2.6对数与对数函数分层作业-2025届高三数学一轮复习

2-6 对数与对数函数 分层作业 一、单项选择题 1.下列各式中不正确的是(    ) A． B． C． D． 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 3．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是(    ) A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．(2024·江苏宿迁·三模)函数为上的奇函数，且当时，，则(    ) A． B． C． D． 6.若函数的值域为R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.(2024·黑龙江·模拟)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 8．(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9.已知为均不等于1的正实数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．若函数，则下列选项正确的是(    ) A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 11．已知函数，下列说法中正确的是( ) A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 三、填空题 12.已知函数，则 . 13.(2024·湖北·模拟预测)若函数为偶函数，则 . 14．(2024·陕西西安·模拟预测)函数(且)的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 四、解答题 15．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 16．已知函数且． (1)若，求的值；(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 一、单项选择题 1.函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2.函数的单调递减区间为（       ） A． B． C． D． 3.若函数的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(2024·江苏盐城·模拟预测)函数与的图象的交点个数是(    ) A．2 B．3 C．4 D．6 5．(2024·河北沧州·模拟预测)直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为(    ) A． B． C． D． 6．(2024·广西贵港·模拟)，若成立，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 7．(2024·天津滨海新·三模)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 8．(2024·四川成都·模拟预测)已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则(　　) A．1 B． C． D． 二、多项选择题 9.已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 10.(2024·山东菏泽·模拟预测)若，且，则下列关系式一定成立的为(    ) A． B． C． D． 11.已知函数，下列四个命题正确的是（    ）. A．函数为偶函数 B．若，其中，，，则 C．函数在上为单调递增函数 D．若，则 三、填空题 12．(2024·吉林·模拟预测)若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 13．(2024·四川成都·三模)函数的图象过原点，且，若，则 . 14．函数(且)， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围;(2)若，解不等式. 16．已知函数，函数． (1)求不等式的解集；(2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-6 对数与对数函数 分层作业 一、单项选择题 1.下列各式中不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】，A对；，B对； ，C错；，D对；故选：C 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解】，故选:B. 3．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点；所以满足条件的图象为D；故选：D. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解】函数有意义，等价于， 解得，，故函数的定义域为.故选：A. 5．(2024·江苏宿迁·三模)函数为上的奇函数，且当时，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】先计算出，根据为上的奇函数，得到. 【解】，因为为奇函数，所以.故选：A 6.若函数的值域为R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】b【解】依题意，取遍所有正数，则，而，解得， 所以.故选：B 7.(2024·黑龙江·模拟)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】由复合函数单调性得在上递减，根据单调性即可得到答案. 【解】设，易知函数是增函数，因为在区间上单调递减， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减. 因为函数在上单调递减，所以，即；故选：D. 8．(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】结合分段函数的单调性的判定方法，列出关于的不等式，即可求解. 【解】根据题意，当时，，可得在上递增， 要使得函数 是上的单调函数， 则满足，且，解可得，所以实数的取值范围为；故选：B. 二、多项选择题 9.已知为均不等于1的正实数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC【解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误． 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，则，，因此，C正确； 对于D，由，得，，则， 当时，，此时，D错误，故选：BC 10．若函数，则下列选项正确的是(    ) A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 【答案】ABC【解】由题意，，则，所以函数的定义域为，故A正确； 根据对数函数的值域可得函数的值域为，故B正确； 令，则，，所以函数的图象过定点，故C正确； 当时，函数在定义域上单调递减，故D错误；故选：ABC. 11．已知函数，下列说法中正确的是( ) A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 【答案】BD【解】对于A：在R上恒成立，所以，所以，所以A错误； 对于B：若的值域为R，则，所以或，所以B正确： 对于C：若，则，定义域为，设， 函数递增，要求的减区间，即求的减区间，为，所以C错误； 对于D：若在上单调递减，设，函数为增函数， 即函数在上为减函数，即满足在上恒成立且， 所以，解得，所以D正确．故选：BD. 三、填空题 12.已知函数，则 . 【答案】8【解】，所以.故答案为：. 13.(2024·湖北·模拟预测)若函数为偶函数，则 . 【答案】【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值. 【解】因为为偶函数，所以，即， 即，即，所以，故答案为： 14．(2024·陕西西安·模拟预测)函数(且)的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 【答案】8【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值. 【解】因为，(且)，所以(且)的图象恒过定点， 所以，所以， ，，当且仅当，即等号成立， 即的最小值为；故答案为：. 四、解答题 15．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【解】(1)原式． (2)原式． (3)原式． (4)原式． 16．已知函数且． (1)若，求的值；(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【解】(1)，，即， 解得或(舍)． (2)当时，在上单调递增，则， 由题意得，，解得． 当时，在上单调递减，则， 由题意得，，解得． 综上，或． 一、单项选择题 1.函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A【解】由，得，所以定义域为. 2.函数的单调递减区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】A【解】由，得，令，则， 在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数， 所以的单调递减区间为，故选：A 3.若函数的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解】函数的值域是， 则的值域包含，故即可，所以.故选：C 4．(2024·江苏盐城·模拟预测)函数与的图象的交点个数是(    ) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数. 【解】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6；故选：D 5．(2024·河北沧州·模拟预测)直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据对数函数的单调性及得，代入化解即可. 【解】由题意可知，定义域为，函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减， 则，所以，解得， 所以；故选：B. 6．(2024·广西贵港·模拟)，若成立，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】判断奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可. 【解】，所以，即为偶函数， 对函数，，则， 因为，所以，，所以，故在上恒成立. 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增. 所以， 所以，解得或．故选：B 7．(2024·天津滨海新·三模)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】判断a，b，c与0和1的大小关系即可得到答案． 【解】，， ，则；故；故选：C. 8．(2024·四川成都·模拟预测)已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则(　　) A．1 B． C． D． 【答案】B【分析】首先得到的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得. 【解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数， 所以，，又由函数为定义在上的奇函数，则，， 当时，，则，则， 所以，故选：B． 二、多项选择题 9.已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】BC【解】函数，由，解得，定义域为， 显然，函数是奇函数，错误，B正确； 函数，显然在单调递增， 当时，，函数在上递增，于是在上递增，正确； 当或时，，函数在上单调递减， 于是在上单调递减，图像如图所示，所以值域为，故D错误；故选:BC． 10.(2024·山东菏泽·模拟预测)若，且，则下列关系式一定成立的为(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD【分析】对于A，当时讨论推理即可．对于B，举反例即可． 对于C，D，分两种情况讨论：和时，利用对数的运算性质，推理判断出每个的真假． 【解】对于A，若，且，只能，有， 则，，所以，故A正确； 对于B，举反例：当时，则，， 此时，故B不正确； 对于C，易知，且．若，且，则有： (ⅰ)当时，有，则，， 且，所以； (ⅱ)当时，，且，则． 综上所述：，故C正确； 对于D，若，则．若，且，分类讨论． (ⅰ)当时，有，从而， ，则； (ⅱ)当时，则，， 因为，则，从而． 综合所述：，故D正确．故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点根据题意，且，根据相应的选项特征分类讨论，进而分析判断即可. 11.已知函数，下列四个命题正确的是（    ）. A．函数为偶函数 B．若，其中，，，则 C．函数在上为单调递增函数 D．若，则 【答案】ABD【解】函数 对于A，，，所以函数为偶函数，故A正确； 对于B，若，其中，，，所以， ，即，得到，故B正确； 对于C，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故C错误； 对于D，因为，，， 故，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．(2024·吉林·模拟预测)若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】【分析】根据题意，设，则，利用复合函数的单调性，可得在上为减函数，且恒成立，结合一次函数的性质分析可得答案． 【解】根据题意，设，则，若函数在上单调递减， 利用复合函数的单调性，可得在上为减函数且恒成立， 即，解得，即a的取值范围为；故答案为：． 13．(2024·四川成都·三模)函数的图象过原点，且，若，则 . 【答案】【分析】由对数运算性质以及奇函数的性质运算即可得解. 【解】由题意，所以，所以的定义域为， 且，且， 所以， 因为，所以；故答案为：. 14．函数(且)， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 【答案】【解】是减函数，在时最小值是， 若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意， 时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得，故答案为：． 四、解答题 15．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围;(2)若，解不等式. 【解】(1)依题意在上单调递减，所以， 所以由， 解得，所以 ，解得，即的取值范围是. (2)依题意，即，从而有 解得或，即不等式解集为. 16．已知函数，函数． (1)求不等式的解集；(2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【解】(1)由，得；整理得 解得，；的解集为 (2)， ，，即的值域为． (3)不等式对任意实数恒成立；． ， 令，，，设，， 当时，取得最小值，即， ，即，，即，解得， 实数的取值范围为． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$