量的概念 　 第六章　平面向量及其应用 学习目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．　 2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念，培养数学抽象核心素养． 知识点一　向量的概念及几何表示 1 知识点二　零向量和单位向量 2 知识点三　相等向量与共线向量 3 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点一　向量的概念及几何表示 返回 问题导思 问题1.在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？ 提示：面积、质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向． 问题2.平面直角坐标系中的x轴是如何表示方向的？ 提示：用箭头表示方向． 新知构建 向量的概念及表示 大小 方向 大小 数量 有向线段 方向 起点 终点 大小 模 微提醒 (1)向量有两个要素：大小和方向． (2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示． 例1 质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量． 给出下列物理量：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 √ 规律方法 判断一个量是否为向量的关键是看它是否具备向量的两个要素；向量可以用有向线段表示，但有向线段不是向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．　　 向量 的模与向量 的模都等于线段AB的长度，故A正确；有向线段是向量的几何表示，两者并不相同，故B错误；|a|与|b|分别表示向量a与b的大小，与a，b的方向无关，故C正确；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D正确．故选ACD. 对点练1．(多选)下列说法中正确的有 B．有向线段就是向量，向量就是有向线段 C．|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关 D．向量的模可以比较大小 √ √ √ 返回 知识点二　零向量和单位向量 返回 问题导思 问题3.我们知道向量的模是表示向量的有向线段的长度，那么向量的模是否可以为0或1呢？模为0或1的向量如何定义呢？ 提示：可以为0或1；模为0或1的向量分别定义为零向量和单位向量． 新知构建 向量名称 定义 零向量 长度为___的向量，记作___ 单位向量 长度等于____________长度的向量 0 0 1个单位 微提醒 (1)不能说零向量没有方向，它的方向是任意的． (2)单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同． 例2 (多选)下列说法正确的是 A．零向量可以是任意方向 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 √ √ √ 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向是任意的，零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1，故A，C，D正确． 规律方法 1．单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．　　 2．在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆． 对点练2．(多选)下列说法中错误的是 A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 √ √ √ 零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，有无数个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．故选ABD. 返回 知识点三　相等向量与共线向量 返回 问题导思 提示：大小相等，方向相同． 提示：大小不等，方向相同． 新知构建 平行向量(共线向量) 方向_______________的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量______ 相等向量 长度______且方向______的向量；向量a与b相等，记作a＝b 相同或相反 平行 相等 相同 微提醒 在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性． 例3 如图所示，O是正六边形AB-CDEF的中心，且＝ a， 在每两点所确定的向量中． (1)请写出所有与a的长度相等、方向相反的向量； (2)请写出所有与a共线的向量． 变式探究 2．(变条件、变设问)在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长． 解：因为在正六边形中，相邻两顶点与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1，即正六边形的边长为1. 规律方法 相等向量与共线向量的探求方法 1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量．　　 对点练3．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与 共线的向量； 返回 综合应用 返回 向量的几何表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时，它完成了此片海域的巡逻任务． 例4 解：由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形， 规律方法 用有向线段表示向量的步骤 对点练4．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为 1)，用直尺和圆规画出下列向量． 返回 课堂小结 知识 (1)向量的概念及表示．(2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量). 方法 数形结合 易错误区 零向量和单位向量的方向容易混淆． 随堂演练 返回 A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量 √ 2．(多选)下列说法正确的是 A．加速度是向量 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 √ √ 由向量的定义知，加速度是向量，故A正确；B显然正确；根据位移的定义可知向量 表示这个人从A点到B点的位移，故C不正确；若两个单位向量平行，则方向相同或相反，则这两个单位向量不一定相等，故D错误． 3．(多选)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是 √ √ 返回 菱形 课时测评 返回 1．下列命题中正确的有 A．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 B．共线的向量，若始点不同，则终点一定不同 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．若|a|>|b|，则a>b 温度没有方向，所以不是向量，故A错误；由共线向量的定义可知，共线的向量，始点不同，终点可能相同，故B错误；向量不可以比较大小，故D错误；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C正确．故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．若正多边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，…，an，则这n个向量 A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等 由正多边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，…，an，可得|a1|＝|a2|＝…＝|an|.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)下列能使a∥b成立的是 A．a＝b B．|a|＝|b| C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0 对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.故选ACD. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是__________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走， 在C处有八条路可走．如图，以B为起点作有向线段表 示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C为 起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个． 9．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字． 如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方 格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可 跳到A2处，用向量AA1，AA2表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个． 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)以O为起点，以正六边形的顶点为终点或是以正六边形的顶点为起点，以O为终点的向量，有2×6－1＝11(个). (2)正六边形的六条边上的向量，有2×6＝12(个).故n＝23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．下列结论中正确的是 A．2 m长的有向线段不可能表示单位向量 C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)下列结论中正确的有 A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件 C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 √ √ √ 若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解： 由(1)所画的图知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(14分)一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求： (1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；(6分) 解：画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和， 即AB＋BC＝70(n mile). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移．(参考数据：sin 53°≈0.8)(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 定义 既有______又有______的量叫做向量．只有______没有方向的量称为______ 表示方法 (1)几何表示法：向量可以用____________表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的______；如：以A为______，B为______的有向线段记作； (2)字母表示法：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，) 向量的模 向量的______称为向量的长度(或称___)，如a，的模记作|a|，|| A．向量的模与向量的模相等 问题4.如图所示，边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 问题5.如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ 解：与a的长度相等、方向相反的向量有，，， . 解：与a共线的向量有，，，，，，，，. 1．(变设问)若本例条件不变，写出与共线的向量． 解：与共线的向量有，，，，，，，，. 解：因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝BC.又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)写出模与的模相等的向量； 解：模与的模相等的向量有，，，，. (3)写出与相等的向量． 解：与相等的向量有，. (1)作出向量，，； 解：如图所示，作出，，. (2)求||； 所以AD＝BC＝400 km，所以||＝400 km. (3)在作出的四边形ABCD中，是否一定有＝？ 解：一定有＝.因为AB与DC平行且相等，与的方向也相同，所以＝. (1)||＝3，点A在点O北偏西45°方向； 解：因为||＝3，点A在点O北偏西45°方向，所以以O为圆心，3为半径作圆，圆弧与图中正方形对角线OP的交点即为A点，如图①所示． 解：因为||＝2＝，点B在点O正南方向，所以以O为圆心，图中OQ为半径作圆，圆弧与OR的交点即为B点，如图②所示． 　 (2)||＝2，点B在点O正南方向． 1．如图，在圆O中，向量，，是 由题图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆O的半径．故选C. B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量 C．一人从A点向东走500米到达B点，则向量表示这个人从A点到B点的位移 A．＝ B．||＝|| C．＝ D．与共线 因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC中点，即有＝，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则||与 ||不一定相等，B不正确；点A，O，B不共线，C不正确；平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有与共线，D正确． 4．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________． 因为＝，所以AB＝DC，AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，因为||＝||，所以四边形ABCD是菱形． A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 因为AB与AC不平行，所以与不共线，故A错误；因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故与共线，故B正确；因为CD与AE不平行，所以与不相等，故C错误；因为与的方向相反，所以与不相等，故D错误．故选B. 4．“向量，共线”是“直线AB∥CD”的 向量，共线⇒直线AB，CD平行或重合；直线AB∥CD⇒向量，共线．因此“向量，共线”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件． A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有8个(不含) C．的模恰为的模的倍 D．与不共线 由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个，故A正确，B错误；在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，故C正确；由于＝，因此与是共线的，故D错误．故选AC. 西北方向5 km 根据题意画出图形，如图，由题可知||＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km. 8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________． 向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反．由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0. 10．(10分)如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n. 解：与方向相同的向量仅有，，，，又||≠||，||＝||＝||＝||，故m＝3；与向量的模相等的向量有两类： B．若a，b为非零向量，且＝，则a与b共线 D．一人从A点向东走5 m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移 一个单位长度取2 m时，2 m长的有向线段刚好表示单位向量，故A不正确；a，b为非零向量，表示与a方向相同的单位向量，表示与b方向相同的单位向量，因为＝，所以a与b共线，故B正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故C不正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故D不正确．故选B. 13．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝________． 如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则||＝||＝×2＝1. 14．(11分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量；(4分) 解：画出所有的向量，如图所示． (2)求||的最大值与最小值．(7分) ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝. 所以||的最大值为，最小值为. A．||＝|| B．与共线 C．与共线 D．＝ 由向量相等及共线的概念，结合图形可知，∠DEH不一定等于∠BDC，故与不一定平行，所以C不一定正确．故选C. 解：巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为||＝＝50(n mile)，由于sin ∠BAC＝＝0.8，故方向约为北偏东53°. $$