2.6对数与对数函数讲义-2025届高三数学一轮复习

2-6 对数与对数函数 讲义 一、对数的运算 1.对数的定义：如果且，那么把叫做以为底，的对数，记作， 其中叫做对数的底数，叫做真数 2.对数的分类 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即：. 自然对数：底数为e(e≈2.71828…)，记为，即：. 3.指数与对数的关系 3.对数的性质与运算法则 (1)两个基本对数：①，②； (2)对数恒等式：①，②； (3)换底公式：； 推广1：对数的倒数式； 推广2：； 4.对数的运算法则 (1)积的对数：； (2)商的对数：； (3)幂的对数：①，②， 5.对数型糖水不等式 1.设, 且, 则有. 2.设, 则有. 3.上式的倒数形式：, 则有. 二、对数函数 1．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.对数函数的图象性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3.指数函数与对数函数的关系 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 4．常用结论：对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大(底大图右)． 考点一 对数运算 【例1-1】下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【解】对于A，，A错；对于B，，正确； 对于C，，C错；对于D，对数的真数部分要大于0，D错；故选：B 【例1-2】(2024·重庆·三模)已知，则 ． 【答案】3【分析】由指数式与对数式的互化关系求出，再利用对数运算性质计算即得. 【解】由，得，所以.故答案为：3 【例1-3】若，是方程的两个实根，则ab的值等于(    ) A．2 B． C．100 D． 【答案】C【解】；即；所以；故选：C 【例1-4】(2024·四川·模拟)若实数，，满足且，则(    ) A． B．12 C． D． 【答案】D【分析】根据指对数的互化可得，，代入，即可计算得到的值. 【解】因为且，易知且，所以，，所以，， 所以，则；故选：D． 【例1-5】计算的结果为(    ) A．4 B． C． D． 【答案】B【解】；故选：B. 1.(2024·青海·模拟预测)若，，则(   ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用. 【解】由， 所以；故选：A 2．(2024·辽宁丹东·一模)若，，，则(    ) A． B． C． D．1 【答案】B【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解. 【解】由，，，可得， 所以，则；故选：B. 3．(2024·河南郑州·三模)已知，则的值为 ． 【答案】【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【解】因为，所以，可得 ，即， 所以，即，所以.故答案为：. 4.设方程的两实根是a和b，则等于(    )． A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C【解】方程可化为，即， 解得或，不妨设，;;故选：C 5.已知，，(a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1)，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】因为;所以;同理可得 所以;故选：D 考点二 对数型函数及其图象 命题点1 对数型函数的定义域 【例2-1-1】(2024·河南·三模)函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域. 【解】，解得，，故函数的定义域为；故选：A. 【例2-1-2】(2024·青海海南·二模)函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可. 【解】∵函数，∴，解得．故选：D． 命题点2 对数型函数的图象识别 【例2-2-1】(2024·广东深圳·二模)已知，且，则函数的图象一定经过(    ) A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D【分析】由函数过点，分类可解. 【解】当时，，则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限；所以函数的图象一定经过三、四象限；故选：D 【例2-2-2】当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是(    )． A． B．C． D．   【答案】A【解】当时，与分别在各自定义域内递减、递增，可排除BCD， 且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意；故选：A. 【例2-2-3】函数( 且 )的图像大致为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】，函数定义域为， 有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合；故选：C. 【例2-2-4】已知函数①；②；③；④的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是(　　) A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 【答案】A【解】由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误； 又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A. 命题点3 对数型函数过定点问题 【例2-3-1】函数的图象恒过定点 . 【答案】【解】令，解得，所以， 故函数的图象恒过定点，故答案为： 【例2-3-2】函数(且)过定点P，同时点P又在函数上，则P点坐标为 ， ． 【答案】；2【解】令，所以，所以(且)过定点， 又点P在函数上，所以，所以．故答案为：；2 【例2-3-3】(2024·陕西渭南·二模)直线(，)过函数(，且)的定点T，则的最小值为 . 【答案】【分析】先求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论. 【解】令时，可得，，且恒过定点， 因为定点在直线上，可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为；故答案为：. 1．(2023·广东珠海·模拟)函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据真数大于0得到不等式，求出定义域. 【解】令，解得，故的定义域为；故选：B 2．在同一平面直角坐标系中，函数(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) A．  B． C． D．   【答案】D【解】若，则递减，而递增且经过点， 若，则递增经过点，而递减且经过点，故只有D符合. 3.如图图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：的是(    ) A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 【答案】B【解】①②③④为指数函数图像，且③④为单调递增的指数函数， 取可知，③④分别对应， 又①④图像关于轴对称，则①对应，即②不属于； ⑤⑥⑦⑧为对数函数图像，其中⑦⑧为单调递减的对数函数， 由“底大图低”可知⑧对应，⑦对应， 且⑤⑧图像关于轴对称，则⑤对应，即⑥不属于；故选：B 4.已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】与单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D．故选：C． 5.若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是(    ) A． B． C． D．   【答案】B【解】由于函数，且的图象过点，故，故， 则，该函数为偶函数，图象关于y轴对称， 且上单调递减，在上单调递增，只有B中图象符合该函数图象特点，故选：B 6.(多选)若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是(    ) A． B．C． D．   【答案】BC【解】所以当时，得，所以在定义域内单调递减，且， 函数的定义域为，且由简单函数，复合而成， 可知在定义域范围内单调递减，且当趋近于时，取得无穷小，故B正确，D错误； 当时，得，所以在定义域内单调递增，且， 当无穷小时，无限趋近于，此时在内单调递增， 且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误；故选：BC. 7.函数()的图象经过定点，则点的坐标为 ． 【答案】【解】令，得，所以点的坐标为．故答案为：. 8.函数(且)过定点 ． 【答案】【解】令且可得，将代入可得， 故定点为，故答案为： 9.函数的图象恒过定点的坐标为 . 【答案】【解】令，得，，∴函数图象过定点．故答案为：． 10.已知(且)过定点，若且，，则的最小值为(    ) A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】C【解】对于，令，即，则， 即曲线(且)过定点，即，故，又，， 则， 当且仅当，结合，即时等号成立，故选：C 11.若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为 . 【答案】16【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到与的等量关系，再利用基本不等式即可求解. 【解】由题意得，函数，且的图象所过定点为， 则，所以， 当且仅当，即时等号成立；故答案为：16. 考点三 对数函数的性质 命题点1 对数型函数的单调性 【例3-1-1】函数的单调减区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果. 【解】由题意，，解得：或，即定义域为：， 因为函数由与复合而成， 外函数显然单调递减，要求的单调减区间，只需单调递增， 又是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上单调递增， 即函数的单调减区间为；故选：B. 【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，属于基础题型. 【例3-1-2】函数的单调递增区间为 ． 【答案】【解】由函数图像如图；所以函数的单调增区间为．故答案为： 【例3-1-3】(2024·江苏南通·模拟)在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【解】令，则，因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增，所以，解得，故选：B 【例3-1-4】已知是上的减函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】，解得，即;故选：D. 命题点2　对数型函数的最值与值域 【例3-2-1】函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】利用指数函数的性质求得，再由对数函数的性质可得结果. 【解】，，，∴函数的值域为；故选：A 【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题. 【例3-2-2】函数在上的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【解】，在上单调递增，在上单调递增， 当时，，当时，， 在上的值域为，故选：B． 【例3-2-3】函数的值域是 . 【答案】【解】易知，又定义域上单调递增， 所以；故答案为：. 【例3-2-4】(2023高三·河北·阶段练习)的值域为，那么的取值范围是 . 【答案】【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数是否为0进行分类讨论，即可求出的取值范围 【解】由题意在中，值域为 当时，，∴解得： 当时，；则解得；综上，；故答案为：. 【例3-2-5】若函数在上的最大值为2，则实数 ． 【答案】【解】令，因为时，，所以； 若，则在上为减函数，所以，此时a无解； 若．则在上为增函数，所以，此时；故答案为： 【例2-2-6】已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】或【解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是， 所以解得所以；故答案为：或. 命题点3　对数型函数的奇偶性 【例3-3-1】已知函数是奇函数，则 . 【答案】1【分析】先求出函数的定义域，然后由奇函数的性质得可求出. 【解】由，得，所以函数的定义域为， 因为为奇函数，所以，解得，故答案为：1 【例3-3-2】(2024·江苏泰州·模拟)若函数图象关于点对称，则(    ) A．-3 B．-2 C． D． 【答案】C【分析】方法一：由题意，推出是奇函数，根据定义域的对称性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，将其化成，再由等式恒成立得到，继而求得. 【解】方法一：关于点对称，即是奇函数， 因为时函数无意义，故时也无意义，即，解得； 故为奇函数，则； 即：；解得故；故选：C． 方法二：依题意恒成立，代入得 化简得，；整理得：， 即(*)，依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使， 则得，回代(*)可得，，即，故；故选：C. 【例3-3-3】(m，n为常数)在上有最大值7，则在上(    ) A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【答案】A【分析】先分析函数的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出在上的最小值，由此可知结果. 【解】设，因为，所以恒成立， 所以的定义域为且关于原点对称， 又， 所以是奇函数，因为在上有最大值，所以在上有最大值为， 所以在上有最小值，所以在上有最小值．故选：A． 1．已知函数在上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【解】令，解得或，所以定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增，而在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，即的取值范围是；故选：A 2．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得；即实数a的取值范围为；故选：B 3．