2.4函数的周期性与对称性讲义-2025届高三数学一轮复习

2-4 函数的周期性与对称性 讲义 一、函数的周期性 (一)周期性概念 1.周期函数：函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2.最小正周期：如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，就叫做f(x)的最小正周期． 提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期． (二)周期性的常用结论 1.(1)，则. (2)，则. (3)，则； 则； (5)若,则T＝6a(a>0)． 二、函数的对称性 (一)奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x＋a)是偶函数，则f(x)关于直线x＝a对称；若f(x＋a)是奇函数，则f(x)关于点(a，0)对称． (二)轴对称 (1)如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝对称． (2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)f⇔(2a＋x)＝f(－x) (三)函数的点(中心)对称 (1)若y＝f(x)关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(2a－x)+f(x)=2b ⇔ f(2a＋x)+f(－x)=2b 推论：若y＝f(x)关于点(a，0)对称 ⇔ f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔ f(2a－x)＝－f(x) ⇔ f(2a＋x)＝－f(－x) (2)f(x＋a)+f(b－x)=c⇔y＝f(x)关于点对称 (四)两个函数图象的对称 1.若与关于直线对称，则； 特殊地：若与关于y轴对称，则； 2.与关于直线对称； 3.若与关于直线对称，则； 若与关于x轴对称，则； 4.若与关于点对称，则； 特殊地：若与关于原点对称，则； (五)常见的对称图形 1.y＝f(x) y＝－f(x)； 2.y＝f(x) y＝f(－x)； 3.y＝f(x) y＝－f(－x)； 4.y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)． 5.y＝f(x) y＝|f(x)|. 6.y＝f(x) y＝f(|x|)． 三、函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数； 口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。) (1)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． (2)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． (3)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|． 总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立． 3.函数周期性的应用：若T是函数f(x)的一个周期 (1)单调区间：f(x)在区间与f(x)在区间上单调性相同。 (2)f(x)周期为，如果f(x)存在一条对称轴，则f(x)存在无数条对称轴，其通式为； 如果f(x)存在一个对称中心(a,0)，则f(x)存在无数个对称中心，其通式为。 考点一 函数的周期性 命题点1 周期性 【例1-1-1】定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是(　　) A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数 C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数 【例1-1-2】（2024·重庆·三模）已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ） A． B．0 C．1 D． 【例1-1-3】(2023·泸州模拟)R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是(　　) A．2 024 B．2 023 C．1 D．0 思维升华　(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 命题点2 类周期函数 【例1-2-1】已知且方程恰有两解.则实数的取值范围是______. 【例1-2-2】定义在上的函数满足. （i）___________.（ii）若方程有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________. 【例1-2-3】已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________. 1.(2024·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f ＝，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 2.（2023·贵州毕节·统考模拟）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3.(多选)(2023·深圳模拟)非常数函数f(x)定义域为R，f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则(　　) A．f(2)＝0 B．f(x＋4)为偶函数 C．f(x)为周期函数 D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称 4.定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____. ①对，有；②函数的值域为；③存在，使得； 考点二 函数的对称性对称性 命题点1 轴对称 【例2-1-1】(多选)函数的图象关于直线对称，那么（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【例2-1-2】(2024·株洲)f(x)是R上的奇函数，f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f (　) A. B．－ C. D．－ 【例2-1-3】已知f(x)定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 命题点2 中心对称 【例2-2-1】(2024·南京模拟)y＝f(x)满足f(－x)＝f(2＋x)，其图象关于点(2,0)对称，f(2)＝0，则f(18)＝______. 【例2-2-2】(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B．f(2x－1)为奇函数，则f(x)关于点(－1,0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 【例2-2-3】(多选)已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有( ) A.为奇函数， B.关于对称， C.关于点对称， D. 命题点3 两个函数图象的对称 【例2-3-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3,0)对称 【例2-3-2】(2024·陕西西安·模拟)上的函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（    ） A．2 B．14 C．18 D．25 思维升华　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 1.（2023上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若方程有且仅有三个根，且为其一个根，则其它两根为 . 2.（2023·四川泸州·泸县一中校考）定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 3.(2023·郴州检测) f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 4.(2023·承德统考)f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　　) A．－4 B．0 C．4 D．8 5.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则3m＋n等于(　　) A．7 B．2 C．－2 D．－ 6.下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ex－1 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x 考点三 单调性、奇偶性、周期性与对称性综合 【例3-1】(2023·扬州模拟)定义域为R的f(x)在[1，＋∞)上递减，且f(x＋1)为奇函数，则使f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【例3-2】(2024·陕西榆林·一模)R上的函数，满足，，， ，则下列说法中错误的是（   ） A．是函数图象的一条对称轴 B．2是的一个周期 C．函数图象的一个对称中心为 D．若且，，则n的最小值为2 【例3-3】（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数，的定义域均为，且，，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是的对称中心 C．2是的周期 D． 【例3-4】(2024·黑龙江·三模)已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【例3-5】(多选)(2024·河南新乡·三模)上的满足，且，若，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数 D． 思维升华　函数的四个性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； (1)单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)对称性、周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用对称性、奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； (3)对称性、周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用对称性、奇偶性和单调性求解. 1．(2024·福建泉州·模拟预测)已知为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C． D． 2．(2024·河北·二模)已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 3.(2024·江苏泰州·模拟预测)是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．1 4.(2023·四川南充·阆中中学)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 4．(2024·重庆·模拟预测)上的函数，若为偶函数，为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 5.(2024·四川南充·三模)已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 6.（多选）已知是定义在上的偶函数，为奇函数，当则下列说法中正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D．2是的一个周期 7．(多选)(2024·江西南昌·三模)已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（   ） A．的图象也关于直线对称 B．的图象关于中心对称 C． D． 8.(多选)(2024·山东·模拟预测)定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（    ） A． B．函数的一个周期为4 C． D． 9.(多选)(2024·黑龙江·模拟预测)的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 10.(多选)(2024·河南郑州·二模)已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 11.(2024·宁夏石嘴山·模拟预测)已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 . 1.（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 2.(2022·全国·高考真题)已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 3．(多选)(2022·全国·高考真题)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4.(2021·全国·高考真题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5.(2021·全国·高考真题)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-4 函数的周期性与对称性 讲义 一、函数的周期性 (一)周期性概念 1.周期函数：函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2.最小正周期：如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，就叫做f(x)的最小正周期． 提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期． (二)周期性的常用结论 1.(1)，则. (2)，则. (3)，则； 则； (5)若,则T＝6a(a>0)． 