中考重难点精讲专练02 相似三角形模型（对角互补、共边共角类等9大模型+梅涅劳斯定理等2个补充模型）-备战2025年中考数学中档压轴题解题模

中考重难点精讲专练02 相似三角形模型 模型1 “A”字模型（3种类型） 2 【常见类型及图示】 2 【真题演练】 3 【巩固练习】 4 模型2 “8”字模型（4种类型） 5 【常见类型及图示】 5 【真题演练】 6 【巩固练习】 7 模型3 “AX”字模型（3种类型） 8 【常见类型及图示】 8 【真题演练】 9 【巩固练习】 10 模型4 一线三等角相似模型（3种类型） 11 【常见类型及图示】 11 【巩固练习】 13 模型5 手拉手相似模型（3种类型） 14 【常见类型及图示】 14 【真题演练】 15 【巩固练习】 16 模型6 半角模型 18 【常见类型及图示】 18 【真题演练】 20 【巩固练习】 21 模型7 对角互补模型 23 【常见类型及图示】 23 【真题演练】 25 【巩固练习】 26 模型8 十字架模型（矩形/三角形） 27 【常见类型及图示】 27 【真题演练】 29 【巩固练习】 30 模型9 共边共角模型（射影模型等4种类型） 31 【常见类型及图示】 31 【真题演练】 32 【巩固练习】 33 模型补充1 梅涅劳斯定理 34 【常见类型及图示】 34 【巩固练习】 34 模型补充2 塞瓦定理 36 【常见类型及图示】 36 【巩固练习】 36 2025年中考数学重难点【精讲专练】 相似三角形模型 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 模型1 “A”字模型（3种类型） 【模型解读】A字模型是相似三角形几何模型中的一种，得名于其基本形状与字母“A”的形状相似。在这个模型中，两个三角形相似，且它们的一个角相等，这个相等的角被称为“A字角”。由于两个三角形相似，因此它们的对应边成比例，这个比例被称为“相似比”。借助相似比，我们可以计算出三角形中各个元素的值，从而解决各种问题。 【常见类型及图示】 1、“A”字模型 如图，DE//BC； 结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 2、反“A”字模型 如图，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 3、同向双“A”字模型 如图，EF//BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 【真题演练】 （2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    （2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【巩固练习】 1、如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    2、如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，． (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    模型2 “8”字模型（4种类型） 【模型解读】8字模型是指由两个三角形通过共享一条对角线或中线构成的图形结构，这条对角线或中线将两个三角形分为两个小的相似三角形。在8字模型中，可以通过相似三角形的性质来求解边长或角度。 【常见类型及图示】 1、“8”字模型 如图，AB//CD； 结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 2、反“8”字模型 如图，∠A＝∠D； 结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 3、平行双“8”字模型 如图，AB//CD； 结论： 4、斜双“8”字模型 如图，∠DAO＝∠CBO； 结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠BAO＝∠CDO. 【真题演练】 （2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为． （1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 【巩固练习】 1、如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______． 2、如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E． （1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值； （2）若，求的长． 模型3 “AX”字模型（3种类型） 【模型解读】“AX”字模型（“A8”模型）型相似模型结合了A字模型和8字模型的特点，是一种非常灵活的模型。 【常见类型及图示】 1、一“A”一“8”模型 如图，DE//BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔ 2、两“A”一“8”模型 如图，DE//AF//BC；结论：. 3、四“A”一“8”模型 条件：如图，DE//AF//BC,；结论：AF=AG 【真题演练】 （2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． (1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． （2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证；（2）若，求的长． 【巩固练习】 1、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O． （1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD． （2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF//AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2． （3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度． 2、问题背景：如图1，在四边形中，点F，E，G分别在上，，，求证： 尝试应用：如图 2，是的中线，点E在上，直线交于点G，直线交于点F，若，求的值． 迁移拓展：如图3，在等边中，点D在上，点E在上，若，，直接写出的值．（用含m的式子表示） 模型4 一线三等角相似模型（3种类型） 【模型解读】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． 【常见类型及图示】 1、一线三等角模型（同侧型） 如图，∠CAP=∠PBD＝∠CPD， 结论：△ACP∽△BPD. 锐角型 直角型 钝角型 2、一线三等角模型（异侧型） 如图，∠1=∠2＝∠3； 结论：△ACP∽△BPD. 3、一线三等角模型（变异型） 类型： 如图，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°； 结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 类型： 如图，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°； 结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 类型（中点型一线三等角）： 如图，∠1=∠2=∠3，且D是BC中点； 结论：△BDE∽△CFD∽△DFE. 【真题演练】 （2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【巩固练习】 某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：＝k． （2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系： ． 模型5 手拉手相似模型（3种类型） 【模型解读】手拉手相似模型（手拉手旋转型）定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 【常见类型及图示】 1、任意三角形 如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 2、直角三角形 如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 3、等边三角形与等腰直角三角形 如图，M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 如图，△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 【真题演练】 （2022·山东烟台·中考真题） (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． （2021·四川乐山·中考真题）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD． （1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝　 　； （2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE． ①在图2中补全图形； ②探究CD与BE的数量关系，并证明； （3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明． 