若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】由已知可得，，故；故选：D. 4.函数的单调递减区间为 . 【答案】【解】由得，解得：或， 故函数的定义域是；令，则是减函数. 求的单调递减区间即求在定义域内的单调递增区间， 因为的单调递增区间为，故函数的单调递减区间为. 故答案为：. 5．函数的单调递减区间为 ． 【答案】【分析】根据复合函数的单调性，即可求得答案. 【解】由与复合而成， 由定义域为：，由于在上递减，故要求的递减区间， 即求的单调递增区间，而的对称轴为， 则的单调递增区间为，故答案为： 6．(2024高三·青海西宁)函数在区间上递减，则a的取值范围为 ． 【答案】【分析】根据复合函数的单调性，列出不等式，即可求得答案. 【解】设，则可看作由复合而成， 由于在上单调递增，故要使得函数在区间上单调递减， 需满足在区间上恒成立，且在区间上单调递减， 故，解得，故a的取值范围为，故答案为： 7．(2024高三·甘肃白银·)是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【解】由题意可得，解得；故答案为：. 8．函数的值域为 ． 【答案】【分析】利用函数的单调性可求函数的值域. 【解】函数为增函数，故其值域为；故答案为： 9．函数的值域是 ． 【答案】【分析】令，则，先求出内层函数的值域，再求外层值域即可 【解】令，则，因为，所以的值域为， 因为在是减函数，所以， 所以的值域为，故答案为： 10．已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】【分析】求出定义域，进而求出的范围，利用换元法结合二次函数求函数的值域. 【解】因为已知函数的定义域为；且， 定义域需满足，可得， 令，则，则， 又因为的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递增， 当时，；当时，；可知函数的值域为；故答案为：. 11．已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【答案】【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果. 【解】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故；故答案为： 12．(2024·宁夏银川·二模)若是奇函数，则 ． 【答案】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到，即可求出的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质，求出的值，即可得到结果. 【解】因为是奇函数，定义域关于原点对称， 由,可得，所以且，所以，解得， 所以函数的定义域为， 则，即，解得，此时， 符合题意，所以；故答案为：. 13.函数的最大值为 . 【答案】【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案. 【解】由题意，知在上递减，在上递减， 故在调递减，则当时函数取到最大值，故答案为： 14.函数的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】由，设，故， 令，则， 当时，取到最大值， 故y的最大值为，即函数的最大值为，故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合函数解析式的结构特点，采用两边取对数再结合换元的方法，将原问题转化为求二次函数的最值问题. 15.函数的值域是 ． 【答案】【解】令，则， 因为，则，且的对称轴为， 可知，所以的值域是．故答案为：． 16.已知函数(且)，若存在实数，使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为 . 【答案】【解】当时，在上单调递增，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递减， 故在单调递增， ，，即有两个解， 设，，即有两个不相等的正根， 故，解得；故答案为：. 考点四 对数函数性质的应用 命题点1　指、对、幂比较大小 【例4-1-1】(2024高三·河北保定)设，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据对数、指数、幂的大小比较，结合构造函数法以及导数判断出的大小关系. 【解】，所以；因为，， 即，所以；设，则， 所以当时，，在单调递增；当时，，在单调递减， 所以，即，当且仅当时等号成立， 同理，即，所以当且仅当时等号成立， 故，所以，从而，综上．．故选：B. 【点睛】要比较指数、幂、对数的大小，可以考虑利用“分段法”来进行求解，即要比较的大小关系，可以根据的结构，找到两个数，使得(不妨设)，从而判断出的大小关系. 【例4-1-2】设则的大小关系为 【答案】【解】依题意，，，则， 所以的大小关系为；故答案为： 【例4-1-3】已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】因为指数幂函数在上单调递减， 所以，则， ，则， 因为，所以，则. 所以；故选：D 【例4-1-4】若，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】利用指对数运算法则得到，，，从而利用对数函数的性质分析判断得，，从而得解. 【解】，， ， 因为，则，所以，即； 而，，所以，所以，即； 综上：；故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用与比较大小，利用与比较大小，从而得解. 命题点2　对数型糖水不等式的应用 【例4-2-1】比较大小: (在“>，<，”中选出正确的填) 【答案】【解】(方法一)：. (方法二)：. 【法三】对数型糖水不等式直接可得:. 【例4-2-2】(2024·重庆·模拟预测)设，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【解】由对数函数的性质知， 由对数型糖水不等式可以直接比较： 综上，；故选：C. 【点睛】设, 则有 命题点3　含对数的不等式 【例4-3-1】不等式的解集为 【答案】【解】因为，且， 若，即，则，解得， 所以不等式的解集为；故答案为：. 【例4-3-2】若函数(且)满足，则不等式的解集为 . 【答案】【解】由可得，可知； 即为，可得，即，所以， 解得，即解集为；故答案为： 【例4-3-3】若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解】因为不等式对于任意恒成立， 即不等式对于任意恒成立，因为，所以， 所以不等式对于任意恒成立，令，， 因为在上递减，在上递增，所以，即，所以， 所以或，解得或，即；故答案为： 1．设，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【解】因为，，所以；故选：B. 2．设，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【解】因函数是减函数，故， 又是增函数，故， 而函数在上是增函数，故，故得；故选：A. 3.(2024·山西·二模)设，，则下列关系正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】由题意可得、， 构造函数、， 利用导数讨论两个函数的单调性可得、，即可求解. 【解】，， 设函数， 则， 设，则， 所以在上单调递减，且，即，所以在上单调递减， 则，即，所以. 