中考重难点精讲专练01 全等三角形模型（截长补短、半角模型、十字形模型等8大模型，26种类型）-备战2025年中考数学中档压轴题解题模型讲解

中考重难点精讲专练01 全等三角形模型 模型1 倍长中线/类中线模型（3种类型） 2 【常见类型及图示】 2 【真题演练】 3 【巩固练习】 4 模型2 截长补短模型 6 【常见类型及图示】 6 【真题演练】 6 【巩固练习】 7 模型3 一线三等角全等模型（同侧/异侧） 8 【常见类型及图示】 8 【真题演练】 8 【巩固练习】 9 模型4 手拉手全等模型（4种类型） 10 【常见类型及图示】 10 【真题演练】 11 【巩固练习】 12 模型5 半角模型（5种类型） 14 【常见类型及图示】 14 【真题演练】 15 【巩固练习】 17 模型6 对角互补模型（5种类型） 18 【常见类型及图示】 18 【真题演练】 21 【巩固练习】 21 模型7 十字形模型（正方形/三角形） 23 【常见类型及图示】 23 【真题演练】 25 【巩固练习】 25 模型8 角平分线模型（4种类型） 27 【常见类型及图示】 27 【真题演练】 29 【巩固练习】 29 2025年中考数学重难点【精讲专练】 全等三角形模型 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 模型1 倍长中线/类中线模型（3种类型） 【模型解读】“倍长中线法”是几何中常用的辅助线构造方法，主要用于解决与三角形“中线”或“类中线”（与中点有关的线段）相关的几何问题。通过延长中线或类中线，构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 【常见类型及图示】 1、倍长中线型（基本型） 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线； 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE。若连结BE，则△BDE≌△CDA； 若连结EC，则△ABD≌△ECD。 2、类中线 / 中点型 如图，在△ABC中，D是BC中点； 证明思路：延长FD至点E使DE＝FD，则△FDB≌△EDC。 3、类中线 / 中点型 如图，C为AB的中点； 证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则△BCE≌△ACF； 若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则△ACD≌△BCG。 【真题演练】 （2020·山东德州·中考真题）问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　　； （2）AD的取值范围是　　； 方法运用： （3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC． （4）如图3，在矩形ABCD中，AB/BC=1/2，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EF/BE=1/2，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG． （2020·四川乐山·中考真题）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点． （1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是　 　； （2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系． 【巩固练习】 1、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由． 2、阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证． 类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：． 小亮发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程． 方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明． 模型2 截长补短模型 【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论。 如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在 EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证GF＝CD即可。 补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证AH＝EF即可。 【常见类型及图示】 如下图，若要求证AB＋BD＝AC， 1、截长法：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条。 思路：可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可。 2、补短法：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 思路：延长AB至点C′使得AC'＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可。 【真题演练】 （2020·安徽·中考真题）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长； （3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=AG．（结论中包含线段的和差等量关系，容易联想到截长补短的方法） 【巩固练习】 课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 模型3 一线三等角全等模型（同侧/异侧） 【模型解读】“一线三等角”是一个常见的相似模型（或全等模型），指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形（或全等图形）。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”模型，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”，在本章中统称为“一线三等角”。 【常见类型及图示】 1、同侧型一线三等角 如图，∠A=∠CPD=∠B，CP=DP； 证明思路：∠A=∠B，∠C=∠BPD + 任一边相等 ⇒ △BPD≌△ACP. 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 2、异侧型一线三等角 如图，∠1=∠2=∠3 + 任意一边相等 证明思路：∠CAP=∠PBD，∠C=∠BPD ⇒ △BPD≌△ACP. 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 【真题演练】 （2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等． 【巩固练习】 过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明； （3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明． 模型4 手拉手全等模型（4种类型） 【模型解读】手拉手模型，顾名思义，是指两个或多个具有公共顶点且顶角相等的等腰三角形、等边三角形或等腰直角三角形等，通过它们特定顶点的连接，形成的宛如双手紧握的图形结构。这一模型的核心特点在于“等线段、共顶点，一点四线出旋转”。以等腰三角形手拉手模型为例，两个等腰三角形共享一个顶点，且它们的底边长度相等。通过旋转其中一个三角形，可以发现，这两个三角形能够完全重合，展现出全等的魅力。这种旋转不变性，正是手拉手模型解决几何问题的关键所在，常用“边角边”判定定理证明全等。 【常见类型及图示】 1、双等腰三角形型 这是最为基础且常见的一种类型。两个等腰三角形通过连接它们的底角顶点，形成了一个简单而优雅的手拉手结构。这种模型在解决与等腰三角形相关的几何问题时，具有极高的应用价值。 如图，△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。 2、双等腰直角三角形型 在等腰直角三角形中，90度的直角和两个相等的锐角为构建手拉手模型提供了独特的条件。这种模型在解决与角度和边长有关的几何问题时，往往能发挥出意想不到的效果。 如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 3、双等边三角形型 等边三角形由于其特殊的性质，使得构建出的手拉手模型更加复杂且富有变化。多个等边三角形可以组合成各种美丽的几何图案，如正六边形、星形等。这些图案不仅具有观赏价值，还是解决某些特定几何问题的有力工具。 