【巩固练习】 某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 模型6 半角模型 【模型解读】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等。通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。 【常见类型及图示】 1、正方形中的半角相似模型 如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）； 结论：如图，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA； 结论：如图，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 结论：如图，△BME∽△AMN∽△DFN. 2、特殊三角形中的半角相似模型 （1）含45°半角模型 如图，已知∠BAC＝90°，； 结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （） （2）含60°半角模型 如图，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （） 【真题演练】 （2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． （2021·浙江丽水·中考真题）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点． （1）当，时， ①求证：； ②连结，，若，求的值； （2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，则当为何值时，是等腰三角形. 【巩固练习】 综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________； （3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4． （4）求证：． 模型7 对角互补模型 【模型介绍】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。 【常见类型及图示】 1、对角互补相似1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H， 结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）. 2、对角互补相似2 如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 辅助线：作法1：如图，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G； 结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，） 辅助线：作法2：如图，过点C作CF⊥OC，交OB于F； 结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，） 3、对角互补相似3 如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F； 结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。 【真题演练】 （2021·黔东南州·中考真题）（对角互补型四点共圆）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD. 【探究发现】 （1）如图①，若∠BAD=,∠ABC=∠ADC=. 求证：AD+AB=AC； 【拓展迁移】 （2）如图②，若∠BAD=，∠ABC+∠ADC=. ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC=10，求四边形ABCD的面积。 （2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【巩固练习】 （1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 模型8 十字架模型（矩形/三角形） 【模型介绍】矩形的十字架模型则展示了相似的魅力。在矩形中，通过精细的构造，我们可以发现相似三角形的存在，并且可以通过已知条件推导出其他未知量。三角形的十字架模型更是将全等与相似的概念融为一体。在三角形中，我们可以利用十字形构造出全等或相似的三角形，从而解决各种几何问题。通过这些模型，我们不仅可以加深对全等与相似概念的理解，还能在实际问题中灵活运用，解决各种复杂的几何难题。 【常见类型及图示】 1、矩形的十字架模型 （1）如图，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. （2）如图，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. （3）如图，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 2、三角形的十字架模型（全等+相似模型） （1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似） 如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。 （2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似） 如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 （3）直角三角形中的十字模型 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似） 【真题演练】 （2021·四川达州·中考真题）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【现察与猜想】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　　； （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　　； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD； 【拓展延伸】 （4）如图4，在Rt△ABC中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF． ①求的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度． 【巩固练习】 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________． 【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值． 【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________． 模型9 共边共角模型（射影模型等4种类型） 【模型解读】共边共角模型（母子模型）的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 【常见类型及图示】 1、射影模型（射影定理） 如图，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 2、斜射影模型 如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 3、斜射影模型变形 如图，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 4、共边模型 如图，在四边形中，对角线平分，； 结论：； 【真题演练】 （2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． （2023·湖南湘潭·中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长．    【巩固练习】 1、如图，已知，点，在边上，连接，，使，且． (1)请判定的形状，并说明理由； (2)若，，求的面积． 2、已知，点D在的边上，连接． (1)如图1，若．求证：； (2)如图2，若，，，．求线段的长； (3)如图3，M、N分别是上的两点，连接交于点P，当，时，若，直接写出的值______． 模型补充1 梅涅劳斯定理 【模型解读】梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）中。一条截线在三角形各边上确定出的六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积。这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角比关系来证明。 【常见类型及图示】 梅涅劳斯定理：如图，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形． 梅涅劳斯定理的逆定理：如图，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线． 【巩固练习】 梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，， ∴，． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：       （1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：． 