2.3函数的奇偶性讲义-2025届高三数学一轮复习

2-3 函数的奇偶性 讲义 一、函数的奇偶性 定义 图象特点 偶函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 二、奇偶性的运算 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 三、函数奇偶性常用结论 1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1. (2)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1. 3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 4.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 5.在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性． 6.若y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(x)关于点(a,0)对称； 若y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于直线x=a对称． 7.奇函数的最值：若奇函数f (x)在区间D上有最值，则; 8.若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即，其中：； 四、常见的奇偶函数 1.为偶函数； 2.为奇函数； 3.为奇函数； 4.为奇函数； 5.为奇函数； 6.为偶函数； 7.为奇函数； 考点一 判断函数的奇偶性 【例1-1】(2024·广东·校考)下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【解】对于A，定义域为，且，所以是偶函数； 对于B，定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，定义域为，且，所以是奇函数； 对于D，定义域为，且，所以是偶函数；故选：. 【例1-2】下列四个函数中在定义域内为非奇非偶函数的个数是（　　） (1)；(2)；(3)；(4) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C【分析】根据题意，依次分析4个函数，求出定义域，根据奇函数和偶函数的定义作出判断. 【解】(1)定义域为，且，是偶函数，错误； (2)定义域为R，，且，是非奇非偶函数，正确； (3)定义域为，故为非奇非偶函数，正确； (4)定义域为R，且，且，是非奇非偶函数，正确；故选：C． 【例1-3】下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】判断定义域是否关于原点对称，再验证即可. 【解】对于A，定义域为，与不恒等，故A错误； 对于B，定义域为，与不恒等，故B错误； 对于C，定义域为，与不恒等，故C错误； 对于D，，解得或，定义域关于原点对称，， 是偶函数，故D正确；故选：D. 【例1-4】(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln|1＋x| 【答案】AC【解】对于A，定义域关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故为奇函数； 对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数； 对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数； 对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数． 【例1-5】对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)为____函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 【答案】奇【解】由题意得定义域为R， 令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0. 令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，故f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数． 思维升华 1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断是否恒成立(或等价关系式)是否成立． 即：f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数) 2.判断奇偶性的方法： (1)定义法： (2)图象法： 1.(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是(　　) A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝(x－1) C．f(x)＝ln(－x) D．f(x)＝2x＋ 【答案】B【解】A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数； B项，令≥0，得x≤－1或x>1，定义域(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，为非奇非偶函数； C项，因为x2＋1>x2，所以－x>0恒成立，即f(x)的定义域为R， 又f(－x)＋f(x)＝ln(＋x)＋ln(－x)＝0，故f(x)为奇函数； D项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数；故选B. 2.下列函数中为偶函数的是(　　) A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2－x 【答案】B【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称， A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性； D选项既不是奇函数，也不是偶函数；故选B. 2.(2023·南昌模拟)函数f(x)＝的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y＝x对称 【答案】B【解析】定义域为R，f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝f(x)，为偶函数，关于y轴对称. 9．(多选)(2023·松原模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是(　　) A．f(x)＝x－sin x B．f(x)＝x2cos x C．f(x)＝x＋x3 D．f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2) 【答案】AC【解析】对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数， 又f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确； 对于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误； 对于C，显然y＝x与y＝x3在R上既是奇函数又单调递增， 所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函数又单调递增，故C正确； 对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，所以 f(x)为(－2,2)上的奇函数， f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)＝ln ＝ln，显然f(x)为减函数，故D错误． 10.(多选)(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是(　　) A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝ C．f(x)＝ln(x＋) D．f(x)＝ln(sin x) 【答案】ABC【解析】由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，所以函数为奇函数，故A正确； 由f(x)＝可得，＝－f(x)，x∈R，为奇函数，关于原点对称，故B正确； 由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝＝－f(x)，x∈R，为奇函数，故C正确； 由f(x)＝ln(sin x)知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 9.(多选)给出下列函数，其中是奇函数的为(　　) A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5 C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝ 【答案】BC【解析】对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数， 同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数. 10.