如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 4、双正方形型 如图，四边形ABCFD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 【真题演练】 （2021·内蒙古通辽·中考真题）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°． （1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN； （2）将△MON绕点O顺时针旋转． ①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2 + BM2 ＝ 2OM2； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长． （2020·辽宁阜新·中考真题）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H． （1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE； （2）将正方形CEFG绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH=CH； ②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长． 【巩固练习】 1、综合与实践：已知是等腰三角形，． （1）特殊情形：如图1，当//时，______．（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）发现结论：若将图1中的绕点顺时针旋转（）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出的度数． 2、正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转． （1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为 ； （2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值； （3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长． 模型5 半角模型（5种类型） 【模型解读】我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。常见的图形为正方形，等边三角形，等腰直角三角形等，一般是将半角两边的三角形通过旋转（或截长补短）到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。 【常见类型及图示】 1、正方形半角模型 如图，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2、等腰直角三角形半角模型 如图，ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAF；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=90°；④DE2＝BD2＋EC2； 3、等边三角形半角模型（60°-30°型） 如图，ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 4、等边三角形半角模型（120°-60°型） 如图，ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 5、半角模型（-型） 如图，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【真题演练】 （2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少　　（结果取整数，参考数据：． （2020·湖南湘西州·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是　 　； 探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离． 【巩固练习】 已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长． 模型6 对角互补模型（5种类型） 【模型解读】对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、60°-120°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。 【常见类型及图示】 1、“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明示例： （证法一）如图（中），过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N. ∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋∠DCN＝90º， 又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN， ∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立； ∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC， 又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立； ∴，∴结论③成立. （证法二）如图（后），过点C作CF⊥OC交OB于点F， ∵OC平分∠AOB，∴∠DOC＝∠EOC＝45°，∴△COF是等腰直角三角形， ∴CO＝CF，∠CFO＝∠COD＝45°， 又∵∠DCO＋∠OCE＝∠ECF＋∠OCE＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，∴△COD≌△CFE， ∴OD＝EF，CD＝CE，∴结论①成立； ∵∴△COF是等腰直角三角形，∴OF＝OC； 又∵OD＋OE＝EF＋OE＝OF，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立； ，∴结论③成立. 2、“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明示例： 如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. 由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG为正方形， ∵∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG， ∴CD＝CE，结论①成立； 在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC， ∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，结论②成立； 3、等边三角形对120°模型 如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明示例： 如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. 由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG中，∠FCG＝60º， ∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60º，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG（ASA）， ∴CD＝CE，结论①成立； 在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝OC， 又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，结论②成立； ，结论③成立. 4、2α对180°-2α模型 如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③. 5、蝴蝶型对角互补模型 如图，AP=BP，∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【真题演练】 （2021·安徽安庆·中考真题）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变。其中正确的个数为（）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【巩固练习】 已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明． (2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 模型7 十字形模型（正方形/三角形） 【模型介绍】正方形“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。“十字架模型”的口诀是：“对边所夹两线段，垂直必相等”。简单来说，如果一个正方形的对边被两条线段所夹，那么这两条线段垂直且长度相等。三角形的十字架模型更是将全等与相似的概念融为一体。在三角形中，可以利用十字形构造出全等或相似的三角形，从而解决各种几何问题。 【常见类型及图示】 1、正方形的十字架模型（全等模型） （1）如图，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。 （2）如图，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。 （3）如图，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则 HE=GF。 