二、函数的对称性 (一)奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x＋a)是偶函数，则f(x)关于直线x＝a对称；若f(x＋a)是奇函数，则f(x)关于点(a，0)对称． (二)轴对称 (1)如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝对称． (2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)f⇔(2a＋x)＝f(－x) (三)函数的点(中心)对称 (1)若y＝f(x)关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(2a－x)+f(x)=2b ⇔ f(2a＋x)+f(－x)=2b 推论：若y＝f(x)关于点(a，0)对称 ⇔ f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔ f(2a－x)＝－f(x) ⇔ f(2a＋x)＝－f(－x) (2)f(x＋a)+f(b－x)=c⇔y＝f(x)关于点对称 (四)两个函数图象的对称 1.若与关于直线对称，则； 特殊地：若与关于y轴对称，则； 2.与关于直线对称； 3.若与关于直线对称，则； 若与关于x轴对称，则； 4.若与关于点对称，则； 特殊地：若与关于原点对称，则； (五)常见的对称图形 1.y＝f(x) y＝－f(x)； 2.y＝f(x) y＝f(－x)； 3.y＝f(x) y＝－f(－x)； 4.y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)． 5.y＝f(x) y＝|f(x)|. 6.y＝f(x) y＝f(|x|)． 三、函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数； 口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。) (1)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． (2)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． (3)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|． 总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立． 3.函数周期性的应用：若T是函数f(x)的一个周期 (1)单调区间：f(x)在区间与f(x)在区间上单调性相同。 (2)f(x)周期为，如果f(x)存在一条对称轴，则f(x)存在无数条对称轴，其通式为； 如果f(x)存在一个对称中心(a,0)，则f(x)存在无数个对称中心，其通式为。 考点一 函数的周期性 命题点1 周期性 【例1-1-1】定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是(　　) A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数 C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数 【答案】A【分析】根据对称性可判断周期，结合周期可得奇偶性. 【解】∵为偶函数，∴，又故， 因此可得，所以是以10为周期的周期函数， 结合周期可得。是一个偶函数．故选：A. 【例1-1-2】（2024·重庆·三模）已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B【分析】推得，得到是周期为2，故，即可求解. 【解】由是定义域为的奇函数，则，且， 又由满足，即， 则有，可得，即函数是周期为2的周期函数， 故；故选：B. 【例1-1-3】(2023·泸州模拟)R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是(　　) A．2 024 B．2 023 C．1 D．0 【答案】D【解】f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2， 因为f(x)关于y轴对称，所以为偶函数，故f(1)＝f(－1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0. 思维升华　(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 命题点2 类周期函数 【例1-2-1】已知且方程恰有两解.则实数的取值范围是______. 【答案】【解】构造函数g（x）＝f（x）-a＝；作出函数g（x）的图象, 若f（x）＝x有且仅有两个实数解可转化为g（x）与y＝x-a的图象有两个交点， 结合图象可知，当-a≥2时函数有1个交点；当-a＜2时函数有2个交点，即a＞-2时，函数有两个交点. 故答案为 【例1-2-2】定义在上的函数满足. （i）___________.（ii）若方程有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________. 【答案】； 【分析】（i）根据解析式，利用递推法即可得出； （ii）利用图象的平移变换得到函数的图象，利用数形结合方法求得. 【解】（i） ; （ii）时，所以的图象由在[0,1)之间的抛物线的一部分逐次向右平移1个单位，向下平移2个单位得到，如图所示. 已知;由图可知若方程有且只有两个解， 则实数k的取值范围是，故答案为：； 【例1-2-3】已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________. 【答案】【分析】根据当时，，可得当时，函数为偶函数，再根据当时，，可得当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，作出函数在时的函数图像，分和两种情况讨论，当是，结合图像根据临界点即可得出答案. 【解】 因为当时，，所以当时，函数为偶函数， 又当时，，则当时，， 则当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可， 作出函数在时的函数图像，如图所示， 当时，在区间上恰有三个不同的实数解，符合题意； 当时，当时，在上为增函数，所以， 当函数过点时，，当函数过点时，， 当函数过点时，，当函数过点时，， 结合图像，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则或， 综上所述，实数的取值范围是；故答案为： 1.(2024·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f ＝，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 【答案】C【解】因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)的一个周期为2，故f . 2.（2023·贵州毕节·统考模拟）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据给定的条件，探求函数的性质，再逐项分析判断作答. 【解】函数的定义域为，为偶函数，则，即， 又为奇函数，则，即有，亦即， 因此，即，由，得， 则有，即函数是上的偶函数，又，从而周期为6， 显然，而没有条件能求出，即CD错误； ，没有条件能求出，A错误； 由，得，即，所以，B正确；故选：B 3.(多选)(2023·深圳模拟)非常数函数f(x)定义域为R，f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则(　　) A．f(2)＝0 B．f(x＋4)为偶函数 C．