(多选)(2024·辽宁大联考)若f(x)，g(x)，h(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是(　　) A.y＝f(h(x))g(x) B.y＝f(g(x))＋h(x) C.y＝f(g(x))h(x) D.y＝f(x)|g(x)|h(x) 【答案】BCD【解析】若f(x)，g(x)，h(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数， 则f(x)＝f(－x)，g(x)＝－g(－x)，h(x)＝h(－x)，对于函数y＝F(x)＝f(h(x))g(x)， 则F(－x)＝f(h(－x))g(－x)＝f(h(x))·(－g(x))＝－f(h(x))·g(x)＝－F(x)，则y＝f(h(x))g(x)为奇函数； 对G(x)＝f(g(x))＋h(x)，则G(－x)＝f(g(－x))＋h(－x)＝f(－g(x))＋h(x)＝f(g(x))＋h(x)＝G(x)，则G(x)为偶函数； 对于H(x)＝f(g(x))h(x)，则H(－x)＝f(g(－x))h(－x)＝f(－g(x))h(x)＝f(g(x))h(x)＝H(x)，则H(x)为偶函数； 对于M(x)＝f(x)|g(x)|h(x)，则M(－x)＝f(－x)|g(－x)|h(－x)＝f(x)|－g(x)|h(x)＝M(x)，则M(x)为偶函数； 考点二 奇偶性的应用 命题点1 由奇偶性求参数或函数值 【例2-1-1】(2024·广西南宁·联考)已知为奇函数，则（    ） A．3 B． C．0 D． 【答案】B【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，可求得a的值，验证后即可确定答案. 【详解】由题意可得，即，且，且， 由于为奇函数，故其定义域关于原点对称，故， 此时，定义域关于原点对称，满足， 即为奇函数，符合题意，故，故选：B 【例2-1-2】(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知为奇函数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求函数在区间上的解析式，对比系数求得. 【详解】当时，，所以， 通过对比系数得.故选：A 【例2-1-3】若函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝ 【答案】－【解】所以g(x)＝f(x)＋ax＝ 因为g(x)为偶函数，所以g(－1)＝g(1)，即－a－1＝1＋a－1＝a，所以2a＝－1，所以a＝－． 【例2-1-4】若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】【分析】由题意先得，结合偶函数的性质得，检验后相加即可求解. 【解】由题意首先，解得，即函数是上的偶函数， 由，解得，此时，经检验符合题意， 所以；故答案为：. 【例2-1-5】(2023·黔东南统考)已知函数f(x)＝2x－2－x＋5，若f(m)＝4，则f(－m)等于(　　) A．4 B．6 C．－4 D．－6 【答案】B【解】由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 设g(x)＝f(x)－5＝，则g(－x)＝＝－g(x)，即g(x)是奇函数， 故g(m)＋g(－m)＝0，即f(m)－5＋f(－m)－5＝0，即f(m)＋f(－m)＝10，因为f(m)＝4，所以f(－m)＝6. 【例2-1-6】已知且，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C【分析】令，利用奇函数的性质求解即可. 【解】令，因为，所以函数为奇函数， 由，得，所以，所以；故选：C. 命题点2 由奇偶性求解析式 【例2-2-1】若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【解】因为数是偶函数，且当时，， 当时，，所以，即，所以当时，. 故答案为： 【例2-2-2】(2023·吕梁统考) f(x)是R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________. 【答案】－ex＋2x＋1【解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0. 当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1， 又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1. 【例2-2-3】已知是上的奇函数，当时，，则的解析式为 . 【答案】【分析】奇函数得，求出时的函数解析式. 【解】因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，， 所以当时，. 综上，故答案为： 命题点3 利用奇偶性与单调性解不等式 【例2-3-1】(2023·深圳模拟)奇函数f(x)满足f(1)＝0，对任意x1，x20，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则不等式xf(x)<0的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－2，－1) D．(－2，－1)∪(0,1) 【答案】B【解】对任意x1，x2x1，x20，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(0，＋∞)上递减； 又f(x)为奇函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上递减，因为f(1)＝0，则有f(－1)＝0， 由xf(x)<0可得，当x>0时，不等式可化为f(x)<0＝f(1)，解得x>1； 当x<0时，不等式可化为f(x)>0＝f(－1)，解得x<－1. 综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【例2-3-2】已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用函数单调性的定义及利用函数的单调性和奇偶性综合解出该抽象函数不等式即可. 【解】因为是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减；易得， 由得;由得，故不等式解集是.故选:D. 【例2-3-3】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(－2)＝－1 C．不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞) D．f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝2 023 【答案】AB【解】对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确； 对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)， 又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增， 因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)> －2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)， 所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得x>－7，所以解集为(－7，＋∞)，故C错误； 对于D，f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2 024)＋f(2 024)＝f(－2 023)＋f(2 023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0， 又f(0)＝0，故f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝0，故D错误． 思维升华　奇偶性的应用： 1.（2024上·陕西西安·高三统考期末）已知是奇函数，则（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】B【分析】根据题意，利用，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，因为是奇函数，所以， 即，整理得，解得， 所以．故选：B. 2.（2024·浙江·校联考一模）若函数是上的偶函数，则 ． 【答案】1【分析】根据函数是上的偶函数，利用特殊值可得答案. 【解】，即，解得，故，， 当时，，，当时，，， 所以函数是上的偶函数，符合题意，则；故答案为：1. 3．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则 . 【答案】【分析】根据为奇函数，故，变形后得到，求出答案. 【解】为奇函数，故，即， 即；故答案为：. 4.(2024·金华模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则m－n等于(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 【答案】D【解析】当x>0时，f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)⇒21＋x－21－x＝m·2－x＋n·2x⇒(2x)2(2－n)＝m＋2， 要想x>0上式恒成立，只需⇒m－n＝－4， 当x<0时，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)⇒21－x－21＋x＝m·2x＋n·2－x⇒(2－x)2(2－n)＝m＋2， 要想x<0上式恒成立，只需⇒m－n＝－4，综上所述，m－n＝－4. 5.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于(　　) A．e B．－e C．e＋1 D．－e－1 【答案】B【解】f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e. 6.