2、三角形的十字架模型（全等+相似模型） （1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似） 如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。 （2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似） 如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 （3）直角三角形中的十字模型 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似） 【真题演练】 （2021·山东淄博·中考真题）已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E． （1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF； （2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数； （3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式． 【巩固练习】 （1）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：． （2）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点，，，求GH的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，BF，AE相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为______，的周长为______． 模型8 角平分线模型（4种类型） 【模型介绍】角平分线模型是处理与角平分线相关的几何问题的有力工具。比如，题目中给出一个角AOB，角平分线OC将角AOB平分为两个相等的角。此时，我们可以利用角平分线的性质，如角平分线上的点到角两边的距离相等，来构造等边三角形、等腰三角形等辅助图形，从而简化问题。 【常见类型及图示】 1、角平分线垂两边型 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 如图，P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N. 结论：. 特殊情况 直角三角形—含直角型 如图，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：. 2、截取构造对称全等型 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 如图，点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F（在角的两边上取相等的线段），且，连接DE、DF. 结论：. 3、角平分线垂中间型 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。 结论：△OAB是等腰三角形，OP是三线合一等。 4、角平分线与平行线结合型 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系。 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ//ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形。 【真题演练】 （2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° （2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积． 【巩固练习】 1、在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD． （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 2、如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H． （1）求证：； （2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长． $$中考重难点精讲专练01 全等三角形模型 模型1 倍长中线/类中线模型（3种类型） 2 【常见类型及图示】 2 【真题演练】 3 【巩固练习】 9 模型2 截长补短模型 15 【常见类型及图示】 15 【真题演练】 15 【巩固练习】 18 模型3 一线三等角全等模型（同侧/异侧） 22 【常见类型及图示】 22 【真题演练】 22 【巩固练习】 24 模型4 手拉手全等模型（4种类型） 27 【常见类型及图示】 27 【真题演练】 28 【巩固练习】 34 模型5 半角模型（5种类型） 41 【常见类型及图示】 41 【真题演练】 42 【巩固练习】 48 模型6 对角互补模型（5种类型） 53 【常见类型及图示】 53 【真题演练】 56 【巩固练习】 58 模型7 十字形模型（正方形/三角形） 61 【常见类型及图示】 61 【真题演练】 63 【巩固练习】 66 模型8 角平分线模型（4种类型） 70 【常见类型及图示】 70 【真题演练】 72 【巩固练习】 74 2025年中考数学重难点【精讲专练】 全等三角形模型 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 模型1 倍长中线/类中线模型（3种类型） 【模型解读】“倍长中线法”是几何中常用的辅助线构造方法，主要用于解决与三角形“中线”或“类中线”（与中点有关的线段）相关的几何问题。通过延长中线或类中线，构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 【常见类型及图示】 1、倍长中线型（基本型） 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线； 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE。若连结BE，则△BDE≌△CDA； 若连结EC，则△ABD≌△ECD。 2、类中线 / 中点型 如图，在△ABC中，D是BC中点； 证明思路：延长FD至点E使DE＝FD，则△FDB≌△EDC。 3、类中线 / 中点型 如图，C为AB的中点； 证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则△BCE≌△ACF； 若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则△ACD≌△BCG。 【真题演练】 （2020·山东德州·中考真题）问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　　； （2）AD的取值范围是　　； 方法运用： （3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC． （4）如图3，在矩形ABCD中，AB/BC=1/2，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EF/BE=1/2，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明，从而可得证明全等的依据； （2）利用全等三角形的性质得到求解的范围，从而可得答案； （3）延长至点，使，证明，利用全等三角形的性质与，证明，得到，从而可得答案； （4）延长至点使，连接、、，证明，得到，利用锐角三角函数证明，再证明，利用相似三角形的性质可得是直角三角形，从而可得答案． 【详解】解：（1）如图，AD是中线， 在与中， 故答案为： （2） 故答案为： （3）证明：延长至点，使， ∵是的中线 ∴ 在和中 ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵ ∴ （4）证明：延长至点使，连接、、 ∵G为的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 在中，∵， ∴ 又矩形中， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又为的外角， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵G为的中点， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． （2020·四川乐山·中考真题）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点． （1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是　OE＝OF　； （2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系． 【答案】（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； （2）补全图形如图所示，仍然成立， 证明如下：延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为， 证明如下：延长交的延长线于点，如图所示， 由（2） 可知 ， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决． 