精品解析：广西梧州地区2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2024-2025学年度高二年级下学期开学考 数学 （全卷满分100分，考试时间60分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、单选题 1. 已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，由斜率求倾斜角即可. 【详解】根据题意有：斜率 故选：B. 2. 在数列中，，则18是数列中的（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由，得数列是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，而满足该式，故, 令，解得， 所以18是数列中的第5项． 故选：C. 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程得到其圆心与半径，再利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 又点到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长等于. 故选：A. 4. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A,B，点O是坐标原点，若，则的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线焦点，利用抛物线定义求出点的坐标，直线方程，进而求出点的纵坐标，再求出三角形面积. 【详解】抛物线的焦点，准线，过作，垂足为， 则由抛物线的定义得，设， 则，解得，由抛物线对称性，不妨令点在轴上方，则， 点，，则直线的方程为，即， 由消去得，则， 所以的面积为. 故选：D. 5. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 二、多选题 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，且，则 B. 相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越大，相关性越弱 C. 相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D. 在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据正态分布的性质求解即可.对BCD根据相关系数与残差的性质判定即可. 【详解】对A， ，A对. 对B， 相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且越大,相关性越强，B错. 对C， 相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越差，C错. 对D， 在残差图中,残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高，D对. 故AD正确. 故选：AD. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. P在BC中点时，平面平面GMN B. E、F、G、M、N在同一个球面上 C. 异面直线EF、GN所成角的余弦值为 D. ，则P点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体图形特征证明平面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据五点共圆得到B；根据异面直线所成的角判断C错误；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D. 【详解】对于A：取的中点，连接， 在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 易得，平面， 因平面，则， 又平面，， 故平面，因平面，故①， 连接，是正方形，， 因平面，平面，则， 因平面，， 故平面，又平面，则②， 因平面，又， 由① ，②可得平面，又平面，故平面平面，故A正确； 对于B：记正方体的中心为点，则， 所以在以为球心，以为半径的球面上，故B正确； 对于C：取的中点，连接，则， 所以或其补角是异面直线所成的角， 又，则，故C错误； 对于D：因为，且为的中点， 所以，故， 所以点轨迹是过点与平行的线段，且， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查与正方体有关的平面位置关系判断，异面直线所成角以及动点轨迹长度有关问题，属于较难题. （1）求异面直线所成的角时，常将其转化为与其中一条平行且与另一条直线相交所成的角，利用解三角形求解； （2）证明面面垂直时，通常由线面垂直证面面垂直； （3）证明多点在一个球面问题时，常设法寻找球心，证其到各点距离相等得到. 三、填空题 8. 已知数列是等差数列，若，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】运用等差数列下标的性质进行求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以由， 于是， 故答案为： 9. 已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，可得相似于，且相似比为，结合双曲线的定义可得，在直角中，由勾股定理得出的等量关系，再由双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为， 直线与圆相切， ， ， 为的中点，， 相似于，且相似比为， 故. . 在双曲线中，由双曲线定义知， . 为直角三角形， ，即，解得， 故双曲线的离心率为. 故答案为:. 四、解答题 10. 已知直线：和直线：. （1）若，求a的值； （2）若，求两直线，间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两条直线垂直的条件即可求得结果. （2）利用两条直线平行的条件求出a的值，再利用点到线的距离公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为：，：且，所以，解得. 【小问2详解】 因为：，：，且，所以且，解得， 所以：，：，即：，：， 所以直线，间的距离为. 11. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的居民 40 10 50 年龄超过45岁的居民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系． （2）居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为；如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为，求小张周二选择在平台买菜的概率. （3）用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量，并记随机变量，求X，Y的数学期望和方差． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05 （2） （3）的数学期望，方差，的数学期望，方差 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比较即可求解； （2）根据给定条件，利用全概率公式计算作答； （3）由二项分布的期望、方差公式求解随机变量X的数学期望和方差，再利用数学期望和方差的性质求解Y的数学期望和方差即可. 【小问1详解】 统计假设：该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄无关系， 由给定的2×2列联表，得 根据小概率值的独立性检验，否定假设， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05； 【小问2详解】 设表示周在平台买菜，表示周在平台买菜，. 由题可得． 由全概率公式，小张周二选择在平台买菜的概率 ； 【小问3详解】 依题意，该社区居民喜欢网上买菜的概率估计值为. 从该社区随机抽取10名居民，其中喜欢网上买菜的居民人数， 所以的数学期望，方差. 又，所以的数学期望，方差. 12. 已知椭圆（）的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线交于点.记，，的斜率分别为，，，证明：为定值. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，， 如图，设，，直线的方程为， 与椭圆的方程联立，得，则， 所以，， 所以，，， ， 所以.此时直线的方程为， 直线的方程为，联立， 消去并整理得，解得，所以点在定直线上. 联立，解得，故， ，所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求解椭圆中的基本量，再得到椭圆方程即可. （2）利用条件找到的关系，再确定点的轨迹，将目标式化为单一变量，得到定值即可. 【小问1详解】 因为过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点， 所以设，，因为，所以， 解得，故，将代入方程， 得到，解得，所以，得到， 所以此时椭圆的方程为， 代入，可得， 即，解得或（舍），则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是找到目标式中所涉及的斜率的相互关系，然后消去多余的变量，再得到所要求的定值即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二年级下学期开学考 数学 （全卷满分100分，考试时间60分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、单选题 1. 已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，，则18是数列中的（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 4. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A,B，点O是坐标原点，若，则的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 5. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 二、多选题 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，且，则 B. 相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越大，相关性越弱 C. 相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D. 在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高 7. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. P在BC中点时，平面平面GMN B. E、F、G、M、N在同一个球面上 C. 异面直线EF、GN所成角的余弦值为 D. ，则P点轨迹长度为 三、填空题 8. 已知数列是等差数列，若，则__________. 9. 已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为__________. 四、解答题 10. 已知直线：和直线：. （1）若，求a的值； （2）若，求两直线，间的距离. 11. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的居民 40 10 50 年龄超过45岁的居民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系． （2）居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为；如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为，求小张周二选择在平台买菜的概率. （3）用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量，并记随机变量，求X，Y的数学期望和方差． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12. 已知椭圆（）的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线交于点.记，，的斜率分别为，，，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $