2.5指数与指数函数讲义-2025届高三数学一轮复习

2-5 指数与指数函数 讲义 一、指数运算 (一)根式与分数指数幂 1.根式 (1)根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)根式的性质(，且)：； (3) ； ； 2.指数幂 零指数幂：；性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 负整数指数幂：； 正分数指数幂：； 负分数指数幂：； (二)指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算; ②同底数幂的除法运算; ③幂的乘方运算; ④积的乘方运算; 二、指数函数 (一)指数函数概念 函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. 2.a>1时y＝ax在R上单调递增；0<a<1时y＝ax在R上单调递减； (二)指数函数的图象和性质： 图象 定义域 值域 定点 过定点： 单调性 在R上单调递增 在R上单调递减 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，；当时,. 当时，；当时,. (三)常用结论： 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高” 如图是:(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则：c＞d＞1＞a＞b＞0． 考点一 指数与指数幂运算 【例1-1】(2024·上海宝山·二模)将(其中)化为有理数指数幂的形式为 . 【例1-2】计算：(1)＝______； (2) ＝________； 【例1-3】(2023·山东·模拟预测)若， 则的值为(    ) A．8 B．16 C．2 D．18 思维升华 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4　　　　B．2a－3＝　　　　C．(－2)0＝－1　　　　D． 2．化简的结果为(　　) A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－6ab 3.(多选)下列计算正确的是(　　) A. B． C. D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 4.(2023·四川宜宾·一模)计算: . 5．化简求值：(1)；(2)； 考点二 指数函数 命题点1 指数函数的概念有关问题 【例2-1-1】指数函数且，则(    ) A．3 B．2 C． D． 【例2-1-2】若指数函数的图象经过点，则 ． 【例2-1-3】(多选)若函数是指数函数，则实数的值为(   ) A． B． C． D． 命题点2 指数函数的图象性质 【例2-2-1】函数的图象是(    ) A．  B． C． D．   【例2-2-2】在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是(    ) A． B． C． D．   命题点3 由指数型函数的图象求参数 【例2-3-1】函数且过定点 . 【例2-3-2】(多选)函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【例2-3-3】若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 思维升华 有关指数函数图象辨析及图象应用的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过底大图高进行判断． 1．已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　) 　　 2．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 3．已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 4．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1，6)　　　　　　B．(1，5)　　　　　　C．(0，5)　　　　　　D．(5，0) 5.(多选)已知函数(且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为(    ) A.B．C．D． 6.(多选)若函数(其中且)的图象过第一、三、四象限，则(    ) A． B． C． D． 7．若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为__________． 8.函数(，且)的图象恒过定点的坐标为 . 9．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 10.，且恒过定点，点又在幂函数的图象上，则 . 11.若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 考点三 指数函数性质的应用 命题点1 比较指数式的大小与解不等式 【例3-1-1】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　B．a<c<b　　　　　C．b<a<c　　　　　D．b<c<a 【例3-1-2】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________． 思维升华 1．比较指数式大小的方法：比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较． 2．简单的指数方程或不等式问题的求解策略 (1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)． (2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x)． (3)指数不等式问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，分类讨论． 命题点2　指数型函数的定义域、值域 【例3-2-1】函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【例3-2-2】函数，的值域为 ． 【例3-2-3】如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为(   ) A．3 B． C． D．3或 【例3-2-4】(2024·内蒙古赤峰·高三开学考试)是上的减函数，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【例3-2-5】已知函数，则的解集为 ． 【例3-2-6】(2024·江苏宿迁·一模)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3-2-7】函数y＝的值域是(　　) A．(－∞，4)　　　　　　B．(0，＋∞)　　　　　　C．(0，　　　　　　D．，＋∞) 【例3-2-8】函数y＝＋1在上的值域是________． 【例3-2-9】若函数y＝4x－2x＋1＋b在上的最大值是3，则实数b＝(　　) A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0 【例3-2-10】如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在上有最大值14，则a的值为__________． 思维升华 (1)y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同． (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性确定函数y＝af(x)的值域． 