精品解析：浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

杭十四中二〇二四学年第一学期期末阶段性测试 高二年级数学学科试卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D 2. 空间一点P在xOy平面上的射影为，在xOz平面上的射影为，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据射影的概念，可得答案. 【详解】由题意可得点与点的横、纵坐标相同；点与点的横、竖坐标相同， 则点的坐标为，则点在平面上的射影的坐标为. 故选：C. 3. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ,1 B. ,1 C. , D. , 【答案】B 【解析】 【分析】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【详解】将圆的一般式方程转化为标准方程， 可得， 所以该圆圆心为，半径为1. 故选：B. 4. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得， 解得且， 故m的取值范围是或. 故选：C 5. 我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前n项和为，且，则k的值可能是（ ） A. 35 B. 32 C. 29 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用列举法写出数列中的项，可得数列的周期，进而可得答案. 【详解】斐波那契数列中的项如下表： 由题意可得数列中的项如下表： 所以数列的最小正周期为，一个周期内三项的和为， 由，则，解得. 故选：B. 6. 已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数，再根据给定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答. 【详解】依题意，，求导得， 观察的图像得：，即，的另一个零点为，即， 所以有，. 故选：D 7. 已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线方程，再直线曲线联立，借助韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式计算高，最后计算面积即可. 【详解】由题知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得，则，. ∴. ∵，∴四边形为平行四边形. ∵点的横坐标为3，∴，解得. ∴. 点到直线的距离为， ∴平行四边形的面积为. 故选：A. 8. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，E为线段PB的中点，若面面ABCD，则平面PAD和平面ABCD夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，得到或其补角为平面PAD和平面ABCD夹角，建立空间直角坐标系，设，则，由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，由得到方程，求出，故的补角为平面PAD和平面ABCD夹角，作出辅助线，得到，又，求出，得到答案. 【详解】取的中点，连接， 因为底面为正方形，， 所以⊥，为等边三角形，故⊥， 所以或其补角为平面PAD和平面ABCD夹角， 过点作⊥平面，交平面于点， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，， 设，则， 因为面面，交线为，⊥，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， ， 故，解得， 所以的补角为平面PAD和平面ABCD夹角， 过点作⊥轴于点，则， 又， 其中， 所以的补角的余弦值为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A. 向量的模是 B. 可以构成空间的一个基底 C. 向量和夹角的余弦值为 D. 向量与共线 【答案】BC 【解析】 【分析】 利用空间向量的模长公式可判断A选项的正误；利用空间向量数量积公式得出、、两两垂直，可判断B选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式可判断C选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式计算出与夹角的余弦值，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，， ，A选项错误； 对于B选项，因为空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则、、均为非零向量， ，，， 所以，、、两两垂直，则可以构成空间的一个基底，B选项正确； 对于C选项，，C选项正确； 对于D选项，， ，同理可得， 所以，， ，则，D选项错误. 故选：BC. 10. 各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则必有 B. 若，则必有 C. 若，则必有 D. 若，则必有 【答案】ACD 【解析】 【分析】AC选项，由得到，由等比数列性质得到，A正确，若，矛盾，不合题意，若，满足要求，则，C正确；BD选项，，推出数列单调递减，若，则，若，则，B错误，则必有，所以，D正确. 【详解】A选项，若，则， 的各项均为正数，由等比数列性质得， 则有， 故，A正确； B选项，若，则，而，所以数列单调递减， 若，则，所以，若，则，所以，B错误； C选项，若，由A知，， 若，则，又，显然矛盾，不合题意， 若，则，满足要求，则为中最大项，，C正确； D选项，若，则，而，所以数列单调递减， 则必有，所以，D正确. 故选：ACD 11. 设函数，则下面说法正确的是（ ） A. 当，时，函数在定义域上仅有一个零点 B. 当，时，函数在上单调递增 C. 若函数存在极值点，则或 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】代入得到解析式，结合对数运算可判断A；求导分析单调性可判断B；当时求导分析，当利用换元法二次求导数分析可判断C；由和的函数值在同一区间上同号可得，再结合二次函数取值可判断D. 【详解】的定义域为， 对于A，当时，， 由得，或，得， 所以函数在定义域上仅有一个零点，故A正确； 对于B，当时，函数， 当时，，故函数在上单调递增，故B正确； 对于C，， 设，则， 当时，，所以函数在定义域上单调递增， 即函数在定义域上单调递增，且当时，， 当时，，此时函数存在零点， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故此时函数存在极值点； 当时，令，则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 若函数存在极值点，则需，解得， 综上，当函数存在极值点时，或，故C正确； 对于D，因为在为增函数， 且时，，时，， 当时，， 想要恒成立， 则需时，，时，， 所以，即， 则，当时取“=”，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键在于通过求导分析极值点的条件；D选项由和的函数值在同一区间上同号可得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，其导函数为函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案. 【详解】∵， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，，______. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列性质得到，设出公比，由求出，从而得到，相加得到答案. 【详解】由等比数列性质得，又，所以， 设公比为，由得，， 故， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M.若，且，则C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，设，则，由勾股定理得，由双曲线定义得到方程，求出，故，，在中，由勾股定理得到方程，求出，得到离心率. 