请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题： （2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长． （3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积． 模型补充2 塞瓦定理 【模型解读】塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。塞瓦定理记忆方法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为一。 【常见类型及图示】 塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图，则 。 注意：①梅涅劳斯定理与塞瓦定理区别：塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线； ②我们用梅涅劳斯定理与塞瓦定理解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。 【巩固练习】 请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积． $$中考重难点精讲专练02 相似三角形模型 模型1 “A”字模型（3种类型） 2 【常见类型及图示】 2 【真题演练】 3 【巩固练习】 6 模型2 “8”字模型（4种类型） 9 【常见类型及图示】 9 【真题演练】 10 【巩固练习】 13 模型3 “AX”字模型（3种类型） 17 【常见类型及图示】 17 【真题演练】 18 【巩固练习】 22 模型4 一线三等角相似模型（3种类型） 28 【常见类型及图示】 28 【巩固练习】 33 模型5 手拉手相似模型（3种类型） 37 【常见类型及图示】 37 【真题演练】 38 【巩固练习】 42 模型6 半角模型 45 【常见类型及图示】 45 【真题演练】 47 【巩固练习】 52 模型7 对角互补模型 56 【常见类型及图示】 56 【真题演练】 58 【巩固练习】 64 模型8 十字架模型（矩形/三角形） 68 【常见类型及图示】 68 【真题演练】 70 【巩固练习】 74 模型9 共边共角模型（射影模型等4种类型） 78 【常见类型及图示】 78 【真题演练】 79 【巩固练习】 81 模型补充1 梅涅劳斯定理 86 【常见类型及图示】 86 【巩固练习】 86 模型补充2 塞瓦定理 90 【常见类型及图示】 90 【巩固练习】 90 2025年中考数学重难点【精讲专练】 相似三角形模型 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 模型1 “A”字模型（3种类型） 【模型解读】A字模型是相似三角形几何模型中的一种，得名于其基本形状与字母“A”的形状相似。在这个模型中，两个三角形相似，且它们的一个角相等，这个相等的角被称为“A字角”。由于两个三角形相似，因此它们的对应边成比例，这个比例被称为“相似比”。借助相似比，我们可以计算出三角形中各个元素的值，从而解决各种问题。 【常见类型及图示】 1、“A”字模型 如图，DE//BC； 结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 2、反“A”字模型 如图，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 3、同向双“A”字模型 如图，EF//BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 【真题演练】 （2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    【答案】6 【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，然后可得，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示：    ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 设，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得，即， ∴， ∴； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． （2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵， ∴由（1）得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴．在中，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 【巩固练习】 1、如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    【答案】6 【分析】通过四边形为矩形推出，因此与两个三角形相似，将视为的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】解：设与交于点M．    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵和分别是和的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 2、如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，． (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）由（1）可得，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，． ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）由（1）可得， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 模型2 “8”字模型（4种类型） 【模型解读】8字模型是指由两个三角形通过共享一条对角线或中线构成的图形结构，这条对角线或中线将两个三角形分为两个小的相似三角形。在8字模型中，可以通过相似三角形的性质来求解边长或角度。 【常见类型及图示】 1、“8”字模型 如图，AB//CD； 结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 2、反“8”字模型 如图，∠A＝∠D； 结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 3、平行双“8”字模型 如图，AB//CD； 结论： 4、斜双“8”字模型 如图，∠DAO＝∠CBO； 结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠BAO＝∠CDO. 【真题演练】 （2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为． （1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3） 【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （2）（1）中的结论成立，理由如下： 如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN， ∵， ∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF， 又∵OE=OC， ∴△OEF≌△OCD（AAS）， ∴OD=OF， ∵， ∴△OEF∽△OAM， ∴， 设，则， ∵H是AB的中点，N是BM的中点， ∴HN是△ABM的中位线， ∴， ∴△OGF∽△OHN， ∴， ∵OG=2GH， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【巩固练习】 1、如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______． 【答案】18 【分析】本题考查了相似三角形面积之比，根据矩形的性质，很容易证明，相似三角形面积之比等于对应边比的平方，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：18． 2、如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E． （1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）或 【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得； ②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值． （2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可． ②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可． 【详解】（1）①由，得． 由，得． 因为是斜边上的中线，所以．所以． 所以． 所以． ②若，那么在中，由．可得． 作于H．设，那么． 在中，，所以． 所以． 所以． （2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得， 所以四边形是平行四边形． 