【巩固练习】 1、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AC=BF，理由见解析 【详解】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中 ∵， ∴△ADC≌△EDB（SAS）． ∴BE=AC=3． ∵AB-BE<AE<AB+BE ∵2<AE<8． ∵AE=2AD ∴1<AD<4． （2）AC=BF，理由如下： 延长AD至点G，使GD=AD，连接BG， 在△ADC和△GDB中， ， ∴△ADC≌△GDB（SAS）． ∴BG=AC，∠G=∠DAC．． ∵AE=EF ∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG ∴∠G=∠BFG ∴BG=BF ∴AC=BF． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键． 2、阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证． 类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：． 小亮发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程． 方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】(1) 延长AD至M，使，连接MC，证明，结合等角对等边证明即可． (2) 延长DF至点M，使，连接BM、AM，证明，△ABM是等边三角形，代换后得证． 【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC． 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）线段DF与AD的数量关系为：． 证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示： ∵点F为BE的中点， ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE ∴，， ∴ ∵是等边三角形 ∵，， ∴ ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 模型2 截长补短模型 【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论。 如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在 EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证GF＝CD即可。 补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证AH＝EF即可。 【常见类型及图示】 如下图，若要求证AB＋BD＝AC， 1、截长法：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条。 思路：可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可。 2、补短法：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 思路：延长AB至点C′使得AC'＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可。 【真题演练】 （2020·安徽·中考真题）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长； （3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=AG．（结论中包含线段的和差等量关系，容易联想到截长补短的方法） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论； （2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可； （3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴，又AF=AB=1， ∴即， 解得：，（舍去） 即AE=； （3）在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴即， ∴GH=AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 【巩固练习】 课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论； （2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论． 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴， ∵平分 ∴，   ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴． （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即平分． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 模型3 一线三等角全等模型（同侧/异侧） 【模型解读】“一线三等角”是一个常见的相似模型（或全等模型），指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形（或全等图形）。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”模型，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”，在本章中统称为“一线三等角”。 【常见类型及图示】 1、同侧型一线三等角 如图，∠A=∠CPD=∠B，CP=DP； 证明思路：∠A=∠B，∠C=∠BPD + 任一边相等 ⇒ △BPD≌△ACP. 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 2、异侧型一线三等角 如图，∠1=∠2=∠3 + 任意一边相等 证明思路：∠CAP=∠PBD，∠C=∠BPD ⇒ △BPD≌△ACP. 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 【真题演练】 （2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等． 【答案】2或 【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ，解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或． 【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【巩固练习】 过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明； （3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出，证明，可得，，进而可得； （2）求出，证明，可得，，进而可得； （3）求出，证明，可得，，进而可得； 【详解】（1）解：； 证明：四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴； （2）； 证明：四边形是正方形，，， ， 又，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴； （3）； 证明：四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等证明是解题的关键． 模型4 手拉手全等模型（4种类型） 【模型解读】手拉手模型，顾名思义，是指两个或多个具有公共顶点且顶角相等的等腰三角形、等边三角形或等腰直角三角形等，通过它们特定顶点的连接，形成的宛如双手紧握的图形结构。这一模型的核心特点在于“等线段、共顶点，一点四线出旋转”。以等腰三角形手拉手模型为例，两个等腰三角形共享一个顶点，且它们的底边长度相等。通过旋转其中一个三角形，可以发现，这两个三角形能够完全重合，展现出全等的魅力。这种旋转不变性，正是手拉手模型解决几何问题的关键所在，常用“边角边”判定定理证明全等。 【常见类型及图示】 1、双等腰三角形型 这是最为基础且常见的一种类型。两个等腰三角形通过连接它们的底角顶点，形成了一个简单而优雅的手拉手结构。这种模型在解决与等腰三角形相关的几何问题时，具有极高的应用价值。 如图，△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。 2、双等腰直角三角形型 在等腰直角三角形中，90度的直角和两个相等的锐角为构建手拉手模型提供了独特的条件。这种模型在解决与角度和边长有关的几何问题时，往往能发挥出意想不到的效果。 如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 3、双等边三角形型 等边三角形由于其特殊的性质，使得构建出的手拉手模型更加复杂且富有变化。多个等边三角形可以组合成各种美丽的几何图案，如正六边形、星形等。这些图案不仅具有观赏价值，还是解决某些特定几何问题的有力工具。 