f(x)为周期函数 D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称 【答案】ACD【解】f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)的一个周期是4，故C正确； 又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确； 又f(x)的一个周期为4，且为奇函数，所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确； 因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确． 4.定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____. ①对，有；②函数的值域为；③存在，使得； 【答案】①②【分析】根据定义求值、求的值域、解方程 【解】因为,所以①对; 因为当时，，当时，， 当时，，当时，， 因此当时， ，从而函数的值域为；所以②对; 因为，所以由上可得, 即，无解.所以③错；综上正确结论的序号是①② 考点二 函数的对称性对称性 命题点1 轴对称 【例2-1-1】(多选)函数的图象关于直线对称，那么（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】AC【解】对A，，则的图象关于对称，符合题意； 对B，，则的图象关于对称，不符合题意； 对C，函数的图象关于直线对称，所以的对称轴为轴，符合题意； 对D，函数的图象关于直线对称，所以的对称轴为，不能判断函数为偶函数，不符合题意；故选：AC. 【例2-1-2】(2024·株洲)f(x)是R上的奇函数，f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f (　) A. B．－ C. D．－ 【答案】A【解】由函数f(x＋1)为偶函数，可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2＋x)＝f(－x)， 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)， 可得函数f(x)的周期为4，所以f ＝. 【例2-1-3】已知f(x)定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 【答案】(－1,1)【解】∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)关于直线x＝0对称，∴f(x)关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，∴－x2>－1，即x2<1，∴－1<x<1，∴原不等式的解集为(－1,1)． 命题点2 中心对称 【例2-2-1】(2024·南京模拟)y＝f(x)满足f(－x)＝f(2＋x)，其图象关于点(2,0)对称，f(2)＝0，则f(18)＝______. 【答案】0【解】因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)， 又f(－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)的一个周期为4，所以f(18)＝f(2)＝0. 【例2-2-2】(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B．f(2x－1)为奇函数，则f(x)关于点(－1,0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 【答案】ABC【解】对于A，f(x)＝＝，其图象由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称，A正确； 对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确； 对于D，函数y＝＝的图象关于点(3，c)中心对称， 所以解得b＝3，c＝1，所以b＋c＝4，D不正确． 【例2-2-3】(多选)已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有( ) A.为奇函数， B.关于对称， C.关于点对称， D. 【答案】ABD 【分析】(法一)根据为奇函数，得到关于对称，再由是上的奇函数，得到过，然后由为偶函数，得到关于对称，再结合推出的周期为4即可. (法二)举例判断； 【解】(法一)为奇函数，故关于对称， 又是上的奇函数，过，点，所以过，所以有； 又为偶函数，所以关于对称；所以有， 又，所以，所以周期为4， 所以由，得，所以为奇函数，故选ABD. （法二）举例：符合题意，再验证得到应选ABD. 命题点3 两个函数图象的对称 【例2-3-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3,0)对称 【答案】A【解】设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 【例2-3-2】(2024·陕西西安·模拟)上的函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（    ） A．2 B．14 C．18 D．25 【答案】C【分析】可以分别说明的对称中心为，从而两个函数的图象交点关于对称，即应为6的倍数，由此即可逐一判断. 【解】因为函数满足，所以的对称中心为， 注意到， 所以的对称中心也是，故两个函数的图象交点关于对称， 故应为6的倍数，对比选项可知C选项符合题意；故选：C. 思维升华　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 1.（2023上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若方程有且仅有三个根，且为其一个根，则其它两根为 . 【答案】、【分析】利用函数的对称性可得出方程另外两根. 【解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称， 因为方程有且仅有三个根，且为其一个根，则为该方程的一根， 在等式中，令，可得，因此，方程的另外两根为、. 故答案为：、. 2.（2023·四川泸州·泸县一中校考）定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 【答案】C【分析】是奇函数可判断B；由是偶函数可判断A；继而可得，可判断D；利用赋值法求得，根据对称性可判断C. 【解】是偶函数，故的图象关于直线对称，A结论正确； 是奇函数，故的图象关于点对称，B结论正确； 由以上可知，即，所以， 则，故的一个周期为8，D结论正确； 由于，令，可得， 而的图象关于直线对称，故，C结论错误，故选：C 3.(2023·郴州检测) f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 【答案】D【解】因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)． 4.(2023·承德统考)f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　　) A．－4 B．0 C．4 D．8 【答案】D【解】由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8. 5.