命题点3　与指数函数有关的复合函数的单调性 【例3-3-1】已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　) A．偶函数，在，＋∞)上单调递增　　　　　　　　B．偶函数，在，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且单调递增　　　　　　　　　　　　　D．奇函数，且单调递减 【例3-3-2】若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，　　　　B．，＋∞)　　　　C．，＋∞)　　　　D．(－∞，－ 【例3-3-3】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________． 思维升华 与指数函数有关的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)． 1.函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 2.函数的值域是(    ) A． B． C． D． 3.的值域是( ) A． B． C． D． 4．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(　　) A．(0，＋∞)　　　　B．(1，＋∞)　　　　C．＋∞)　　　　D．(－∞，＋∞) 5.函数(且)的值域是，则实数(    ) A．3 B． C．3或 D．或 6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7.已知函数，则满足的的取值范围是( ) A． B． C． D． 8.(2024上·北京·高三阶段练习)若函数有最小值，则t的取值范围是(    ) A． B． C． D． 9.(2024上·河南·高三校联考)已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 10．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　B．a<c<b　　　　　C．b<a<c　　　　　D．b<c<a 11．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.75，则(　　) A．a>b>c　　　　　B．a>c>b　　　　　C．c>a>b　　　　　D．b>c>a 12．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b　　　　　B．a>b>c　　　　　C．c>a>b　　　　　D．b>c>a 13.函数 在时的值域是 ． 14．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是，则实数a＝________． 15．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________． 16．不等式23－2x<0．53x－4的解集为________． 17．已知函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，则a的取值范围为________． 18．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 1.(2023新高考Ⅰ卷T4)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.．(2023·天津·统考高考真题)设，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 3．(2022·浙江·统考高考真题)已知，则(    ) A．25 B．5 C． D． 4．(2022·北京·统考高考真题)已知函数，则对任意实数x，有(    ) A． B． C． D． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-5 指数与指数函数 讲义 一、指数运算 (一)根式与分数指数幂 1.根式 (1)根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)根式的性质(，且)：； (3) ； ； 2.指数幂 零指数幂：；性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 负整数指数幂：； 正分数指数幂：； 负分数指数幂：； (二)指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算; ②同底数幂的除法运算; ③幂的乘方运算; ④积的乘方运算; 二、指数函数 (一)指数函数概念 函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. 2.a>1时y＝ax在R上单调递增；0<a<1时y＝ax在R上单调递减； (二)指数函数的图象和性质： 图象 定义域 值域 定点 过定点： 单调性 在R上单调递增 在R上单调递减 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，；当时,. 当时，；当时,. (三)常用结论： 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高” 如图是:(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则：c＞d＞1＞a＞b＞0． 考点一 指数与指数幂运算 【例1-1】(2024·上海宝山·二模)将(其中)化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【解】；故答案为： 【例1-2】计算：(1)＝______； (2) ＝________； 【答案】(1)；(2)－45【解】(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝． (2) 原式＝－72＋－1＝－49＋－1＝－45． 【例1-3】(2023·山东·模拟预测)若， 则的值为(    ) A．8 B．16 C．2 D．18 【答案】D【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可. 【解】因为，所以.故选：D． 思维升华 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4　　　　B．2a－3＝　　　　C．(－2)0＝－1　　　　D． 【答案】D【解】对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1， 故C错误；对于D，，故D正确． 2．化简的结果为(　　) A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－6ab 【答案】C【解】原式＝－6＝－6ab－1＝－． 3.(多选)下列计算正确的是(　　) A. B． C. D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 【答案】BC【解】对于A，＝＝＝≠，所以A错误； 对于B，；所以B正确； 对于C，，所以C正确； 对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误． 4.(2023·四川宜宾·一模)计算: . 【答案】【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解. 【解】，答案为：. 5．化简求值：(1)；(2)； 【分析】利用根据指数幂的运算法则，化简求值，即得答案； 【解】(1)； (2)原式. 