又因为，所以四边形是矩形， 设，已知，所以． 已知，所以． 在和中，根据，列方程． 解得，或（ 舍去负值）． ②如图6，当点E在上时，设，已知，所以． 设，已知，那么． 一方面，由，得，所以，所以， 另一方面，由是公共角，得． 所以，所以． 等量代换，得．由，得． 将代入，整理，得． 解得，或（舍去负值）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键． 模型3 “AX”字模型（3种类型） 【模型解读】“AX”字模型（“A8”模型）型相似模型结合了A字模型和8字模型的特点，是一种非常灵活的模型。 【常见类型及图示】 1、一“A”一“8”模型 如图，DE//BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔ 2、两“A”一“8”模型 如图，DE//AF//BC；结论：. 3、四“A”一“8”模型 条件：如图，DE//AF//BC,；结论：AF=AG 【真题演练】 （2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． (1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)[问题提出]（1）；（2）见解析 (2)[问题拓展] 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解； （2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得； [问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得． 【详解】（1）[问题探究]：（1）如图， 中，，是的中点，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）[问题拓展]如图，取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证；（2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可； （2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等． 【巩固练习】 1、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O． （1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD． （2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF//AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2． （3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】(1)根据题意，在中，根据相似三角形的性质，为中位线，即可得证； (2) 因为，则，根据相似三角形的性质，对应边成比例，即可得线段之间的比例关系； (3)因为，则可证，根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得，即可求得线段的长度． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴O是AC中点，． ∵， ∴， ， 又， ， ， ∴E是BC中点， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 同理，，， ∴， ∴， 即； （3）设， ， ， ， ，即， ， 即， 故的长度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 2、问题背景：如图1，在四边形中，点F，E，G分别在上，，，求证： 尝试应用：如图 2，是的中线，点E在上，直线交于点G，直线交于点F，若，求的值． 迁移拓展：如图3，在等边中，点D在上，点E在上，若，，直接写出的值．（用含m的式子表示） 【答案】问题背景：见解析；尝试应用：；迁移拓展： 【分析】问题背景：根据，，推出，根据对应边成比例即可得到结论； 尝试应用：延长至D，使得，连接， 证得四边形是平行四边形，得到，由图（1）得，，即可得到，利用，得到； 迁移拓展：过点E作，交于点M，交于点N，得到也是等边三角形，推出，证明，得到，即，由图（1）可得，设，则，求出，即可得到． 【详解】问题背景：如图（1），证明：∵，， ∴， ∴， ∴； 尝试应用：如图（2）， 解：延长至D，使得，连接，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由图（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴； 迁移拓展：如图（3），    过点E作，交于点M，交于点N， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴也是等边三角形， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴，即， ∴ 由图（1）可得， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，应用类比的方法解决问题，正确掌握相似三角形的判定和性质及类比方法是解题的关键． 模型4 一线三等角相似模型（3种类型） 【模型解读】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． 【常见类型及图示】 1、一线三等角模型（同侧型） 如图，∠CAP=∠PBD＝∠CPD， 结论：△ACP∽△BPD. 锐角型 直角型 钝角型 2、一线三等角模型（异侧型） 如图，∠1=∠2＝∠3； 结论：△ACP∽△BPD. 3、一线三等角模型（变异型） 类型： 如图，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°； 结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 类型： 如图，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°； 结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 类型（中点型一线三等角）： 如图，∠1=∠2=∠3，且D是BC中点； 结论：△BDE∽△CFD∽△DFE. 【真题演练】 （2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【详解】（1）延长过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴．      故答案为：． （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ， ． ．    （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ． 在中， ， ． ，由（2）知，． ． ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ．    【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． 【巩固练习】 某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：＝k． （2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系： ． 【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI 【分析】（1）由条件可证明△ABD∽△CAE，可得=＝k； （2）由条件可知∠BAD＋∠CAE＝180°−α，且∠DBA＋∠BAD＝180°−α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD∽△CAE，同（1）可得出结论； （3）①过点G作GMAE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC∽△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解； ②由①得到BC=AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解． 【详解】（1）如图1， ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠CAE＝90° ∵∠BAD＋∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD ∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA， ∴△ADB∽△CEA， ∴=＝k； （2）成立，证明如下： 如图2， ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°−α， ∴∠DBA＝∠CAE， ∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA ∴△ADB∽△CEA， ∴=＝k； （3）①过点G作GMAE交AI的延长线于点M，连接EM ∵四边形AGFC是矩形， ∴∠GAC=90° 又AH⊥BC ∴∠AHC=90° ∴∠5+∠CAH=∠4+∠CAH=90° ∴∠5=∠4 ∵∠BDE=∠AHB=90° ∴∠2+∠BAH=∠1+∠BAH=90° ∴∠2=∠1 又GMAE ∴∠3=∠2 ∴∠3=∠1 ∴△ABC∽△GMA ∴ 又∵ ∴ ∴GM=AE 又∵GMAE ∴四边形AGME是平行四边形 ∴EI=IG 故I为EG的中点； ②由①知 ∴BC=AM ∵四边形AGME是平行四边形 ∴AI=IM ∴AI=AM ∴BC=AI ∴线段BC与AI之间的数量关系为BC=AI 故答案为：BC=AI． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解． 模型5 手拉手相似模型（3种类型） 【模型解读】手拉手相似模型（手拉手旋转型）定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 【常见类型及图示】 1、任意三角形 如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 2、直角三角形 如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 3、等边三角形与等腰直角三角形 如图，M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 如图，△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 【真题演练】 （2022·山东烟台·中考真题） (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； （3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． （2021·四川乐山·中考真题）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD． （1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝　 　； （2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE． ①在图2中补全图形； ②探究CD与BE的数量关系，并证明； （3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【巩固练习】 某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 模型6 半角模型 【模型解读】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等。通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。 【常见类型及图示】 1、正方形中的半角相似模型 如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）； 结论：如图，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA； 结论：如图，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 结论：如图，△BME∽△AMN∽△DFN. 2、特殊三角形中的半角相似模型 （1）含45°半角模型 如图，已知∠BAC＝90°，； 结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （） （2）含60°半角模型 如图，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （） 【真题演练】 （2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三] 【分析】[探究一]证明，即可得证； [探究二]根据正方形的性质证明，根据三角形内角和得出，加上公共角，进而即可证明 [探究三]先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】[探究一] ∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上， ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴ ∴ [探究二]证明：如图所示，    ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵公共角， ∴； [探究三] 证明：∵是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．    ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （2021·浙江丽水·中考真题）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点． （1）当，时， ①求证：； ②连结，，若，求的值； （2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，则当为何值时，是等腰三角形. 【答案】（1）①见解析；②；（2）当或2或时，是等腰三角形． 【分析】（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分线，得到，，再根据已知条件证明出，算出面积之比； （2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当时，，得到CE= ；当时，，得到CE=2；当时，，得到CE= ． 【详解】（1）①证明：在菱形中， ， ， ， ， ∴（ASA）， ∴． ②解：如图1，连结． 由①知，， ． 在菱形中，， ∴， 设，则． ， ∴， ∴， ∴． （2）解：在菱形中，， ， ， 同理，， ∴． 是等腰三角形有三种情况： ①如图2，当时，， ， ， ， ． ②如图3，当时， ， ， ， ∴． ③如图4，当时， ， ， ， ． 综上所述，当或2或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长． 【巩固练习】 综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________； （3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4． （4）求证：． 【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解析 【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：, ，则，为等腰三角形； （2）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可得出结论； （3）证明即可得出结论； （4）根据半角模型，将顺时针旋转，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）由翻折的性质可知： 为正方形 ， 为等腰三角形 （2）如图：将顺时针旋转， 由旋转的性质可得：， 由（1）中结论可得 为正方形， 在和中 （3）为正方形对角线 ， ， （4）如图：将顺时针旋转，连接， 由（2）中的结论可证 根据旋转的性质可得：， 在中有 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 模型7 对角互补模型 【模型介绍】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。 【常见类型及图示】 1、对角互补相似1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H， 结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）. 2、对角互补相似2 如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 辅助线：作法1：如图，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G； 结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，） 辅助线：作法2：如图，过点C作CF⊥OC，交OB于F； 结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，） 3、对角互补相似3 如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F； 结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。 【真题演练】 （2021·黔东南州·中考真题）（对角互补型四点共圆）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD. 【探究发现】 （1）如图①，若∠BAD=,∠ABC=∠ADC=. 求证：AD+AB=AC； 【拓展迁移】 （2）如图②，若∠BAD=，∠ABC+∠ADC=. ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC=10，求四边形ABCD的面积。 