设，则，所以在上单调递增， 且，即， 得，所以，即，解得；综上，；故选：B 【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小. 4.已知，，，则与的大小关系是 ． 【答案】【解】， 因为，所以，，，， 所以，即，故答案为：. 5.已知，那么，满足的条件是 ． 【答案】【解】因为，所以， 所以；故答案为：. 6.已知，若，则的取值范围为 ． 【答案】【解】由，即有， 当时，，得，当时，，解得， 即的取值范围为；故答案为：. 1．(2024新高考Ⅰ卷T6)已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是；故选：B. 2．(2024新高考Ⅱ卷T8)设函数，若，则的最小值为(    ) A． B． C． D．1 【答案】C【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【解】解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时；可知若，符合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为；故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 3．(2024北京卷T9)已知，是函数的图象上两个不同的点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误，故选：B. 4．(2024全国甲卷理T15文T15)已知且，则 ． 【答案】64【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【解】由题，整理得或， 又，所以，故；故答案为：64. 5.(2024天津卷T5)若，则的大小关系为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【解】因为在上递增，且，所以， 所以，即， 因为在上递增，且，所以，即， 所以，故选：B 6．(2023新高考Ⅰ卷T10)(多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则(    )． A． B． C． D． 【答案】ACD【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【解】由题意可知：， 对于选项A：可得，因为，则， 即，所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得，因为，则， 即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：，且，则， 即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD. 7．(2023北京卷T11)已知函数，则 ． 【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【解】函数，所以；故答案为：1 8．(2022新高考Ⅰ卷T7)设，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【解】方法一：构造法：设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以；故选：C. 方法二：比较法： ， ， ， ① ，令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 ；故 9.(2022全国甲卷文T12)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【解】因为, 所以. 在对数型糖水不等式中取：, 可得, 且. 所以 , 即 , 选 A. 10．(2022全国乙卷文T16)若是奇函数，则 ， ． 【答案】；【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【解】[方法一]：奇函数定义域的对称性：若，定义域为，不关于原点对称； 若奇函数的有意义，则且；且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得， 由得，，，故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参： ；函数为奇函数； ；；. [方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即定义域为， 再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 11．(2022天津卷T5)已知，，，则(      ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【解】因为，故；故答案为：C. 12．(2022天津卷T6)化简的值为(         ) A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【解】原式，故选：B 13．(2022浙江卷T7)已知，则(    ) A．25 B．5 C． D． 【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【解】因为，，即，所以．故选：C. 14．(2021·全国·高考真题)设，，．则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【解】[方法一]：，所以； 下面比较与的大小关系:记，则， ，由于 所以当0<x<2时，，即，，所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，，故选：B. [方法二]：令;， 即函数在(1，+∞)上单调递减;; 令;，即函数在(1，3)上单调递增 ；所以；综上，，故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 15．(2021全国甲卷理T4文T6)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(    )() A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【解】由，当时，，则；故选：C. 16．(2021全国乙卷理T7新高考Ⅱ卷T7)已知，，，则下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【解】，即；故选：C. 17．(2021·天津·高考真题)设，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【解】，，，， ，，；故选：D. 18．(2021·天津·高考真题)若，则(    ) A． B． C．1 D． 【答案】C【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【解】，，；故选：C. 19.(2020全国1卷理T12)12.若，则( ) A. B. C. D. 【答案】B【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误；故选：B. 20.(2020全国2卷理T9)设函数，则f(x)( ) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D【解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又，为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上递增，在上递减，在上递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确；故选：D. 21.