(2023·绍兴统考)若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则f(0)＋g(1)等于(　　) A．1 B．2 C. D. 【答案】D【解析】f(x)＋g(x)＝2x，①；则f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)，g(x)分别为R上的奇函数和偶函数， ∴－f(x)＋g(x)＝2－x，②；①②两式相加除以2得g(x)＝，相减除以2得f(x)＝， ∴f(0)＝0，g(1)＝，∴f(0)＋g(1)＝. 7.(2022·遵义联考)已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－.若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)＝(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.1 【答案】A【解析】f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为f(2)＋f(0)＝1，所以f(2)＝4－＝1，解得a＝6， 所以f(x)＝2x－(x＞0)，所以f(－3)＝－f(3)＝－4. 8.(2023·长沙模拟)已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C【解析】f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则f(－1)－g(－1)＝，即－f(1)－g(1)＝， 而f(1)－g(1)＝e，联立解得f(1)＝，g(1)＝－，所以＝. 9.(2023·重庆模拟)f(x)＝2－|x|＋，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是(　　) A. B. C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) 【答案】C【解析】因为f(－x)＝2－|x|＋＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 又因为当x>0时，y＝2－x和y＝单调递减，所以f(x)＝2－|x|＋在(0，＋∞)上单调递减， f(2m)<f(m＋1)，所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2，可得3m2－2m－1>0，解得m∈∪(1，＋∞)． 10.(2023·重庆巴蜀中学质检)已知函数f(x)＝＋cos x·ln(x＋)在区间[－5，5]上的最大值是M，最小值是m，则f(M＋m)的值等于(　　) A.0 B.10 C. D. 【答案】C【解析】令g(x)＝cos x·ln(x＋)，则f(x)＝＋g(x)，∴f(x)和g(x)在[－5，5]上的单调性相同， 设g(x)在[－5，5]上有最大值g(x)max，最小值g(x)min；∵g(－x)＝cos x·ln(－x＋)， ∴g(x)＋g(－x)＝[ln(x＋)＋ln(－x＋)]·cos x＝ln[(x＋)(－x＋)]·cos x＝0， ∴g(x)在[－5，5]上为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＝g(x)max＋，m＝g(x)min＋， ∴M＋m＝，f(M＋m)＝f＝. 11.(2023·济南模拟)设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)＞0的x的取值范围是(　　) A.{x|x＞1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|x＜－1或x＞1} D.{x|1＜x＜0或x＞1} 【答案】C【解析】∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增，又∵f(x)为偶函数， 故可以作出f(x)的大致图象如图所示;由图象可知，若f(x)＞0，则x＜－1或x＞1. 12.(2024·四川·高三校联考），则满足的实数的取值范围是 ． 【答案】【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，，故函数为奇函数， 因为对任意的恒成立，所以，函数在上为减函数， 由可得，所以，，解得， 即实数的取值范围是;故答案为：. 13.(2025·黑龙江齐齐哈尔·高三期末）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 . 【答案】【分析】根据奇偶性、单调性化简不等式，结合函数的定义域求得的取值范围. 【详解】∵，∴；∵，∴. ∴，解得，∴的取值范围是；故答案为：. 1.(2024·天津·高考真题T4)下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解】对A，定义域为，但，故A错误； 对B，定义域为，且，则为偶函数，故B正确； 对C，定义域为，不关于原点对称， 则是非奇非偶函数，故C错误； 对D，定义域为，因为则，则不是偶函数，故D错误；故选：B. 2.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC【分析】赋值法，结合奇偶性可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 【解】对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 3.(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C. D．1 【答案】B【解】方法一　因为f(x)为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝xln ；由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－， 则其定义域为，关于原点对称． f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝(－x)ln＝xln ＝f(x)，f(x)为偶函数，符合题意．故a＝0. 方法二　设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为， 且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数． 若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0. 4.(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 【答案】2【解析】∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且为偶函数， ∴a－2＝0，解得a＝2；经验证，当a＝2时满足题意． 5．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D【解析】f(x)－f(－x)＝－＝＝0， 又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2. 6.（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，由奇偶性结合特殊值法，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D 7.（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】；【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称； 若奇函数的有意义，则且；且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得， 由得，，，故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 ； 函数为奇函数 ； ； ，故；所以. [方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：， 即函数的定义域为，再由可得，． 即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；． 8.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 【答案】B【解析】f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-3 函数的奇偶性 讲义 一、函数的奇偶性 定义 图象特点 偶函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 二、奇偶性的运算 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 三、函数奇偶性常用结论 1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1. (2)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1. 3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 4.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 5.在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性． 6.若y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(x)关于点(a,0)对称； 若y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于直线x=a对称． 7.奇函数的最值：若奇函数f (x)在区间D上有最值，则; 8.