【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根据直角三角形中是斜边的一半即可写出数量关系； （2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造证明△CFB△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系； ②根据题意应用的正弦值求得的长，然后根据的数量关系即可求解四边形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝， ∴∠DAC＝∠BAC＝， ∵∠ADC＝∠ABC＝， ∴∠ACD＝∠ACB＝， ∴AD＝． ∴AD＋AB＝AC， （2）①AD＋AB＝AC， 理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F． ， ∵AC平分∠BAD， ∴CF＝CE， ∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝， ∴∠FBC＝∠EDC， 又∠CFB＝∠CED＝， ∴△CFB△CED， ∴FB＝DE， ∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF， 在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC， ∴AD＋AB＝AC； ②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝ ∴∠DAC＝∠BAC＝， 又∵AC＝10， ∴CE＝A， ∵CF＝CE，AD＋AB＝AC， ∴ ＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线． （2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3） 【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON； （2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON； （3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案． 【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，    作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E， ∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°， ∴∠DOE＝90°， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝45°， 在Rt△AOD中， ， 同理：OE＝OB， ∵OA＝OB， ∴OD＝OE， ∵∠DOE＝90°， ∴∠DOM＋∠MOE＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠EON＋∠MOE＝90°， ∴∠DOM＝∠EON， 在Rt△DOM和Rt△EON中， ， ∴△DOM≌△EON（ASA）， ∴OM＝ON． （2）如图2，    作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E， 由（1）知：OD＝OA，OE＝OB， ∴， 由（1）知： ∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°， ∴△DOM∽△EON， ∴， ∴ON＝k•OM． （3）如图3，    设AC＝BC＝a， ∴AB＝a， ∵OB＝k•OA， ∴OB＝•a，OA＝•a， ∴OE＝OB＝a， ∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°， ∴EN＝＝OE＝•a， ∵CE＝OD＝OA＝a， ∴NC＝CE＋EN＝a＋•a， 由（2）知：，△DOM∽△EON， ∴∠AMO＝∠N＝30° ∵， ∴， ∴△PON∽△AOM， ∴∠P＝∠A＝45°， ∴PE＝OE＝a， ∴PN＝PE＋EN＝a＋•a， 设AD＝OD＝x， ∴DM＝， 由AD＋DM＝AC＋CM得， （＋1）x＝AC＋CM， ∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC， ∴k＞1 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件得出k＞1． 【巩固练习】 （1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF； （2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题； （3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF； （2）解：如图2中， 由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1， ∴BE＝AB+AE＝4， ∴AF＝4； （3）解：如图3中， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2， ∵AE＝4AF， ∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°， ∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C， ∴△EBD∽△DCF， ∴， ∴，整理得，m2﹣5m+1＝0， 解得m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m， 由△EBD∽△DCF，可得， ∴， 解得，m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m， ∵△EBD∽△DCF， ∴， ∴ 解得，m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解． 综上所述，满足条件的AF的值为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 模型8 十字架模型（矩形/三角形） 【模型介绍】矩形的十字架模型则展示了相似的魅力。在矩形中，通过精细的构造，我们可以发现相似三角形的存在，并且可以通过已知条件推导出其他未知量。三角形的十字架模型更是将全等与相似的概念融为一体。在三角形中，我们可以利用十字形构造出全等或相似的三角形，从而解决各种几何问题。通过这些模型，我们不仅可以加深对全等与相似概念的理解，还能在实际问题中灵活运用，解决各种复杂的几何难题。 【常见类型及图示】 1、矩形的十字架模型 （1）如图，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. （2）如图，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. （3）如图，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 2、三角形的十字架模型（全等+相似模型） （1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似） 如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。 （2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似） 如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 （3）直角三角形中的十字模型 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似） 【真题演练】 （2021·四川达州·中考真题）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【现察与猜想】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　　； （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　　； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD； 【拓展延伸】 （4）如图4，在Rt△ABC中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF． ①求的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度． 【答案】（1）1；（2）；（3）证明见解析；（4）①；②． 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此即可得出答案； （2）先根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定与性质即可得； （3）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得，再根据直角三角形的性质、对顶角相等可得，然后根据相似三角形的判定可得，由此即可得证； （4）①如图（见解析），先证出，从而可得，再分别在和中，解直角三角形可得，，然后根据翻折的性质可得，最后利用的面积公式求出的长，由此即可得出答案； ②先根据（4）①中，相似三角形的性质可得，可求出，再根据翻折的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ； （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）如图，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， ， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）①过作于点，连接交于点， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， 设，则， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴，， 由翻折的性质得：， ， ∴， 解得， ∴； ②由（4）①已证：，， ， ， ，解得， 由翻折的性质得：， 在中，， ， 在中，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（4）①，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 【巩固练习】 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________． 