考点二 指数函数 命题点1 指数函数的概念有关问题 【例2-1-1】指数函数且，则(    ) A．3 B．2 C． D． 【答案】A【分析】由指数函数概念，求出,再求函数值即可. 【解】设，则，故，所以；故选：A. 【例2-1-2】若指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】/【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入即可. 【解】设指数函数且，过点， ，解得：，，；故答案为：. 【例2-1-3】(多选)若函数是指数函数，则实数的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】AB【分析】根据指数函数的定义求解. 【解】因为函数是指数函数，所以，解得或.故选：AB 命题点2 指数函数的图象性质 【例2-2-1】函数的图象是(    ) A．  B． C． D．   【答案】A【分析】的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，由此可得出结论 【解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的， 而的图象过点，且在上是增函数，所以过点，且在上是增函数，故选：A 【例2-2-2】在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是(    ) A． B． C． D．   【答案】D【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可． 【解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数； 又，所以在区间和区间上单调递减， 且当时，，故A和B均错误； 对于C，当时，函数在R上为单调递增函数， 又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确．故选：D． 命题点3 由指数型函数的图象求参数 【例2-3-1】函数且过定点 . 【答案】【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标． 【解】因为且，令，得到，此时， 所以函数的定点为，故答案为：. 【例2-3-2】(多选)函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD【分析】根据的单调性确定，由确定. 【解】，由图知为减函数，故，所以，故A正确C错误； 由图知，所以，故B错误D正确；故选：AD 【例2-3-3】若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】转化为与有公共点，结合函数图象，可得结果. 【解】与有公共点，即与有公共点，图象如图 由图可知；故选：B 思维升华 有关指数函数图象辨析及图象应用的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过底大图高进行判断． 1．已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　) 　　 【答案】B【解】由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0<a<1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以 －1<k<0．函数y＝ax＋k的图象可以看成把y＝ax的图象向右平移－k个单位得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B． 2．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 【答案】D【解】函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误； 当a>1时，0<<1，平移距离小于1，B错误；当0<a<1时，>1，平移距离大于1，C错误．故选D． 3．已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 【答案】C【解】由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B，作直线x＝1与两个 曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象． 4．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1，6)　　　　　　B．(1，5)　　　　　　C．(0，5)　　　　　　D．(5，0) 【答案】A【解】当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2的图象恒过定点P(1，6)． 5.(多选)已知函数(且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为(    ) A.B．C．D． 【答案】AD【分析】由指数函数的图象特征，结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案. 【解】根据题意可得，的图象是向上平移a个单位得到的， 结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数， 当a为奇数时，图象如C选项所示；当a为偶数时，图象如B选项所示， 选项A，D不符合题意．故选：AD. 6.(多选)若函数(其中且)的图象过第一、三、四象限，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BD【分析】根据图象的性质可得：，即可求解. 【解】函数(其中且)的图象在第一、三、四象限， 根据图象的性质可得：，即，故选：BD. 7．若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为__________． 【答案】(0，1)【解】作出y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0，1)． 8.函数(，且)的图象恒过定点的坐标为 . 【答案】【分析】根据指数型函数的性质求解即可. 【解】由函数可知，当时，，即函数图象恒过点.故答案为： 9．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】[－1，1]【解】曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线 y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]． 10.，且恒过定点，点又在幂函数的图象上，则 . 【答案】4【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果. 【解】由，得，所以定点， 设，又，得，所以，所以，故答案为：4. 11.若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 【分析】由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【解】设指数函数，则，解得，所以，，故. 考点三 指数函数性质的应用 命题点1 比较指数式的大小与解不等式 【例3-1-1】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　B．a<c<b　　　　　C．b<a<c　　　　　D．b<c<a 【答案】C【解】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1．又c＝1.50.6>1，所以b<a<c． 【例3-1-2】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________． 【答案】{x|x>4或x<0}【解】∵f(x)为偶函数，当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4． ∴f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或 解得x＞4或x＜0．∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}． 思维升华 1．比较指数式大小的方法：比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较． 2．简单的指数方程或不等式问题的求解策略 (1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)． (2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x)． (3)指数不等式问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，分类讨论． 命题点2　指数型函数的定义域、值域 【例3-2-1】函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【解】，解得，因此，函数的定义域为；故选：A. 【例3-2-2】函数，的值域为 ． 【答案】【分析】根据函数的单调性求得正确答案. 【解】函数在区间上单调递增，所以，故答案为： 【例3-2-3】如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为(   ) A．3 B． C． D．3或 【答案】D【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【解】令，则． 当时，因为，所以，又因为函数在上单调递增， 所以，解得(舍去)． 当时，因为，所以，又函数在上单调递增， 则，解得(舍去)．综上知或．故选：D. 【例3-2-4】(2024·内蒙古赤峰·高三开学考试)是上的减函数，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，以及分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【解】由，解得，即实数的取值范围为；故选：A. 【例3-2-5】已知函数，则的解集为 ． 【答案】【分析】判断函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解. 【解】由函数，可得其定义域为，且，所以为偶函数， 当时，，可得在上单调递增， 根据偶函数的性质，不等式，即为，可得， 得，解得，所以的解集为．故答案为：． 【例3-2-6】(2024·江苏宿迁·一模)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解】解法一：分别是R上的增函数和减函数，因此函数是R上的增函数， 由，得，解得，所以原不等式的解集是.故选：A 解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C， 对A：当时，，因为是R上的增函数，所以，故A成立；故选A． 【例3-2-7】函数y＝的值域是(　　) A．(－∞，4)　　　　　　B．(0，＋∞)　　　　　　C．(0，　　　　　　D．，＋∞) 【答案】C【解】设t＝x2＋2x－1，则y＝．为关于t的减函数．因为t＝2－2≥－2， 所以0<y＝，故所求函数的值域为(0，． 【例3-2-8】函数y＝＋1在上的值域是________． 【答案】【解】令t＝，由x∈，得t∈．则y＝t2－t＋1＝． 当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57．故所求函数的值域是． 【例3-2-9】若函数y＝4x－2x＋1＋b在上的最大值是3，则实数b＝(　　) A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0 【答案】A【解】y＝4x－2x＋1＋b＝(2x)2－2·2x＋b．设2x＝t，则y＝t2－2t＋b＝(t－1)2＋b－1． 因为x∈，所以t∈．当t＝2时，ymax＝3，即1＋b－1＝3，b＝3．故选A． 【例3-2-10】如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在上有最大值14，则a的值为__________． 【答案】或3【解】设t＝ax>0，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，其对称轴为t＝－1． ①若a>1，因为t＝ax在上递增，所以t∈．因为－1<0<， 所以y＝(t＋1)2－2在t∈上递增，由复合函数单调性知原函数在上递增， 故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1，由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)，所以a＝3． ②若0<a<1，同理可得当x＝－1时，ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝或a＝－(舍)，所以a＝． 综上可知，a＝或a＝3． 思维升华 (1)y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同． (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性确定函数y＝af(x)的值域． 命题点3　与指数函数有关的复合函数的单调性 【例3-3-1】已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　) A．偶函数，在，＋∞)上单调递增　　　　　　　　B．偶函数，在，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且单调递增　　　　　　　　　　　　　D．奇函数，且单调递减 【答案】C【解】易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0， 则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0， 则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C． 【例3-3-2】若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，　　　　B．，＋∞)　　　　C．，＋∞)　　　　D．(－∞，－ 【答案】B【解】由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝． y＝|2x－4|在(－∞，上递减，在，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，上递增，在，＋∞)上递减，故选B． 【例3-3-3】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________． 【答案】(－∞，【解】令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在上单调递减， 而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4， 所以m的取值范围是(－∞，． 思维升华 与指数函数有关的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)． 1.函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【解】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为.故选：C. 2.函数的值域是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【解】因为是定义域在上的增函数．所以当时， ，所以的值域为．故选：C. 3.的值域是( ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域. 【解】递减，所以最大值为，最小值为，所以值域为；故选：D. 4．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(　　) A．(0，＋∞)　　　　B．(1，＋∞)　　　　C．＋∞)　　　　D．(－∞，＋∞) 【答案】B【解】令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)． ∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1．∴所求值域为(1，＋∞)．故选B． 5.函数(且)的值域是，则实数(    ) A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C【分析】分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【解】函数(且)的值域为，又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得；综上所述，或.故选：C. 6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可. 【解】由题意得：在上单调递增，所以对称轴，所以.故选：B. 7.已知函数，则满足的的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】分析奇偶性及单调性，将所求不等式变形为，解之即可. 【解】的定义域为，且，所以，函数为偶函数， 则不等式等价于，因为函数、在上均为增函数， 当时，单调递增，所以，，可得，解得， 故原不等式的解集为；故选：A. 8.(2024上·北京·高三阶段练习)若函数有最小值，则t的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得；故选：A 9.(2024上·河南·高三校联考)已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】参变分离可得恒成立，求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【解】因为恒成立，即恒成立，所以恒成立， 又由(当且仅当时取等号)，所以．故选：A． 10．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　B．a<c<b　　　　　C．b<a<c　　　　　D．b<c<a 【答案】C【解】结合指数函数性质知0.60.6＞0.61.5，即a＞b；结合幂函数性质知a<c．综上，b<a<c． 11．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.75，则(　　) A．a>b>c　　　　　B．a>c>b　　　　　C．c>a>b　　　　　D．b>c>a 【答案】A【解】由0.2<0.75<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.75，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b．综上，a>b>c． 12．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b　　　　　B．a>b>c　　　　　C．c>a>b　　　　　D．b>c>a 【答案】A【解】因为y＝(x>0)为增函数，所以a>c．因为y＝(x∈R)为减函数，所以c>b，所以a>c>b． 13.函数 在时的值域是 ． 【答案】【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得. 【解】当时，，函数， 显然当，即时，，当，即时，， 所以所求值域是.故答案为： 14．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是，则实数a＝________． 【答案】【解】当a>1时，f(x)＝ax－1在上为增函数，则a2－1＝2，∴a＝±．又∵a>1，∴a＝． 当0<a<1时，f(x)＝ax－1在上为减函数，又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a＝． 15．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－3，1)【解】若a<0，则f(a)<1⇔<1⇔<8，解得a>－3，故－3<a<0； 若a≥0，则f(a)<1⇔<1，解得a<1，故0≤a<1．综合可得－3<a<1． 16．不等式23－2x<0．53x－4的解集为________． 【答案】{x|x<1}【解】原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则不等式的解集为{x|x<1}． 17．已知函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，则a的取值范围为________． 【答案】，＋∞)【解】 y＝2是由y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．因为t＝－x2＋ax＋1在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，所以函数y＝2在区间上单调递增，在区间上单调递减． 又因为函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤，即a≥6． 18．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 【解】(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1． 从而有f(x)＝．又由f(1)＝－f(－1)知，解得a＝2． (2)由(1)知f(x)＝＝，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数， 从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k． 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－．故k的取值范围为． 1.(2023新高考Ⅰ卷T4)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解】在R上递增，而在区间上递减， 则在区间上递减，因此，解得，的范围是.故选：D 2.．(2023·天津·统考高考真题)设，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【解】由在R上递增，则， 由在上递增，则.所以.故选：D 3．(2022·浙江·统考高考真题)已知，则(    ) A．25 B．5 C． D． 【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【解】，即，所以．故选：C. 4．(2022·北京·统考高考真题)已知函数，则对任意实数x，有(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误；故选：C． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$