若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即，其中：； 四、常见的奇偶函数 1.为偶函数； 2.为奇函数； 3.为奇函数； 4.为奇函数； 5.为奇函数； 6.为偶函数； 7.为奇函数； 考点一 判断函数的奇偶性 【例1-1】(2024·广东·校考)下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】下列四个函数中在定义域内为非奇非偶函数的个数是（　　） (1)；(2)；(3)；(4) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【例1-3】下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【例1-4】(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln|1＋x| 【例1-5】对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)为____函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 思维升华 1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断是否恒成立(或等价关系式)是否成立． 即：f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数) 2.判断奇偶性的方法： (1)定义法： (2)图象法： 1.(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是(　　) A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝(x－1) C．f(x)＝ln(－x) D．f(x)＝2x＋ 2.下列函数中为偶函数的是(　　) A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2－x 2.(2023·南昌模拟)函数f(x)＝的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y＝x对称 9．(多选)(2023·松原模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是(　　) A．f(x)＝x－sin x B．f(x)＝x2cos x C．f(x)＝x＋x3 D．f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2) 10.(多选)(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是(　　) A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝ C．f(x)＝ln(x＋) D．f(x)＝ln(sin x) 9.(多选)给出下列函数，其中是奇函数的为(　　) A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5 C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝ 10.(多选)(2024·辽宁大联考)若f(x)，g(x)，h(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是(　　) A.y＝f(h(x))g(x) B.y＝f(g(x))＋h(x) C.y＝f(g(x))h(x) D.y＝f(x)|g(x)|h(x) 考点二 奇偶性的应用 命题点1 由奇偶性求参数或函数值 【例2-1-1】(2024·广西南宁·联考)已知为奇函数，则（    ） A．3 B． C．0 D． 【例2-1-2】(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知为奇函数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【例2-1-3】若函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝ 【例2-1-4】若函数是上的偶函数，则的值为 . 【例2-1-5】(2023·黔东南统考)已知函数f(x)＝2x－2－x＋5，若f(m)＝4，则f(－m)等于(　　) A．4 B．6 C．－4 D．－6 【例2-1-6】已知且，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 命题点2 由奇偶性求解析式 【例2-2-1】若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【例2-2-2】(2023·吕梁统考) f(x)是R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________. 【例2-2-3】已知是上的奇函数，当时，，则的解析式为 . 命题点3 利用奇偶性与单调性解不等式 【例2-3-1】(2023·深圳模拟)奇函数f(x)满足f(1)＝0，对任意x1，x20，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则不等式xf(x)<0的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－2，－1) D．(－2，－1)∪(0,1) 【例2-3-2】已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例2-3-3】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(－2)＝－1 C．不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞) D．f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝2 023 思维升华　奇偶性的应用： 1.（2024上·陕西西安·高三统考期末）已知是奇函数，则（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 2.（2024·浙江·校联考一模）若函数是上的偶函数，则 ． 3．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则 . 4.(2024·金华模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则m－n等于(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 5.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于(　　) A．e B．－e C．e＋1 D．－e－1 6.(2023·绍兴统考)若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则f(0)＋g(1)等于(　　) A．1 B．2 C. D. 7.(2022·遵义联考)已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－.若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)＝(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.1 8.(2023·长沙模拟)已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则＝(　　) A. B. C. D. 9.(2023·重庆模拟)f(x)＝2－|x|＋，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是(　　) A. B. C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) 10.(2023·重庆巴蜀中学质检)已知函数f(x)＝＋cos x·ln(x＋)在区间[－5，5]上的最大值是M，最小值是m，则f(M＋m)的值等于(　　) A.0 B.10 C. D. 11.(2023·济南模拟)设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)＞0的x的取值范围是(　　) A.{x|x＞1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|x＜－1或x＞1} D.{x|1＜x＜0或x＞1} 12.(2024·四川·高三校联考），则满足的实数的取值范围是 ． 13.(2025·黑龙江齐齐哈尔·高三期末）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 . 1.(2024·天津·高考真题T4)下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 2.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 3.(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C. D．1 4.(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 5．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 6.（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7.（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 8.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$