2025年中考数学二轮专题：不等式与不等式组综合提升测试卷

不等式与不等式组 综合提升测试卷 一、单选题 1．若，为非零常数，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解判断． 【详解】解：∵，为非零常数， A. ，正确，不符合题意；     B. ，正确，不符合题意；     C. ；正确，不符合题意； D. 不一定成立，∴不一定成立，故此选项符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质法则正确推理计算是解题关键． 2．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 3．若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的解法等知识，熟练掌握方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．先解方程组，求得，的值，再代入，即可求解． 【详解】解：解关于，的方程组， 可得：， 把它代入得：， 解得：， 故选：B． 4．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先根据题意得共有瓶牛奶，进而正确列出不等式即可． 【详解】解：设共有x位老人，根据如每人分3瓶，那么余8瓶可得共有瓶牛奶， ∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶， ∴， 故选：A 5．已知点关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与中心对称，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式的解集，先根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，确定对应点的坐标，再根据第四象限内点的符号特征，列出不等式组，求解后，再数轴上表示出解集即可． 【详解】解：由题意，点的对应点为：， ∵对称点在第四象限， ∴，解得：； 在数轴上表示解集如图： 故选C． 6．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系． 首先表示9件商品的平均价格为 元，而以每件元的价格把商品全部卖掉，结果赔了钱，所以有，继而得出a和b的关系． 【详解】解：∵9件商品的平均价格为 元， ∵商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了， ∴ ， 解得：， 故选：A． 7．定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 8．已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知可得，进而根据，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得： 故选：B． 9．若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有解且最多有6个整数解，则满足条件的所有整数的值之和是（    ） A．4 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，先解分式方程结合解的情况得出或或，再解不等式组结合解的情况得出，从而得出的值，即可得解． 【详解】解：由分式方程，去分母得， 当即时，， ∵该分式方程的解为正整数，且， ∴或或， 解不等式组得：， ∵该不等式有解且最多有6个整数解， ∴， ∴的值为， ∴满足条件的所有整数的值之和是， 故选：C． 10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，m为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①根据新定义直接判断，②可用举反例法判断，③根据题意所述利用不等式的性质判断，④利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而列出不等式得出的取值范围即可判断，⑤根据新定义得出是的倍数，进而得出的值． 【详解】解：①，故结论正确； ②错误，比如时，，而，故结论②错误； ③为非负整数，则，不影响“四舍五入”，所以当时，故结论③正确； ④∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤又∵且为非负实数，即：， 解得：， 若满足，则为整数，必然是的倍数，则，为整数， 则，可得， 即：当，1，2，3时，亦即当，，，时，满足的所有非负实数x的值有4个，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤，共3个； 故选：C． 【点睛】本题考查了四舍五入，解一元一次不等式，以及学生理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解． 二、填空题 11．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用这种药品的剂量范围是 ． 用法服量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□□ 贮藏：□□□□□ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设一次服用的剂量为，根据题意可得，，解不等式组即可求解，由实际问题中的不等关系列出不等式，通过解不等式组可以得到实际问题的答案． 【详解】解：设一次服用的剂量为， 根据题意，得：，， 解得，， 则一次服用这种药品的剂量范围是， 故答案为：． 12．对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意得，，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 13．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，根据题意，得， 解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是15， 故答案为：15． 14．若关于x的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程，先解关于x的不等式组，根据该不等式组的解的情况得到关于a的不等式组，求出解集，再根据关于y的分式方程的解为整数，得出为偶数且，由此列出所有满足条件的整数a，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组有解且最多有3个奇数解， ， 解得； 解分式方程，得， 该分式方程的解为整数， 为偶数， 为偶数， ， ， ， 满足条件的整数a为：或或或2或4， 所有满足条件的整数a的和为：， 故答案为：． 15．某甜品店推出“甜蜜”，“清新”，“奇异”三种礼盒，每种礼盒均装有芝士蛋糕，慕斯蛋糕，水果布丁三种甜品．其中，“甜蜜”礼盒装有4个芝士蛋糕，4个慕斯蛋糕，5个水果布丁，“清新”礼盒装有5个芝士蛋糕，5个慕斯蛋糕，2个水果布丁，“奇异“礼盒装有若干个芝士蛋糕，4个慕斯蛋糕，3个水果布丁，且每种礼盒的售价等于其所装甜品的售价之和．