(2020全国2卷理T11文T12)若，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【解】由得：，令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定；故选：A. 22．(2020·全国·高考真题)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则(    ) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【解】、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得；综上所述，；故选：A. 23.(2020·全国新Ⅱ卷·高考真题)已知函数在上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【解】由得或；所以的定义域为； 因为在上单调递增；所以在上单调递增； 所以；故选：D 24.(2020北京卷T11)函数的定义域是____________． 【答案】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【解】由题意得，；故答案为： 25.(2020全国3卷理T12)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则( ) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A【解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A. 26.(2020全国3卷文T10)设，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【解】，，所以.故选：A. 27.(2020天津卷T6)6.设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【解】因为，，， 所以；故选：D. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-6 对数与对数函数 讲义 一、对数的运算 1.对数的定义：如果且，那么把叫做以为底，的对数，记作， 其中叫做对数的底数，叫做真数 2.对数的分类 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即：. 自然对数：底数为e(e≈2.71828…)，记为，即：. 3.指数与对数的关系 3.对数的性质与运算法则 (1)两个基本对数：①，②； (2)对数恒等式：①，②； (3)换底公式：； 推广1：对数的倒数式； 推广2：； 4.对数的运算法则 (1)积的对数：； (2)商的对数：； (3)幂的对数：①，②， 5.对数型糖水不等式 1.设, 且, 则有. 2.设, 则有. 3.上式的倒数形式：, 则有. 二、对数函数 1．对数函数的概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.对数函数的图象性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3.指数函数与对数函数的关系 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 4．常用结论：对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大(底大图右)． 考点一 对数运算 【例1-1】下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【例1-2】(2024·重庆·三模)已知，则 ． 【例1-3】若，是方程的两个实根，则ab的值等于(    ) A．2 B． C．100 D． 【例1-4】(2024·四川·模拟)若实数，，满足且，则(    ) A． B．12 C． D． 【例1-5】计算的结果为(    ) A．4 B． C． D． 1.(2024·青海·模拟预测)若，，则(   ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．(2024·辽宁丹东·一模)若，，，则(    ) A． B． C． D．1 3．(2024·河南郑州·三模)已知，则的值为 ． 4.设方程的两实根是a和b，则等于(    )． A．1 B．－2 C． D．－4 5.已知，，(a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1)，则等于(    ) A． B． C． D． 考点二 对数型函数及其图象 命题点1 对数型函数的定义域 【例2-1-1】(2024·河南·三模)函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【例2-1-2】(2024·青海海南·二模)函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 命题点2 对数型函数的图象识别 【例2-2-1】(2024·广东深圳·二模)已知，且，则函数的图象一定经过(    ) A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【例2-2-2】当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是(    )． A． B．C． D．   【例2-2-3】函数( 且 )的图像大致为(    ) A． B． C． D． 【例2-2-4】已知函数①；②；③；④的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是(　　) A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 命题点3 对数型函数过定点问题 【例2-3-1】函数的图象恒过定点 . 【例2-3-2】函数(且)过定点P，同时点P又在函数上，则P点坐标为 ， ． 【例2-3-3】(2024·陕西渭南·二模)直线(，)过函数(，且) 的定点T，则的最小值为 . 1．(2023·广东珠海·模拟)函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) A．  B． C． D．   3.如图图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：的是(    ) A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 4.已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是(    ) A． B． C． D． 5.若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是(    ) A． B． C． D．   6.(多选)若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是(    ) A． B．C． D．   7.函数()的图象经过定点，则点的坐标为 ． 8.函数(且)过定点 ． 9.函数的图象恒过定点的坐标为 . 10.已知(且)过定点，若且，，则的最小值为(    ) A．16 B．10 C．8 D．4 11.