如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 4、双正方形型 如图，四边形ABCFD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 【真题演练】 （2021·内蒙古通辽·中考真题）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°． （1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN； （2）将△MON绕点O顺时针旋转． ①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2 + BM2 ＝ 2OM2； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长． 【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②或 【分析】(1)证明△AMO≌△BNO即可； (2)①连接BN，证明△AMO≌△BNO，得到∠A=∠OBN=45°，进而得到∠MBN=90°，且△OMN为等腰直角三角形，再在△BNM中使用勾股定理即可证明； ②分两种情况分别画出图形即可求解． 【详解】解：(1)∵和都是等腰直角三角形， ∴， 又， , ∴， ∴， ∴； (2)①连接BN，如下图所示： ∴， ， 且， ∴， ∴，， ∴， 且为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可知： ，且 ∴； ②分类讨论： 情况一：如下图2所示，设AO与NB交于点C，过O点作OH⊥AM于H点， ,为等腰直角三角形， ∴, 在中，, ∴； 情况二：如下图3所示，过O点作OH⊥AM于H点， ,为等腰直角三角形， ∴, 在中，, ∴； 故或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （2020·辽宁阜新·中考真题）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H． （1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE； （2）将正方形CEFG绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH=CH； ②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②的长为或 【分析】（1）证明，即可得到，再由角的等量代换即可证明； （2）①在线段上截取，连接，证明，得到为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的边角性质即可； ②分两种情况，一是如图3所示，当D，H，E三点共线时，，连接．求出BD，设，则．在中，利用勾股定理列出方程解答；二是如图4所示，当B，H，G三点共线时，，连接．设，中利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：（1）如图1，因为四边形和均为正方形，    所以，， ，               ∴． ∴．                     在和中， ∵， ∴． ∴． ∴． （2）如图2，    ①在线段上截取，连接． 由（1）可知，， ∴． ∴．                      ∴ 即． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． ②的长为或． 第一种情况：如图3所示，当D，H，E三点共线时，，连接．    由①可知，且． 又∵， ∴． 设，则． ∴在中，有． 即有． 解得，（舍去）． 第二种情况：如图4所示，当B，H，G三点共线时，，连接．    设， ∵， ∴． ∴在中，有． 即有． 解得，（舍去）． ∴的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形以及锐角三角函数等知识点，解题的关键是熟知上述知识点，并正确作出辅助线． 【巩固练习】 1、综合与实践：已知是等腰三角形，． （1）特殊情形：如图1，当//时，______．（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）发现结论：若将图1中的绕点顺时针旋转（）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出的度数． 【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°． 【分析】（1）由DE∥BC，得到∠ADE=∠B，∠AED=∠C，结合AB=AC，得到DB=EC； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE； （3）由旋转构造出△APB≌△AEC，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC是直角三角形，在简单计算即可． 【详解】解：（1）∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ADE=∠AED， ∴AD=AE， ∴DB=EC， 故答案为：=； （2）成立． 证明：由①易知AD=AE， ∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴DB=CE； （3）如图， 将△APB绕点A旋转90°得△AEC，连接PE， ∴△APB≌△AEC， ∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°， ∴∠AEP=∠APE=45°， 在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=2， 在△PEC中，PE2=（2）2=8，CE2=12=1，PC2=32=9， ∵PE2+CE2=PA2， ∴△PEC是直角三角形， ∴∠PEC=90°， ∴∠AEC=135°， 又∵△APB≌△AEC， ∴∠BPA=∠CEA=135°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点． 2、正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转． （1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为 ； （2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值； （3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长． 【答案】（1），；（2）7.5；（3）或 【分析】（1）利用正方形的性质证明即可证得结论； （2）连接，，，，，设交于点．利用勾股定理求出，，由推出当点F，A，K在同一直线上时，点到的最大距离，由此可得结论； （3）分两种情形：如图中，当，，共线时，连接交于．如图中，当，，共线时，连接交于．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：（1），，理由如下： 如图1中，设交于点，交于点． 四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：BE＝DG，BE⊥DG； （2）如图1中，连接，，，，，设交于点． 四边形、四边形都是正方形， ，，，， ，， ， ， 当点F，A，K在同一直线上时，点到的最大距离， 的面积的最大值为； （3）如图中，当，，共线时，连接交于． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； 如图中，当，，共线时，连接交于． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 模型5 半角模型（5种类型） 【模型解读】我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。常见的图形为正方形，等边三角形，等腰直角三角形等，一般是将半角两边的三角形通过旋转（或截长补短）到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。 【常见类型及图示】 1、正方形半角模型 如图，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2、等腰直角三角形半角模型 如图，ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAF；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=90°；④DE2＝BD2＋EC2； 3、等边三角形半角模型（60°-30°型） 如图，ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 4、等边三角形半角模型（120°-60°型） 如图，ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 5、半角模型（-型） 如图，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【真题演练】 （2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少　　（结果取整数，参考数据：． 【答案】370 【分析】延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，，， ，， 是等边三角形， , , 在中，，， ，， ， 中，，， ， ， ， 中， 是等腰直角三角形 由阅读材料可得， 路线的长比路线的长少． 