2-4函数的周期性与对称性分层作业-2025届高三数学一轮复习

2-4 函数的周期性与对称性 分层作业 一、单项选择题 1．定义在上的偶函数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C【解】由，所以是函数的一个周期， 所以， 又是偶函数且，所以；故选：C 2.(2024·四川雅安·模拟)是定义域为的奇函数，且是偶函数.当时，，则(    ) A． B． C．8 D．16 【答案】B【分析】由对称性和奇偶性求得周期，则，再结合即可求解. 【解】由是偶函数可知对称轴为，故，又函数为奇函数，故，即，，，令得，所以，周期为，所以；故选：B 3. (2024·河南名校联盟模拟)f(x)是R上周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．－2 【答案】D【解】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)在R上的周期为2， ∴f(2)＝f(0)＝0，；∴＝－2. 4．若函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D【解】关于对称；则；故选：D. 5.(2024·黑龙江·二模)上的奇函数满足，则以下说法错误的是(    ) A． B．是周期函数 C． D． 【答案】C【分析】借助题目条件可得函数的周期性，结合奇函数性质与函数的周期性逐项判断即可得. 【解】对A：由为定义在上的奇函数，故，即，故A正确； 对B：由，故是以为周期的周期函数，故B正确； 对C：由，，故C错误； 对D：由，故，又，故，故D正确. 故选：C. 6.(2024·重庆·模拟预测)周期为，且都有，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据函数的周期性与对称性可得解. 【解】由已知，即， 令，可知，即， 又函数的周期为，则，故选：C. 7.(23-24高三·四川成都·阶段)的定义域为为偶函数，，则（    ） A．函数为偶函数 B． C． D． 【答案】A【分析】由函数的对称性，可求出周期，可证得函数为偶函数. 【解】已知函数的定义域为，为偶函数，则， 函数图像关于直线对称，有，又，则， 令，有，所以函数周期为2. ，函数为偶函数，A选项正确； ，C选项错误； 已知中没有可以求函数值的条件，BD选项错误；故选：A 8.已知函数满足，当时，有，则当x∈时，(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】令，则，可求得f（x+2），再根据f（x+2）＝f（x），即可求得． 【解】令，则，∴，所以；故选：C． 二、多项选择题 9．已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x＝2对称 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y＝f(x＋4)为偶函数 【答案】ACD【解】∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵f(x)关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确； ∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确. 10．((2024·广东·高三专题练习) f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．f(2 022)＝1 C．当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(4－x) D．函数f(x)在[0,2 021]内有1 010个零点 【答案】AC【解】∵f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为4，故A正确； f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误； 当x∈[2,3]时，x－2∈[0,1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确； 易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝f(2 021)＝0，于是函数f(x)在[0,2 021]内有1 011个零点，故D错误． 11.(2024·全国·模拟预测)设是上的奇函数，对都有，当时，，则下列说法正确的是(    ) A．在上是增函数 B．的最大值是，最小值是 C．直线是函数的一条对称轴 D．当时， 【答案】ACD【分析】根据得，的图像关于直线对称，再结合的奇偶性和单调性，即可得到的最值；当时，构造，，再结合的周期性和奇偶性，即可得到的解析式. 【解】因为，所以的图像关于直线对称，故C正确； 因为是上的奇函数，且的图像关于直线对称，所以周期为4； 又因为当时，单调递增，所以在上也单调递增，从而在上单调递增，又因为的周期为4，所以在上单调递增，故A正确； 因为在上单调递增，且的图像关于直线对称，所以在上单调递减，所以在上的最大值为，最小值，故B错误； 当时，，所以，因为周期为4，所以 ， 又因为为奇函数，所以，故D正确；故选：ACD. 三、填空题 12.函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为 ． 【答案】4【分析】利用奇函数及周期函数的定义即可求解. 【解】，，又为奇函数， ；是周期为的周期函数；故答案为：4. 13.已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则 . 【答案】【分析】根据函数周期性和奇函数的基本性质化简原式求解即可. 【解】因为，所以奇函数的周期为. 所以；故答案为: 14．