【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值． 【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设与的交点为，根据正方形的性质可证明，得，即可得出答案； （2）利用△DEC∽△ABD，则； （3）过点作，延长交于点，证明，进而求得的长，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：设与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，设与交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点作，延长交于点， 在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键． 模型9 共边共角模型（射影模型等4种类型） 【模型解读】共边共角模型（母子模型）的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 【常见类型及图示】 1、射影模型（射影定理） 如图，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 2、斜射影模型 如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 3、斜射影模型变形 如图，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 4、共边模型 如图，在四边形中，对角线平分，； 结论：； 【真题演练】 （2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴，∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． （2023·湖南湘潭·中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2）∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【巩固练习】 1、如图，已知，点，在边上，连接，，使，且． (1)请判定的形状，并说明理由； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，然后根据邻补角得出，进而即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， （2）解：∵是等边三角形， 设等边三角形的边长为， ∵， ∴，又∵，， ∴， 解得：（负值舍去）， 如图所示，过点，作于点，    ∴， ∴， ∴的面积为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2、已知，点D在的边上，连接． (1)如图1，若．求证：； (2)如图2，若，，，．求线段的长； (3)如图3，M、N分别是上的两点，连接交于点P，当，时，若，直接写出的值______． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质，即可证明结论； （2）延长至点，使得，连接，根据三角函数值，设，，进而得到，，，证明，得出，从而得到关于的一元二次方程，解方程即可得到线段的长； （3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，过点作于点，设，，，利用勾股定理，得到，，证明，得出，进而得到，，再证明，，得到，，进而得出，最后证明，，得出，即可求出的值． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：如图，延长至点，使得，连接，   ，， ， 设，， ，， ，，， ，， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ； （3）解：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，过点作于点，   ，， ， ， 设，，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形三线合一的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 模型补充1 梅涅劳斯定理 【模型解读】梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）中。一条截线在三角形各边上确定出的六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积。这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角比关系来证明。 【常见类型及图示】 梅涅劳斯定理：如图，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形． 梅涅劳斯定理的逆定理：如图，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线． 【巩固练习】 梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，， ∴，． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：       （1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：． 请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题： （2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长． （3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积． 【答案】 （1）详见解析；（2）；（3） 【分析】(1) 过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可． (2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可． (3) 根据定理，计算比值，后解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点， 则． 故：．    （2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：． 又， ∴， ． 在等边中，，点为的中点， ． 由勾股定理知： ．    （3）解：线段是的梅氏线， 由梅涅劳斯定理得，， 即，则． 如图，连接，   ， 于是 ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握定理是解题的关键． 模型补充2 塞瓦定理 【模型解读】塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。塞瓦定理记忆方法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为一。 【常见类型及图示】 塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图，则 。 注意：①梅涅劳斯定理与塞瓦定理区别：塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线； ②我们用梅涅劳斯定理与塞瓦定理解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。 【巩固练习】 请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)；的面积为 【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解； （2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出BF，然后过点F作FG⊥BC于G，证明，可求出OD，从而求出△BOC的面积，然后根据可求△BCF的面积，从而得解． 【详解】（1）证明：在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点， ∴，． 由赛瓦定理可得：． ∴， ∴． 即点F为AB的中点； （2）解：∵为等边三角形，， ∴ ∵点D是BC边的中点， ∴， ∵， ∴． 由赛瓦定理可得：； 过点F作FG⊥BC于G， ∴，， ∴CG=BC-BG=8， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵AB=12，BF=8， ∴AF=AB-BF=4， ∴， ∴ 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞瓦定理是解题的关键． $$