故答案为：370． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． （2020·湖南湘西州·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是　 　； 探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里． 【分析】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可． 【详解】解：EF=AE+CF 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=60°， ∴∠CBG+∠CBF=60°， 即∠GBF=60°， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸1：结论EF=AE+CF成立． 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立． 理由：延长到G，使，连接， ∵，∠BCG+∠BCD=180°， ∴∠BCG=∠BAD 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C， ∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB ∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°， ∴符合探索延伸中的条件 ∴结论EF= AE+CF仍然成立 即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【巩固练习】 已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）3 【分析】（1）延长到使，连接AG，先证明，由此得到，，再根据，，可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； （2）在BM上取一点G，使得，连接AG，先证明，由此得到，，由此可得，再根据可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； （3）在DN上取一点G，使得，连接AG，先证明，再证明，设，根据可求得，由此可得，最后再证明，由此即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ； （2），理由如下： 如图，在BM上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ∴， ∴， 又， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ∴， 故答案为：； （3）如图，在DN上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， 在与中， ， ， ，， ∴， ∴， 又， ， 在与中， ， ， ， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∴CP的长为3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 模型6 对角互补模型（5种类型） 【模型解读】对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、60°-120°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。 【常见类型及图示】 1、“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明示例： （证法一）如图（中），过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N. ∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋∠DCN＝90º， 又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN， ∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立； ∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC， 又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立； ∴，∴结论③成立. （证法二）如图（后），过点C作CF⊥OC交OB于点F， ∵OC平分∠AOB，∴∠DOC＝∠EOC＝45°，∴△COF是等腰直角三角形， ∴CO＝CF，∠CFO＝∠COD＝45°， 又∵∠DCO＋∠OCE＝∠ECF＋∠OCE＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，∴△COD≌△CFE， ∴OD＝EF，CD＝CE，∴结论①成立； ∵∴△COF是等腰直角三角形，∴OF＝OC； 又∵OD＋OE＝EF＋OE＝OF，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立； ，∴结论③成立. 2、“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明示例： 如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. 由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG为正方形， ∵∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG， ∴CD＝CE，结论①成立； 在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC， ∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，结论②成立； 3、等边三角形对120°模型 如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明示例： 如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. 由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG中，∠FCG＝60º， ∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60º，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG（ASA）， ∴CD＝CE，结论①成立； 在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝OC， 又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，结论②成立； ，结论③成立. 4、2α对180°-2α模型 如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③. 5、蝴蝶型对角互补模型 如图，AP=BP，∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【真题演练】 （2021·安徽安庆·中考真题）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变。其中正确的个数为（）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，，， ∴在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①正确可得，， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 【巩固练习】 已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明． (2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)；证明见解析 (2)；证明见解析 【分析】(1)过点作，得到，判断出，确定为等腰直角三角形即可得出结论； (2)过点作于点，判断出，确定为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ，， ， ， 在四边形中，， ， ， ∴， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴； （2）； 理由：如图，过点作交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 模型7 十字形模型（正方形/三角形） 【模型介绍】正方形“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。“十字架模型”的口诀是：“对边所夹两线段，垂直必相等”。简单来说，如果一个正方形的对边被两条线段所夹，那么这两条线段垂直且长度相等。三角形的十字架模型更是将全等与相似的概念融为一体。在三角形中，可以利用十字形构造出全等或相似的三角形，从而解决各种几何问题。 【常见类型及图示】 1、正方形的十字架模型（全等模型） （1）如图，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。 （2）如图，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。 （3）如图，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则 HE=GF。 2、三角形的十字架模型（全等+相似模型） （1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似） 如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。 （2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似） 如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 （3）直角三角形中的十字模型 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似） 【真题演练】 （2021·山东淄博·中考真题）已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E． （1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF； （2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数； （3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后问题可求证； （2）连接AQ，过点Q作QM⊥AD于点M，并延长MQ，交BC于点N，由题意易得AQ=FQ，∠ADB=45°，则有QM=MD，进而可得证，然后可得，则问题可求解； （3）过点D作DH∥EG，交AB于点H，由题意易证四边形HEGD是平行四边形，则有，进而可得，然后可得，则问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵AF⊥ED， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接AQ，过点Q作QM⊥AD于点M，并延长MQ，交BC于点N，如图所示： ∵点P是AF的中点，AF⊥EQ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形MNCD是矩形，△MDQ是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）过点D作DH∥EG，交AB于点H，如图所示： ∴四边形HEGD是平行四边形， ∴， ∵AF⊥EG， ∴AF⊥HD， 由（1）中结论可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与之间的关系式为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定、函数及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定、函数及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 【巩固练习】 （1）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：． （2）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点，，，求GH的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，BF，AE相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为______，的周长为______． 【答案】感知：见详解探究：；应用：， 【分析】感知：由正方形的性质得出，，证得，由证得，即可得出结论； 探究：分别过点、作，，分别交、于点、，由正方形的性质得出，，，推出四边形是平行四边形，，，证出，同理，四边形是平行四边形，，，证得，由证得，得出，推出，由为中点，得出，则，由勾股定理得出，即可得出结果； 应用：，由阴影部分的面积与正方形的面积之比为，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，由证得，得出，，则，，则，，设，，则，，由勾股定理得出，，即，得出，即可得出结果． 【详解】感知： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 探究： 解：分别过点、作，，分别交、于点、，如图②所示： 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 同理，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ； 应用： 解：， ， 阴影部分的面积与正方形的面积之比为， 阴影部分的面积为：， 空白部分的面积为：， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， 则， ， ， ， 即， ，即， 的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键． 模型8 角平分线模型（4种类型） 【模型介绍】角平分线模型是处理与角平分线相关的几何问题的有力工具。比如，题目中给出一个角AOB，角平分线OC将角AOB平分为两个相等的角。此时，我们可以利用角平分线的性质，如角平分线上的点到角两边的距离相等，来构造等边三角形、等腰三角形等辅助图形，从而简化问题。 【常见类型及图示】 1、角平分线垂两边型 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 如图，P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N. 结论：. 特殊情况 直角三角形—含直角型 如图，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：. 2、截取构造对称全等型 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 如图，点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F（在角的两边上取相等的线段），且，连接DE、DF. 结论：. 3、角平分线垂中间型 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。 结论：△OAB是等腰三角形，OP是三线合一等。 4、角平分线与平行线结合型 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系。 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ//ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形。 【真题演练】 （2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案. 【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键． （2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)84 【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证； （2）作，由即可求解； 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， ∵分别平分，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）如图，作， ∵的周长为56， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【巩固练习】 1、在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD． （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)猜想： (2)猜想：．证明见解析 【分析】（1）在上截取，连接，证明，进而证明，得出，根据，即可得出结论； （2）在的延长线上截取，连接．根据（1）的方法进行证明，得出．即可得出结论． 【详解】（1）猜想：． 证明：如图②，在上截取，连接， 为的角平分线时， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）猜想：． 证明：在的延长线上截取，连接． 平分， ． 在与中， ，，， ． ，． ， 又 ，， ， ． ． ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2、如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H． （1）求证：； （2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （2）过点作于点，先根据全等三角形的性质可得，设，则，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， 在与中，， ∴， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）已证：， ， 设，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． $$