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则3m＋n等于(　　) A．7 B．2 C．－2 D．－ 【答案】C【解】因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n， 若f(－1)＝－7，则f(3)＝－f(－1)＝7；故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2. 6.下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ex－1 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x 【答案】C【解】与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x. 考点三 单调性、奇偶性、周期性与对称性综合 【例3-1】(2023·扬州模拟)定义域为R的f(x)在[1，＋∞)上递减，且f(x＋1)为奇函数，则使f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】D【解】因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1,0)对称， 因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在R上单调递减， 所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1，所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 【例3-2】(2024·陕西榆林·一模)R上的函数，满足，，， ，则下列说法中错误的是（   ） A．是函数图象的一条对称轴 B．2是的一个周期 C．函数图象的一个对称中心为 D．若且，，则n的最小值为2 【答案】D【解】由可得，所以关于直线对称， 所以关于对称，即关于对称，所以关于对称，故关于对称， 所以，所以，所以. 又由可得，，所以关于点对称，所以. 对于A项，由已知周期为2，所以的周期为4. 因为关于直线对称，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确； 对于B项，因为，，所以，， 所以，所以，的周期为，故B项正确； 对于C项，关于点对称，所以关于点对称，所以关于点对称， 所以；又关于直线对称，所以，所以， 所以有，所以函数图象的一个对称中心为，故C项正确； 对于D项，由C知，关于点对称，关于点对称，所以，，， 所以；又周期为4，所以对，. 因为，则当时，有. 因为，所以，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意；故n的最小值为3，D错误；故选：D 【例3-3】（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数，的定义域均为，且，，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是的对称中心 C．2是的周期 D． 【答案】BD【分析】利用已知恒等式证明，从而得到B正确；再推知及，从而计算出D的结果；利用反证法即可说明A和C错误. 【解】对于A，由已知有，所以是偶函数. 假设是奇函数，那么必有，故，矛盾. 所以不是奇函数，A错误； 对于B，由已知有，故. 所以，故是的对称中心，B正确； 对于C，；所以. 假设2是的周期，那么，从而. 但，故，矛盾；所以不以2为周期，C错误； 对于D，由于，， 故. 所以，即；再由可得，即. 这就得到 ，故D正确；故选：BD. 【例3-4】(2024·黑龙江·三模)已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A【分析】设，则为奇函数，从而，即可求出的值. 【解】令，定义域为， 在上最大值和最小值为，，所以在上最大值和最小值为，， 因为，所以为奇函数， 所以的最大值和最小值互为相反数，即，所以，故选：A. 【例3-5】(多选)(2024·河南新乡·三模)上的满足，且，若，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数 D． 【答案】BCD【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数及对称轴，再逐项分析计算得解. 【解】由，得，则，即， 因此是周期为4的周期函数，C正确； 令，得，则，因此，A错误； 由，得，则， 因此的图象关于直线对称，B正确； 由，得的图象关于对称，故直线及均为的对称轴， 从而，令，得， 即，则， 故 ，D正确；故答案为：BCD 思维升华　函数的四个性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； (1)单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)对称性、周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用对称性、奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； (3)对称性、周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用对称性、奇偶性和单调性求解. 1．(2024·福建泉州·模拟预测)已知为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】D【分析】根据奇函数性质对函数依次赋值即可求解. 【解】由题为奇函数，则， 所以，所以关于对称， 所以，故选：D. 2．(2024·河北·二模)已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C【分析】由函数的平移变化即可求得出答案. 【解】函数为奇函数，图象关于对称， 将函数向左平移一个单位可得函数，则函数关于对称， 所以函数的图象关于对称；故选：C. 3.(2024·江苏泰州·模拟预测)是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C【分析】由为偶函数，为奇函数，求出周期，再根据函数的周期求解即可. 【解】因为为偶函数，所以，即，所以， 因为为奇函数，所以，所以，即， 所以，所以函数是以为周期的周期函数， 所以，又，所以，即；故选：C. 4.(2023·四川南充·阆中中学)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据为奇函数，为偶函数，可得函数的周期，且为偶函数，根据时，，求的值得此时解析式，即可求得的值. 【解】为奇函数，所以关于对称，所以①，且， 又为偶函数，，则关于对称，所以②， 由①②可得，即，所以， 于是可得，所以的周期， 则，所以为偶函数 则，所以，所以 所以，解得，所以当时， 所以；故选：B. 4．(2024·重庆·模拟预测)上的函数，若为偶函数，为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果. 【解】因为函数为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称， 又函数为奇函数，所以，所以函数的图象关于对称， 所以，所以，即， 所以，则函数的一个周期为4， 令，则，所以，令，，又，所以， ， 所以；故选：A 5.(2024·四川南充·三模)已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B【分析】利用题设得①和②，又由， 结合①式，得周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得. 【解】由函数的图象关于原点对称，，即， 即①，由函数的图象关于y轴对称，可得②， 由可得，又得， 两式相加，，将①式代入，得， 则得，将②式代入得，，则， 于是，即的周期为12. 又，由①可得，得， 又由可得，即得. 因，可得，， 于是，故选：B. 6.（多选）已知是定义在上的偶函数，为奇函数，当则下列说法中正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D．2是的一个周期 【答案】ABC【解】是偶函数，所以，因为是奇函数，所以， 即，故关于点对称，A正确； 因为，令，得， 从而，所以，故，故B正确； 因为，所以，，且， 所以周期，故D错误； 由 ，且，故， 在式子中，令，得，所以，故C正确；故选：ABC. 7．(多选)(2024·江西南昌·三模)已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（   ） A．的图象也关于直线对称 B．的图象关于中心对称 C． D． 【答案】BCD【分析】根据题意，由函数图象的对称性可得，，由此分析可得由此分析选项，即可得答案. 【解】设关于直线对称，所以， ， 所以或， 当时，，的图象关于直线对称， 此时，， ∴， 当时，, ∴，∴，又∵是一个定值，而随的不同而不同， ∴此等式不成立，即不成立, ∴，即，所以的图象关于中心对称，B正确； ∴，，即，C正确. 与关于对称，∴，即，即， ∴，D正确， 又，则，即， ，而， 若A选项成立，则时，，所以 但此时，，；所以由可得， 但这与已知矛盾，所以的图象不可能关于直线对称，A错误；故选：BCD. 8.(多选)(2024·山东·模拟预测)定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（    ） A． B．函数的一个周期为4 C． D． 【答案】BC【分析】根据奇函数得到，用赋值法判断A，令，结合，可得为偶函数，得的周期，即可判断B、C，再由利用并项求和判断D. 【解】因为为定义域为R上奇函数，所以，即， 在，令，可得，故A错误； 令，因为，所以，即，所以为偶函数， 又为奇函数，所以，即， 所以，所以，即，所以， 则，所以，所以是以为周期的周期函数， 所以，则，故B、C正确； 由与得，所以， 所以，，，， ，，， ，，， 所以，故D错误；故选：BC 9.(多选)(2024·黑龙江·模拟预测)的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 【答案】ACD【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【解】根据题意，， 取，得，因为，所以，A正确; 取，得，所以，B错误; 取，得，即，所以为偶函数，C正确; 取，得，所以，即4为周期，D正确. 故选：ACD. 10.(多选)(2024·河南郑州·二模)已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD【分析】令，可判断A；令，可判断B；由图变换可得的图象关于对称，结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得，然后可判断D. 【解】令，得，即，A正确； 令，得，又，所以对任意恒成立， 因为，所以不恒为0，所以，即，B错误； 将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象，因为的图象关于对称，所以的图象关于对称， 所以，又为奇函数，所以， 所以，所以4为的周期. 由可得，C正确； 因为，，， 所以，D正确；故选：ACD 11.(2024·宁夏石嘴山·模拟预测)已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 . 【答案】4048【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【解】由为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以关于对称， 所以，从而得，所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则，因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以；故答案为：4048. 1.（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC【分析】方法一：赋值法，结合奇偶性判断方法可判断ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【解】方法一：因为，对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二：因为，对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值，故D错误；故选：. 2.(2022·全国·高考真题)已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得，从而得到， ，根据条件得到，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【解】因为的图像关于直线对称，所以， 因为，所以，即， 因为，所以，代入得，即， 所以，. 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，，所以的图像关于点中心对称，所以 因为，所以. 所以；故选：D 3．(多选)(2022·全国·高考真题)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若满足题设条件，则（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一可设，则，显然A，D错误，选BC；故选：BC. [方法三]：因为，均为偶函数，所以即， ，所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导，所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误；故选：BC. 4.(2021·全国·高考真题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】由已知得以为周期，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即，故函数是以为周期的周期函数， 因为为奇函数，则，故，其它三个选项未知；故选：B. 5.(2021·全国·高考真题)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【解】[方法一]：因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手．； ；所以． [方法二]：因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手：由两个对称性可知，函数的周期． 所以；故选：D． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$