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 【答案】【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可. 【解】由已知可得，所以， 所以，即是函数的一个周期， 所以；故答案为： 一、单项选择题 1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 【答案】C【分析】根据函数周期的定义，求解即可． 【解】因为的周期是3，所以，令， 则，所以的周期为6，故选：C． 2.（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值. 【解】因为为奇函数，所以关于对称，即， 又关于原点对称，则，有， 所以的周期为4，故；故选：A 3.（23-24高三上·重庆·阶段练习）定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C【分析】根据已知条件推出是周期为4，关于、对称的偶函数，再结合、与的平移伸缩关系判断各项的正误. 【解】由为奇函数，则，即，B错； 所以关于对称，由，令，则，即， 所以关于对称，则关于，即y轴对称，C对； 所以，则，故， 则，即的周期为4，则， 综上，是周期为4，关于、对称的偶函数， 将所有横坐标缩短为原来的一半得到函数，所以是周期为2，关于、对称的偶函数，D错； 则，A错；故选：C 4．设函数的定义域为，且满足，，，，都有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解】由，可得，即， 再令得：，所以，即函数是以为周期的函数， 所以，，由可得关于对称， 又因为，单调递增，所以当，单调递减， 因为，所以，即；故选：C 5.(2021·新疆巴音郭楞·模拟)设f (x)是R上周期为4的奇函数，若在[－2，0)∪(0，2]上，f (x)＝ 则f (2019)＝ . 【答案】【分析】先根据f (x)是周期为4的奇函数，求得其解析式，再利用周期性求解. 【解】因为f (x)是奇函数，所以，即 ，解得 ， 又因为f (x)的周期为4，所以 ，即 ，解得 ， 所以 ，所以，故答案为： 6.(2024·山东青岛·一模)，，，则的值为(    ) A．2 B．1 C．0 D．－1 【答案】B【分析】利用赋值法求出的值，将变形为，即可推出，可得函数周期，由此即可求得答案. 【解】由题意知，，， 令，则 显然时，不成立，故， 故，则，即6为函数的周期， 则，故选：B 7.已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】首先对两边求导，得，与联立可得：，这样就知道图象关于对称，再由为奇函数，又知道图象关于点对称，这样由双对称性质可知是周期函数且周期为4，然后即可用赋值法得到结果. 【解】对两边求导，得，又由，得， 所以，可得． 由为奇函数，得，则， 令得：， 则由上面两式可得：，即是以4为周期的周期函数， 则．故选：C． 8.（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B【分析】用题设得①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后用周期性即可求得. 【解】由函数的图象关于原点对称，， 即，即①， 由函数的图象关于y轴对称，可得②， 由可得，又得， 两式相加，，将①式代入，得， 则得，将②式代入得，，则， 于是，即的周期为12. 又，由①可得，得， 又由可得，即得. 因，可得，， 于是，故选：B. 二、多项选择题 9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC【分析】根据平移变换可判断AB；令，可判断C；根据可判断D. 【解】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位， 再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确； B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的， 而函数是偶函数，关于轴对称， 其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确； C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确； D：，显然，故此函数不是关于直线对称的，故D错误；故选：ABC. 10.(2024·辽宁葫芦岛·一模)已知定义域为R的函数，满足，且，，则(    ) A． B．图像关于对称 C． D． 【答案】ACD【分析】对A：借助赋值法，令，计算即可得； 对B：借助赋值法，令，再令令，可得，故不可能关于对称， 对C：借助赋值法，令，再令，再，计算即可得； 对D：由C选项中所得可推导出函数的周期性，计算出一个周期内所有的函数值即可得. 【解】对A：令，，则有，即，故A正确； 对B：令，则有，即有，故或， 又，故，令，则有，即， 故不可能关于对称，故B错误； 对C：令，则，即，故关于对称， 令，则，即，即， 即，由定义域为，故为偶函数， 令，则有，即， 即，又，， 故，即，故C正确； 对D：由，，则有， 即，则，即， 即有，故周期为， 由，，故，， 又，，故，故D正确；故选：ACD. 11.(2024·辽宁沈阳·模拟预测)(多选)已知函数，的定义域均为，且满足，，，则(    ) A． B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】AC【分析】由得出的图象关于点对称，由和得出可判断A；由和可判断B；根据的定义域均为和图象关于点对称可判断C；记，，，结合选项A知数列和数列均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D. 