【详解】因为，所以， 又，所以， 设，则，由勾股定理得， 由双曲线定义得，故， 故， 由双曲线定义得， 故，解得， 故，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 故离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，点，且直线l经过点P. （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长. 【小问1详解】 的圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，直线为， 此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意， 过的直线斜率存在时，设为，即， 由题意得，解得， 此时直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为； 【小问2详解】 l的倾斜角为，故斜率为， 故直线l的方程为，即， 圆心到直线的距离， 故l被圆C截得的弦长为. 16. 已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，故为等差数列，利用求出，根据，其中，，得到，求出公差，得到通项公式； （2），设的前项和为，分和，两种情况，得到的前项和. 【小问1详解】 ，， 故，即， 的各项均不为零，故， 所以为等差数列，且公差大于0， 中，令得， 又，故， 中，令得， 其中，，故， 即，解得或0（舍去）， 故； 【小问2详解】 ， 故当时，，当时，， 设的前项和为， 当时，， 当时，， 综上，. 17. 过点有n条直线与函数的图像相切. （1）若，求n的值并求切线的方程； （2）当n取最大值时，求m的取值范围. 【答案】（1），切线方程为； （2）n取最大值3时，m的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）在上，为切点时，利用导数几何意义得到切线方程，不是切点时，设出切点为，表达出切线方程，代入切线方程，得到，令，，求导得到其单调性，并得到函数无零点，从而得到，切线方程为； （2）设切点为，表达出切线方程，将代入切线得到，令，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到n取最大值3时，m的取值范围为. 【小问1详解】 时，在上， ， 若为切点，则， 故切线方程为，即， 若不是切点，设切点为， 则， 故切线方程为， 又在切线方程上， 故，整理得， 令，， 则， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 又时，，故恒成立， 故，，无零点， 综上，，切线方程为 【小问2详解】 设切点为，， 在处的切线方程为， 将代入切线方程中得， 整理得，令， 则， 列表如下： 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由得，解得或， 画出的图象，如下： 由图可知，当时，直线与图象有3个交点，为最大值， 故n取最大值3时，m的取值范围为. 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 18. 在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. （1）若时，求证：； （2）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （3）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量数量积为零，可得答案； （2）由（1）的坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量，利用线面位置关系可得参数的等量关系，可得答案； （3）由（1）的坐标系，根据几何性质，明确球心的位置，利用数量积为零可得参数的范围，可得答案. 【小问1详解】 在底面菱形中，连接，记，取的中点为，连接， 在菱形中，，在直四棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 因为，所以，， 可得， 则， 所以，则， 由，则，即， 因为，所以，则. 【小问2详解】 由题意作图如下： 由图可知平面的一个法向量， 由，则的中点的坐标为， 即，由，则（）， 由（1）可知，由，则 则， 由平面，则，解得， 所以，则， 当时，等号成立，所以的最小值为. 【小问3详解】 由题意可作图如下： 由（1）可得，由（），则， 设的中点为，则， 在菱形中，且为中点，则， 在三棱锥中，底面的外接圆圆心为的中点， 易知球心为线段的中垂线与直线的交点，则设 由，则， 易知，可得，解得， 由，，则，即， 所以. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） ①设直线的方程为，， 由，消去并化简得， 则， ，则， 所以 . ② 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得的方程. （2）①设出直线的方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简求得为定值. ②先求得的表达式，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】思路点睛： 利用已知条件求椭圆方程：首先利用短轴长和离心率，通过焦距和半长轴长度，得出椭圆的标准方程，这是确定椭圆方程的基础. 结合根与系数关系证明斜率的定值：设定直线的方程，结合椭圆方程，通过根与系数关系证明斜率的定值，这是确保直线和椭圆之间关系的有效方法. 利用函数单调性求取值范围：通过设定面积的函数表达式，结合椭圆的对称性和函数的单调性，得出面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭十四中二〇二四学年第一学期期末阶段性测试 高二年级数学学科试卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 空间一点P在xOy平面上的射影为，在xOz平面上的射影为，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ,1 B. ,1 C. , D. , 4. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前n项和为，且，则k的值可能是（ ） A. 35 B. 32 C. 29 D. 26 6. 已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，E为线段PB的中点，若面面ABCD，则平面PAD和平面ABCD夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A. 向量的模是 B. 可以构成空间的一个基底 C. 向量和夹角的余弦值为 D. 向量与共线 10. 各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则必有 B. 若，则必有 C. 若，则必有 D. 若，则必有 11. 设函数，则下面说法正确的是（ ） A. 当，时，函数在定义域上仅有一个零点 B. 当，时，函数在上单调递增 C. 若函数存在极值点，则或 D. 若恒成立，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，其导函数为函数，则__________． 13. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，，______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M.若，且，则C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，点，且直线l经过点P. （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 16. 已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 17. 过点有n条直线与函数的图像相切. （1）若，求n的值并求切线的方程； （2）当n取最大值时，求m的取值范围. 18. 在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. （1）若时，求证：； （2）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （3）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $