精品解析：四川省叙永第一中学校2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷

叙永一中2025年春期2024级“开学考试”数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合元素的范围，再结合交集运算得到结果. 【详解】， 又，所以. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】显然由不能推出，此时可以为0，即不满足充分性； 而可以推出，满足必要性. 故选：A 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与（且） C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】 分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A．的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数； B．与的定义域均为，且即为，所以是同一个函数； C．的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数； D．的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤： （1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系； （2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数. 4. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，判断即可. 【详解】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得， 命题“”的否定为：. 故选：B. 5. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B，为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确； 对于D，为偶函数，故D错误. 故选：C. 6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论． 【详解】由已知，，所以，即，∴， 故选：D． 7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，进而化简，然后用基本不等式求得答案. 【详解】因为，所以，当且仅当时取“=”. 故选：B. 8. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得在上为减函数，比较的大小，结合函数的单调性分析可得答案. 【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减， 则在上也是减函数，则在上为减函数， . 所以， 所以. 故选：C 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分. 9. 下面说法正确的有（ ） A. 化成弧度是 B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为 C. D. 若角为第四象限角，则， 【答案】AD 【解析】 【分析】化度为弧度判断A；求出角的集合表示判断B；求出正弦值判断C；确定正余弦值的符号判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，终边在直线上的角的取值集合可表示为，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，角为第四象限角，则，，D正确. 故选：AD 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 11. 函数满足：.已知当时，，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 方程恰有3个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数周期、偶函数的定义，结合赋值法，数形结合思想逐一判断即可. 【详解】A：在中，令中， 有，所以本选项不正确； B：由， 所以由， 所以是周期为的周期函数，因此本选项正确； C：时，，而， 显然当时，函数为偶函数， 又因为函数周期为，所以函数是实数集上的偶函数，因此本选项正确； D：因为函数的周期为，且为偶函数， 所以函数图象如下图所示： 由数形结合思想可知：函数的图象与一次函数的图象有三个交点， 因此方程恰有3个解，所以本选项正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性和周期性，运用转化思想和数形结合思想判断方程解的个数问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过原点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【详解】因为幂函数的图象过原点，则，解得. 故答案为：. 13. 若，且，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 由于，故， 故答案为：6 14. 若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案. 【详解】因为在上均为增函数， 则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则，可得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， ， ． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据交集运算求解； （2）根据子集关系列式运算得解. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 因为成立，． 由得，解得. 所以实数的取值范围为. 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【小问1详解】 由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 17. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限的角，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据诱导公式化角,约分化简即可； （2）由诱导公式得，根据同角三角函数平方关系及角范围得,代入数值得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以，又是第三象限的角， 所以，故. 18. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； （2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 【答案】（1）选择模型②， （2），441（万元） 【解析】 【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式； （2）首先写出的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值. 【小问1详解】 由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数所以选择模型②， 由，可得，解得， 由，解得， 所以与时间的变化的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知： 所以. 当时，由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上，当时，函数取得最小值441（万元）. 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． （1）已知函数，且，求的值； （2）证明函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由知，，根据易求的值； （2）根据题意，要证函数图象的对称中心为 ，只需证，其中是奇函数； （3）通过待定系数法求出函数的对称中心，得到，进而利用倒序相加法求得解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，∴，∴； ∵函数为奇函数，∴函数图象关于点对称， ∴，∴，∴； 【小问2详解】 ∵， 令，则 ∵，定义域关于原点对称，， ∴为奇函数. ∴函数图象的对称中心为 【小问3详解】 假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，∴， ∴，∴∴，， ∴函数有对称中心，∴， 令，， 相加得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叙永一中2025年春期2024级“开学考试”数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 下列各组函数中，表示同一个函数是（ ） A. 与 B. 与（且） C. 与 D. 与 4. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ） A B. C. D. 6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分. 9. 下面说法正确的有（ ） A. 化成弧度是 B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为 C. D. 若角为第四象限角，则， 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数满足：.已知当时，，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 方程恰有3个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过原点，则_________． 13 若，且，则______． 14. 若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， ， ． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 17. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限的角，且，求的值. 18. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）请你根据上表中数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； （2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． （1）已知函数，且，求的值； （2）证明函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $