2025年中考数学二轮专题：函数与平面直角坐标系综合提升测试卷

函数与平面直角坐标系 综合提升测试卷 一、单选题 1．点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某登山队测得气温（单位：）与海拔高度（单位：）的对应关系如下表： 海拔 … … 气温 … … 若在某处测得的气温为，则该处的海拔高度为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，如果将线段绕点顺时针旋转至，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（   ）． A．在一定范围内，越大，越小 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 10．在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为、、，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若、、三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（    ）． A．或 B． C．或 D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ， ． 12．已知点，，将线段平移至的位置，若，则的值为 ． 13．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），该植物最高长到 ． 14．如图，线段的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，、的坐标分别是，，将线段绕点顺时针旋转后得到．则点关于原点的对称点的坐标是 ．    15．生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，（为实数），过点作，．    (1)若点，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)若点一定不落在第四象限，请直接写出的取值范围． 17．若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． (1)下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． (2)若点为的“系矩点”，则_____，_____． (3)若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，点为y轴正半轴上一点，点B的坐标为，点B到y轴的距离是到x轴距离的3倍．    (1)求出点A，点B的坐标； (2)若点C为y轴负半轴上一点，且三角形的面积为9，求点C的坐标： (3)在（2）的条件下，若点是y轴右侧的点，且三角形的面积为12，，求点P的坐标及的值． 19．在平面直角坐标系中，已知，，，， 其中a，b，c满足关系式． (1)当时，的面积等于______； (2)若线段，相交于点E，求线段的长； (3)将线段先向下平移1个单位长度，再向右平移m（）个单位长度得到线段．若线段与线段有公共点，请直接写出m的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接． (1)如图①，当轴时，的长为 ； (2)如图②，轴，轴，且满足，求四边形的面积S： (3)在（2）的条件下，连接，且，当时，求a的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点与点互为“进取点”．特别地，当时，点与点也互为“进取点”．已知点，点． (1)如图1，下列各点：，，，，其中所有与点互为“进取点”的是________； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足，的所有整点中（如图2）： ①已知点为第一象限中的整点，且与点，点均互为“进取点”，求所有符合题意的点的坐标； ②在所有的整点中取个点，若这个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出的最大值． 22．如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y． (1)填写下表，画出y关于x的函数图像； x …                     0 1 2 … y … … (2)x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）； (3)观察图像， ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若，则对应的x的值是______． 若，则对应的x的取值范围是______． (4)关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围． 当_____________时，方程有两个解； 当________________时，方程有一个解； 当____________________时，方程没有解 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边、在坐标轴上，为线段上一点，且，连接、． (1)点D的坐标为 ； (2)若点从点出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点重合时运动停止设点的运动时间为秒，连接，将的面积记为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D B B D B C C 1．A 【分析】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为，轴上点的横坐标为列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可解答． 【详解】解：点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点的坐标特征，结合图象判断出a、b的范围是解题的关键．结合坐标系可得，，进而得出和的正负性，即可解答． 【详解】解：根据坐标系可得，，， ，， 点所在的象限是第四象限． 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查函数的表示方法和求一次函数解析式，设登山队测得气温为，海拔高度为，先根据图表表示出与的函数关系式，再代入即可，写出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设登山队测得气温为，海拔高度为， 根据表格可得与的关系式为一次函数，则设， ∴，解得：， ∴关系式为， 当时，，解得：， 故选：． 4．D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，第二象限内的点的坐标特点，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到，再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可． 【详解】解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴，， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系，熟练掌握以上知识点，学会利用等腰三角形的腰相等进行分类讨论是解题的关键．根据题意，点Q在轴上，是等腰三角形，分3种情况讨论，利用勾股定理表示出和的长，再列方程求出所有满足条件的点Q坐标即可解答． 【详解】解：是等腰三角形，点Q在轴上， 分3种情况讨论： ①若，则； ②若， ， ， 则或， ③若，设，则，， ， 解得：， 则； 综上所述，满足条件的点Q有，，和，共4个． 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 根据点可得；如图：过点C作轴于点D，然后证明得到，进而得到，最后根据点C的位置确定坐标即可． 【详解】解：∵点， ∴， 如图：过点C作轴于点D， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是． 故选B． 7．D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 8．B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，解题关键是借助平面直角坐标系画辅助线构造一线三垂直模型从而利用全等性质求解．过点C作轴于点D，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， 点， 是等腰直角三角形，且， ， 中，， 又∵， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， 当时，则， ∴． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越大，越小，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为， 由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值， ，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了坐标的距离，一元一次不等式的应用，正确理解“矩面积”的定义是解题关键．由题意可知，、、三点坐标的“水平底”，再分三种情况讨论，分别求出“铅垂高”，再根据“矩面积”列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知，、、三点坐标的“水平底”， 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”，不符合题意； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：， 即、、三点矩面积不小于21时，t的取值范围为或， 故选：C． 11． 2 2 【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：2；2． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键． 12． 【分析】本题考查坐标与图形的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．先判断平移方式，再利用平移的规律求出a，b即可解决问题． 【详解】解：由题意得：平移方式为：向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度； ∴，， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查函数图象的实际应用．从函数图象获取信息，求出植物的生长速度，求出第50天的高度，即可． 【详解】解：由图象可知，植物30天由6cm长到12cm，第50天后停止生长， ∴增长速度为每天cm， ∴生产50天后，该植物的高度为：； 即：该植物最高长到； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，关于原点对称的点的坐标．画出线段绕点顺时针旋转后得到的位置，由图可得到点的坐标，再求出点关于原点的对称点的坐标即可． 【详解】解：线段绕点顺时针旋转后得到的位置如下图：    有图可知， 点关于原点的对称点的坐标是， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了在平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规律，观察图象，找出图中每个点的运动轨迹与数组的变化规律，推出的坐标，即可解决问题； 【详解】解：观察发现：先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到；先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到； 先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到； 先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到； 先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到； 根据1，1，2，3，5，8，13，…的变化规律可知， 先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到； 故答案为 16．(1)2 (2)， (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，点坐标等知识．熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定与性质，点坐标是解题的关键． （1）过点A作轴，过点B作轴，证明，进而即可求解； （2）如图1，作作轴，于，于，证明，则，可得，由题意知，为的中点，进而可得； （3）当点在轴右侧，使在轴上时，如图2，同理（2），则，可求；如图3，当时，在轴上；由（2）可知，当时，在轴，由题意知，当时，点一定不落在第四象限；当时，点一定不落在第四象限． 【详解】（1）解：过点A作轴，过点B作轴，如图： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图1，作作轴，于，于，    ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由题意知，为的中点， ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当点在轴右侧，使在轴上时，如图2，    同理（2）， ∴， ∴； 如图3，当时，在轴上；    由（2）可知，当时，在轴， 由题意知，当时，点一定不落在第四象限； 当时，点一定不落在第四象限； 综上所述，点一定不落在第四象限时，或． 17．(1)②③④ (2)或；； (3)． 【分析】本题考查了坐标与图形，去绝对值，解一元一次方程，理解系矩点”的含义是解题的关键． （1）根据“系矩点”的定义，即可求解． （2）由题意可得，可得，再求解，即可得出的值． （3）由题意可得的最大值和最小值为：，，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， 根据题意可得的“系矩点”都有：，，，， 故答案为②③④． （2）解：∵点为的“系矩点”， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或，． （3）解：∵点的纵坐标分别为，点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”， ∴，， ∴的取值范围为：． 18．(1) (2) (3)当点P的坐标为时，的值为43；当点P的坐标为时，的值为13 【分析】（1）由点A为轴正半轴上得，再由点B到轴的距离是到轴距离的3倍列出方程解之即可； （2）过点B作轴交y轴于点D，设点C的坐标为得，再根据三角形面积列出关于c的方程解之可得C点坐标； （3）由（2）知点C的坐标为，先根据三角形的面积为12求得点P的坐标为或，再分类求出的值． 【详解】（1）解：∵点为轴正半轴上一点， ∴， ∵点B的坐标为，点B到轴的距离是到轴距离的3倍， ∴， 解得， ∴， ，． （2）过点B作轴交y轴于点D，    设点C的坐标为， ，且点C为y轴负半轴上一点， ， ∵三角形的面积为9， ∴， ， 解得 ， ∴点C的坐标为． （3）由（2）知点C的坐标为， ， ∵点是轴右侧的点， ∴， ∵三角形PAC的面积为12， ， ， 解得 ， ， ， ∴点P的坐标为或， 当点P的坐标为时， ， 当点P的坐标为时， ， 综上所述，当点P的坐标为时，的值为43；当点P的坐标为时，的值为13． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，平面直角坐标系中图形面积，解题关键是掌握用点的坐标来表示图形的面积． 19．(1)9 (2) (3) 【分析】本题考查作图一平移变换，非负数的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用非负数的性质求出A，B，C的坐标，进而求解即可； （2）过点D作于点H，连接，利用等面积法求出，进而求解即可； （3）求出两种特殊位置m的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， 当时，，， ∴的面积等于； （2）由题意可知：，， ∴，， ∴， 过点D作于点H，连接． ∵，， ∴C，D的水平距离为，垂直距离为6，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）平移线段， 记C向下平移1个单位长度后的点为，再向右平移m个单位落在上时，记为． ， ， ∴， 解得． ∵线段与线段有公共点， ∴． 平移线段， 记B向下平移1个单位长度后的点为，再向右平移m个单位落在上时，记为． ， 得． ∵线段与线段有公共点， ∴． 综上：． 20．(1)3 (2)9 (3)或 【分析】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质、不等式的解法；熟练掌握坐标图形性质，分类讨论是解题的关键． （1）由，即可得出的长； （2）由题意可得，由面积公式即可得出结果； （3）分两种情况：当时及当时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， 故答案为：3； （2）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴，轴， , ， ， 四边形的面积; （3）②分两种情况： 第一种，当时，如图所示： 的面积的面积四边形的面积 ， ， ， ， ， ， ， 第二种，当时，如图所示： 的面积四边形的面积的面积 ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 综上所述，当时，或． 21．(1)C、D、F； (2)①，，，，，，，，，； ②31． 【分析】（1）根据，，判定点，，互为“进取点”；根据，判定点，互为“进取点”；根据，，判定点，不互为“进取点”；根据，，判定点，互为“进取点”； （2）①当，时，有，，， 当，时，有，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，第一象限内得到7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，加上x轴上3个点，的最大值为31． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴点A与点C互为“进取点”； ∵，， ∴， ∴点A与点D互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点E不互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点F互为“进取点”； 故答案为：C、D、F； （2）解：①∵为第一象限中的整点，点，点， ∴当，时， ，， ∴，，，均与点、点互为“进取点”， 当，时， ，， ∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”， ∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②∵，， ∴，，，， ∵当时，有，则点和点互为“进取点”， ∴，，，， 当，时，取值0,1,2,3，取值1,2,3,4，、取值0,1,2,3,4， ∵任意两个整点都互为“进取点”， ∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一） ∴第一象限内共7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，x轴上共3个点，如图， ∴n的最大值为．    【点睛】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则． 22．(1)见详解 (2)不是 (3)①见详解；②或1；或 (4)当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当时，方程没有解 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据两点间距离公式可得，代入相应的的值，求得的值填表即可；找出具体的点画出函数图象即可； （2）根据函数的定义进行判断其不是函数关系； （3）①观察函数图象可得结论；②观察函数图象可得结论； （4）由题可知，作出的图象，观察得知两函数图象交点的横坐标即可； 【详解】（1）解：表示与点之间的距离，所以，， 填表可得： x …                     0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 3 4 … 函数图象如下： （2）解：不是； 例如：当时，可以取或，不满足函数的定义，给定一个的值，都应该有唯一的的值与之对应； （3）解：①写出该函数的两条不同类型的性质；根据图象可得： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 关于经过且垂直于轴的直线对称； ②根据图象可得：若，则对应的x的值是或1． 若，则对应的x的取值范围是或． （4）解：如图， ∵关于的方程(为常数，， 令，则图象过点， 当过点时，， ∴，此时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； ∴当时，方程有两个解； 当或或时，方程有一个解； 当时，方程没有解． 23．(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）根据正方形的边长为6，得到，结合，得到，结合点在y轴的正半轴，计算坐标即可． （2）根据题意，得，分点M在上运动和在上运动，两种情况解答即可． （3）根据题意，分，，三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的正半轴， ∴． （2）解：根据题意，得， 当点M在上运动时， ；        当点M在上运动时， ； 故． （3）解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 当时，点M一定在上，此时点M记作， 此时， 根据勾股定理，得， ∴， 故； 当时，点M一定在上，此时点M记作， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时；      当时，点M可能在上，也可能在上，当点M在上记作，当点M在上记作， 过点D作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 此时； 根据题意，得， 此时；    综上所述，符合题意的M的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形与坐标，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的分类计算，勾股定理的应用，直角三角形的性质，化为最简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数与平面直角坐标系 综合提升测试卷 一、单选题 1．点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为，轴上点的横坐标为列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可解答． 【详解】解：点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点的坐标特征，结合图象判断出a、b的范围是解题的关键．结合坐标系可得，，进而得出和的正负性，即可解答． 【详解】解：根据坐标系可得，，， ，， 点所在的象限是第四象限． 故选：D． 3．某登山队测得气温（单位：）与海拔高度（单位：）的对应关系如下表： 海拔 … … 气温 … … 若在某处测得的气温为，则该处的海拔高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的表示方法和求一次函数解析式，设登山队测得气温为，海拔高度为，先根据图表表示出与的函数关系式，再代入即可，写出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设登山队测得气温为，海拔高度为， 根据表格可得与的关系式为一次函数，则设， ∴，解得：， ∴关系式为， 当时，，解得：， 故选：． 4．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，第二象限内的点的坐标特点，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到，再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可． 【详解】解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴，， 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系，熟练掌握以上知识点，学会利用等腰三角形的腰相等进行分类讨论是解题的关键．根据题意，点Q在轴上，是等腰三角形，分3种情况讨论，利用勾股定理表示出和的长，再列方程求出所有满足条件的点Q坐标即可解答． 【详解】解：是等腰三角形，点Q在轴上， 分3种情况讨论： ①若，则； ②若， ， ， 则或， ③若，设，则，， ， 解得：， 则； 综上所述，满足条件的点Q有，，和，共4个． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，如果将线段绕点顺时针旋转至，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 根据点可得；如图：过点C作轴于点D，然后证明得到，进而得到，最后根据点C的位置确定坐标即可． 【详解】解：∵点， ∴， 如图：过点C作轴于点D， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是． 故选B． 7．某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，解题关键是借助平面直角坐标系画辅助线构造一线三垂直模型从而利用全等性质求解．过点C作轴于点D，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， 点， 是等腰直角三角形，且， ， 中，， 又∵， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， 当时，则， ∴． 故选：B． 9．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（   ）． A．在一定范围内，越大，越小 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】C 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越大，越小，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为， 由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值， ，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 10．在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为、、，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若、、三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（    ）． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标的距离，一元一次不等式的应用，正确理解“矩面积”的定义是解题关键．由题意可知，、、三点坐标的“水平底”，再分三种情况讨论，分别求出“铅垂高”，再根据“矩面积”列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知，、、三点坐标的“水平底”， 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”，不符合题意； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：， 即、、三点矩面积不小于21时，t的取值范围为或， 故选：C． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：2；2． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键． 12．已知点，，将线段平移至的位置，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．先判断平移方式，再利用平移的规律求出a，b即可解决问题． 【详解】解：由题意得：平移方式为：向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度； ∴，， ∴， 故答案为：． 13．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），该植物最高长到 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的实际应用．从函数图象获取信息，求出植物的生长速度，求出第50天的高度，即可． 【详解】解：由图象可知，植物30天由6cm长到12cm，第50天后停止生长， ∴增长速度为每天cm， ∴生产50天后，该植物的高度为：； 即：该植物最高长到； 故答案为：． 14．如图，线段的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，、的坐标分别是，，将线段绕点顺时针旋转后得到．则点关于原点的对称点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，关于原点对称的点的坐标．画出线段绕点顺时针旋转后得到的位置，由图可得到点的坐标，再求出点关于原点的对称点的坐标即可． 【详解】解：线段绕点顺时针旋转后得到的位置如下图：    有图可知， 点关于原点的对称点的坐标是， 故答案为：． 15．生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了在平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规律，观察图象，找出图中每个点的运动轨迹与数组的变化规律，推出的坐标，即可解决问题； 【详解】解：观察发现：先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到；先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到； 先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到； 先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到； 先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到； 根据1，1，2，3，5，8，13，…的变化规律可知， 先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到； 故答案为 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，（为实数），过点作，．    (1)若点，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)若点一定不落在第四象限，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)2 (2)， (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，点坐标等知识．熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定与性质，点坐标是解题的关键． （1）过点A作轴，过点B作轴，证明，进而即可求解； （2）如图1，作作轴，于，于，证明，则，可得，由题意知，为的中点，进而可得； （3）当点在轴右侧，使在轴上时，如图2，同理（2），则，可求；如图3，当时，在轴上；由（2）可知，当时，在轴，由题意知，当时，点一定不落在第四象限；当时，点一定不落在第四象限． 【详解】（1）解：过点A作轴，过点B作轴，如图： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图1，作作轴，于，于，    ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由题意知，为的中点， ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当点在轴右侧，使在轴上时，如图2，    同理（2）， ∴， ∴； 如图3，当时，在轴上；    由（2）可知，当时，在轴， 由题意知，当时，点一定不落在第四象限； 当时，点一定不落在第四象限； 综上所述，点一定不落在第四象限时，或． 17．若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． (1)下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． (2)若点为的“系矩点”，则_____，_____． (3)若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 【答案】(1)②③④ (2)或；； (3)． 【分析】本题考查了坐标与图形，去绝对值，解一元一次方程，理解系矩点”的含义是解题的关键． （1）根据“系矩点”的定义，即可求解． （2）由题意可得，可得，再求解，即可得出的值． （3）由题意可得的最大值和最小值为：，，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， 根据题意可得的“系矩点”都有：，，，， 故答案为②③④． （2）解：∵点为的“系矩点”， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或，． （3）解：∵点的纵坐标分别为，点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”， ∴，， ∴的取值范围为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，点为y轴正半轴上一点，点B的坐标为，点B到y轴的距离是到x轴距离的3倍．    (1)求出点A，点B的坐标； (2)若点C为y轴负半轴上一点，且三角形的面积为9，求点C的坐标： (3)在（2）的条件下，若点是y轴右侧的点，且三角形的面积为12，，求点P的坐标及的值． 【答案】(1) (2) (3)当点P的坐标为时，的值为43；当点P的坐标为时，的值为13 【分析】（1）由点A为轴正半轴上得，再由点B到轴的距离是到轴距离的3倍列出方程解之即可； （2）过点B作轴交y轴于点D，设点C的坐标为得，再根据三角形面积列出关于c的方程解之可得C点坐标； （3）由（2）知点C的坐标为，先根据三角形的面积为12求得点P的坐标为或，再分类求出的值． 【详解】（1）解：∵点为轴正半轴上一点， ∴， ∵点B的坐标为，点B到轴的距离是到轴距离的3倍， ∴， 解得， ∴， ，． （2）过点B作轴交y轴于点D，    设点C的坐标为， ，且点C为y轴负半轴上一点， ， ∵三角形的面积为9， ∴， ， 解得 ， ∴点C的坐标为． （3）由（2）知点C的坐标为， ， ∵点是轴右侧的点， ∴， ∵三角形PAC的面积为12， ， ， 解得 ， ， ， ∴点P的坐标为或， 当点P的坐标为时， ， 当点P的坐标为时， ， 综上所述，当点P的坐标为时，的值为43；当点P的坐标为时，的值为13． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，平面直角坐标系中图形面积，解题关键是掌握用点的坐标来表示图形的面积． 19．在平面直角坐标系中，已知，，，， 其中a，b，c满足关系式． (1)当时，的面积等于______； (2)若线段，相交于点E，求线段的长； (3)将线段先向下平移1个单位长度，再向右平移m（）个单位长度得到线段．若线段与线段有公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】本题考查作图一平移变换，非负数的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用非负数的性质求出A，B，C的坐标，进而求解即可； （2）过点D作于点H，连接，利用等面积法求出，进而求解即可； （3）求出两种特殊位置m的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， 当时，，， ∴的面积等于； （2）由题意可知：，， ∴，， ∴， 过点D作于点H，连接． ∵，， ∴C，D的水平距离为，垂直距离为6，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）平移线段， 记C向下平移1个单位长度后的点为，再向右平移m个单位落在上时，记为． ， ， ∴， 解得． ∵线段与线段有公共点， ∴． 平移线段， 记B向下平移1个单位长度后的点为，再向右平移m个单位落在上时，记为． ， 得． ∵线段与线段有公共点， ∴． 综上：． 20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接． (1)如图①，当轴时，的长为 ； (2)如图②，轴，轴，且满足，求四边形的面积S： (3)在（2）的条件下，连接，且，当时，求a的取值范围． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【分析】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质、不等式的解法；熟练掌握坐标图形性质，分类讨论是解题的关键． （1）由，即可得出的长； （2）由题意可得，由面积公式即可得出结果； （3）分两种情况：当时及当时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， 故答案为：3； （2）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴，轴， , ， ， 四边形的面积; （3）②分两种情况： 第一种，当时，如图所示： 的面积的面积四边形的面积 ， ， ， ， ， ， ， 第二种，当时，如图所示： 的面积四边形的面积的面积 ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 综上所述，当时，或． 21．在平面直角坐标系中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点与点互为“进取点”．特别地，当时，点与点也互为“进取点”．已知点，点．    (1)如图1，下列各点：，，，，其中所有与点互为“进取点”的是________； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足，的所有整点中（如图2）： ①已知点为第一象限中的整点，且与点，点均互为“进取点”，求所有符合题意的点的坐标； ②在所有的整点中取个点，若这个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出的最大值． 【答案】(1)C、D、F； (2)①，，，，，，，，，； ②31． 【分析】（1）根据，，判定点，，互为“进取点”；根据，判定点，互为“进取点”；根据，，判定点，不互为“进取点”；根据，，判定点，互为“进取点”； （2）①当，时，有，，， 当，时，有，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，第一象限内得到7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，加上x轴上3个点，的最大值为31． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴点A与点C互为“进取点”； ∵，， ∴， ∴点A与点D互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点E不互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点F互为“进取点”； 故答案为：C、D、F； （2）解：①∵为第一象限中的整点，点，点， ∴当，时， ，， ∴，，，均与点、点互为“进取点”， 当，时， ，， ∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”， ∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②∵，， ∴，，，， ∵当时，有，则点和点互为“进取点”， ∴，，，， 当，时，取值0,1,2,3，取值1,2,3,4，、取值0,1,2,3,4， ∵任意两个整点都互为“进取点”， ∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一） ∴第一象限内共7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，x轴上共3个点，如图， ∴n的最大值为．    【点睛】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则． 22．如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y． (1)填写下表，画出y关于x的函数图像； x …                     0 1 2 … y … … (2)x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）； (3)观察图像， ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若，则对应的x的值是______． 若，则对应的x的取值范围是______． (4)关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围． 当_____________时，方程有两个解； 当________________时，方程有一个解； 当____________________时，方程没有解 【答案】(1)见详解 (2)不是 (3)①见详解；②或1；或 (4)当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当时，方程没有解 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据两点间距离公式可得，代入相应的的值，求得的值填表即可；找出具体的点画出函数图象即可； （2）根据函数的定义进行判断其不是函数关系； （3）①观察函数图象可得结论；②观察函数图象可得结论； （4）由题可知，作出的图象，观察得知两函数图象交点的横坐标即可； 【详解】（1）解：表示与点之间的距离，所以，， 填表可得： x …                     0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 3 4 … 函数图象如下： （2）解：不是； 例如：当时，可以取或，不满足函数的定义，给定一个的值，都应该有唯一的的值与之对应； （3）解：①写出该函数的两条不同类型的性质；根据图象可得： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 关于经过且垂直于轴的直线对称； ②根据图象可得：若，则对应的x的值是或1． 若，则对应的x的取值范围是或． （4）解：如图， ∵关于的方程(为常数，， 令，则图象过点， 当过点时，， ∴，此时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； ∴当时，方程有两个解； 当或或时，方程有一个解； 当时，方程没有解． 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边、在坐标轴上，为线段上一点，且，连接、． (1)点D的坐标为 ； (2)若点从点出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点重合时运动停止设点的运动时间为秒，连接，将的面积记为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）根据正方形的边长为6，得到，结合，得到，结合点在y轴的正半轴，计算坐标即可． （2）根据题意，得，分点M在上运动和在上运动，两种情况解答即可． （3）根据题意，分，，三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的正半轴， ∴． （2）解：根据题意，得， 当点M在上运动时， ；        当点M在上运动时， ； 故． （3）解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 当时，点M一定在上，此时点M记作， 此时， 根据勾股定理，得， ∴， 故； 当时，点M一定在上，此时点M记作， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时；      当时，点M可能在上，也可能在上，当点M在上记作，当点M在上记作， 过点D作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 此时； 根据题意，得， 此时；    综上所述，符合题意的M的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形与坐标，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的分类计算，勾股定理的应用，直角三角形的性质，化为最简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$