【解】 ， 的图象关于点对称，即， 对于A， ， ①， ， ②，②-①得，故A正确； 对于B， ， ③， ④，③-④得， 的图象关于点对称，故B错误； 对于C， 的定义域为且图象关于点对称， ，故C正确； 对于D， 的定义域为且图象关于点对称， ， 由②知，当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 记，，， 由选项A知，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， ，， ，故D错误；故选：AC. 三、填空题 12.定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 【答案】3【解】图象关于点对称，所以，所以， 又，当时，，所以；故答案为：3. 13.（2023·海南海口·一模）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则 . 【答案】2【分析】根据奇偶性推出周期，再利用周期性可求出结果. 【解】∵，∴，即4为函数的周期， ∴；故答案为：2 14.（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为 . 【答案】，.【分析】设，则，则有，由函数的解析式可得的表达式，结合函数的奇偶性与周期性可得，即可求出结果. 【解】解：根据题意，设，则，则有， 当时，，则， 又为周期为4的偶函数，所以，， 则有，；故答案为：，. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-4 函数的周期性与对称性 分层作业 一、单项选择题 1．定义在上的偶函数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 2.(2024·四川雅安·模拟)是定义域为的奇函数，且是偶函数.当时，，则(    ) A． B． C．8 D．16 3. (2024·河南名校联盟模拟)f(x)是R上周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．－2 4．若函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．2 5.(2024·黑龙江·二模)上的奇函数满足，则以下说法错误的是(    ) A． B．是周期函数 C． D． 6.(2024·重庆·模拟预测)周期为，且都有，则(    ) A． B． C． D． 7.(23-24高三·四川成都·阶段)的定义域为为偶函数，，则（    ） A．函数为偶函数 B． C． D． 8.已知函数满足，当时，有，则当x∈时，(    ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x＝2对称 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y＝f(x＋4)为偶函数 10．((2024·广东·高三专题练习) f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．f(2 022)＝1 C．当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(4－x) D．函数f(x)在[0,2 021]内有1 010个零点 11.(2024·全国·模拟预测)设是上的奇函数，对都有，当时，，则下列说法正确的是(    ) A．在上是增函数 B．的最大值是，最小值是 C．直线是函数的一条对称轴 D．当时， 三、填空题 12.函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为 ． 13.已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则 . 14．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 一、单项选择题 1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 2.（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 3.（23-24高三上·重庆·阶段练习）定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 4．设函数的定义域为，且满足，，，，都有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5.(2021·新疆巴音郭楞·模拟)设f (x)是R上周期为4的奇函数，若在[－2，0)∪(0，2]上，f (x)＝ 则f (2019)＝ . 6.(2024·山东青岛·一模)，，，则的值为(    ) A．2 B．1 C．0 D．－1 7.已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8.（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 二、多项选择题 9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 10.(2024·辽宁葫芦岛·一模)已知定义域为R的函数，满足，且，，则(    ) A． B．图像关于对称 C． D． 11.(2024·辽宁沈阳·模拟预测)(多选)已知函数，的定义域均为，且满足，，，则(    ) A． B．的图象关于点对称 C． D． 三、填空题 12.定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 13.（2023·海南海口·一模）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则 . 14.（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为 . 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$