若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为 . 考点三 对数函数的性质 命题点1 对数型函数的单调性 【例3-1-1】函数的单调减区间为(    ) A． B． C． D． 【例3-1-2】函数的单调递增区间为 ． 【例3-1-3】(2024·江苏南通·模拟)在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【例3-1-4】已知是上的减函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 命题点2　对数型函数的最值与值域 【例3-2-1】函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【例3-2-2】函数在上的值域为(    ) A． B． C． D． 【例3-2-3】函数的值域是 . 【例3-2-4】(2023高三·河北·阶段练习)的值域为，那么的取值范围是 . 【例3-2-5】若函数在上的最大值为2，则实数 ． 【例2-2-6】已知函数的定义域和值域都是，则 . 命题点3　对数型函数的奇偶性 【例3-3-1】已知函数是奇函数，则 . 【例3-3-2】(2024·江苏泰州·模拟)若函数图象关于点对称，则(    ) A．-3 B．-2 C． D． 【例3-3-3】(m，n为常数)在上有最大值7，则在上(    ) A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 1．已知函数在上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3．若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.函数的单调递减区间为 . 5．函数的单调递减区间为 ． 6．(2024高三·青海西宁)函数在区间上递减，则a的取值范围为 ． 7．(2024高三·甘肃白银·)是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 ． 8．函数的值域为 ． 9．函数的值域是 ． 10．已知函数，则函数的值域为 ． 11．已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 12．(2024·宁夏银川·二模)若是奇函数，则 ． 13.函数的最大值为 . 14.函数的最大值为(    ) A． B． C． D． 15.函数的值域是 ． 16.已知函数(且)，若存在实数，使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为 . 考点四 对数函数性质的应用 命题点1　指、对、幂比较大小 【例4-1-1】(2024高三·河北保定)设，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【例4-1-2】设则的大小关系为 【例4-1-3】已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【例4-1-4】若，，，则(    ) A． B． C． D． 命题点2　对数型糖水不等式的应用 【例4-2-1】比较大小: (在“>，<，”中选出正确的填) 【例4-2-2】(2024·重庆·模拟预测)设，，，则(    ) A． B． C． D． 命题点3　含对数的不等式 【例4-3-1】不等式的解集为 【例4-3-2】若函数(且)满足，则不等式的解集为 . 【例4-3-3】若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 1．设，则(    ) A． B． C． D． 2．设，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 3.(2024·山西·二模)设，，则下列关系正确的是(    ) A． B． C． D． 4.已知，，，则与的大小关系是 ． 5.已知，那么，满足的条件是 ． 6.已知，若，则的取值范围为 ． 1．(2024新高考Ⅰ卷T6)已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．(2024新高考Ⅱ卷T8)设函数，若，则的最小值为(    ) A． B． C． D．1 3．(2024北京卷T9)已知，是函数的图象上两个不同的点，则(    ) A． B． C． D． 4．(2024全国甲卷理T15文T15)已知且，则 ． 5.(2024天津卷T5)若，则的大小关系为(   ) A． B． C． D． 6．(2023新高考Ⅰ卷T10)(多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则(    )． A． B． C． D． 7．(2023北京卷T11)已知函数，则 ． 8．(2022新高考Ⅰ卷T7)设，则(    ) A． B． C． D． 9.(2022全国甲卷文T12)已知，则(    ) A． B． C． D． 10．(2022全国乙卷文T16)若是奇函数，则 ， ． 11．(2022天津卷T5)已知，，，则(      ) A． B． C． D． 12．(2022天津卷T6)化简的值为(         ) A．1 B．2 C．4 D．6 13．(2022浙江卷T7)已知，则(    ) A．25 B．5 C． D． 14．(2021·全国·高考真题)设，，．则(    ) A． B． C． D． 15．(2021全国甲卷理T4文T6)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(    )() A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 16．(2021全国乙卷理T7新高考Ⅱ卷T7)已知，，，则下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 17．(2021·天津·高考真题)设，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 18．(2021·天津·高考真题)若，则(    ) A． B． C．1 D． 19.(2020全国1卷理T12)12.若，则( ) A. B. C. D. 20.(2020全国2卷理T9)设函数，则f(x)( ) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 21.(2020全国2卷理T11文T12)若，则( ) A． B． C． D． 22．(2020·全国·高考真题)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则(    ) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 23.(2020·全国新Ⅱ卷·高考真题)已知函数在上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 24.(2020北京卷T11)函数的定义域是____________． 25.(2020全国3卷理T12)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则( ) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 26.(2020全国3卷文T10)设，，，则( ) A． B． C． D． 27.(2020天津卷T6)6.设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$