每个“甜蜜”礼盒售价为65元，每个“清新”礼盒售价不低于60元，不高于70元，每个“奇异”礼盒售价为70元．已知每种甜品的售价均为整数，且每个芝士蛋糕的售价高于1元，低于5元，则每个“奇异”礼盒中芝士蛋糕的总价为 元． 【答案】27 【分析】本题考查三元一次方程组和一元一次不等式的应用，设每个芝士蛋糕，每个慕斯蛋糕，每个水果布丁的价格分别为：元，元，元，“奇异“礼盒装有个芝士蛋糕，根据题意，列出方程组和不等式组，进行求解即可． 【详解】解：设每个芝士蛋糕，每个慕斯蛋糕，每个水果布丁的价格分别为：元，元，元，“奇异“礼盒装有个芝士蛋糕，由题意，得： ， 由，得：， ∵， ∴，解得：， ∵均为整数， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，，，解得：，不合题意，舍去； 当时，，，解得：； 当时，，，解得：，不合题意，舍去； ∴， 元； 故答案为：27． 三、解答题 16．对m、n定义一种新运算“”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值． ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围． (2)若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，理解题意，正确得出方程组和不等式组是解此题的关键． （1）①根据已知新运算得出方程组，解方程组即可得出答案；②根据新运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求解即可； （2）根据新运算得出等式，整理即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得， 解得； ②由题意得， 化简得 则整数解为1，2，故， 解得； （2）解：由得， 化简得， ∵m、n为任意数， ∴不一定等于， ∴， 故a、b应满足的关系为． 17．【阅读】 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：，． 材料二：已知x，y均为非负数，且满足，求的取值范围．有如下解法： 解：，． ，y均为非负数，，即，． ，，． (1)若，，求a，b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的性质等知识．理解题意，熟练掌握二元一次方程组的应用，不等式的性质是解题的关键． （1）由题意得，，计算求解即可； （2）由，可得，由，即，可求，则，然后利用不等式的性质求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，． （2）解：， ． ，y均为非负数， ，即， ． ， ， ， ． 18．阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： (1)解关于x的不等式． (2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． (3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)或 【分析】（1）分两种情况讨论解不等式即可； （2）仿照阅读材料解答即可； （3）解每个不等式，然后仿照阅读材料讨论，由于不等式组非负整数解的和为3，则不合题意，于是得到三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，． （2）解：∵， ∴， ∵关于x不等式的所有解都满足不等式， ∴且， ∴； ∴； （3）解： 由①得，， 由②得，， ∵不等式组非负整数解的和为3， ∴不合题意，， ∵非负整数解的和为3， ∴①非负整数解为0,1,2， ∴， 解得，∴无解； ②非负整数解为1,2， ∴， 解得， ∴； ③非负整数解为3， ∴ ∴， 解得， 综上或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式（组），仿照阅读材料的解题思路求解是解题的关键． 19．某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题． 信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为； 3．脂肪所占的百分比为； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的倍 (1)求这份快餐中所含脂肪质量； (2)若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 【答案】(1)这份快餐中所含脂肪质量为； (2)这份快餐所含蛋白质的质量为； (3)所含碳水化合物质量的最大值为． 【分析】（）快餐中所含脂肪质量快餐总质量脂肪所占百分比； （）设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可； （）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，列出不等式求解即可； 此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：这份快餐中所含脂肪质量为； （2）解：设这份快餐所含矿物质的质量为，根据题意，得， 解得：， ∴， 答：这份快餐所含蛋白质的质量为； （3）解：设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为， ∴， 解得：， ∴， 答：所含碳水化合物质量的最大值为． 20．为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人； (2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件： ①研发人员的年人均投入不超过； ②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由． 【答案】(1)即调整后的技术人员最多有人； (2)． 【分析】（1）根据题意，求得这名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可； （2）由①可得，由②，根据题意，求解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，（） 解得：， 又∵， ∴ 即调整后的技术人员最多有人； （2）解：由①可得，由② 即，解得 又∵为正整数且， ∴当时，最大，为； 当时，最小，为， 综上，存在，满足题意． 【点睛】此题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式． 21．一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售（整箱配货），预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 (1)如果按照“甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱”的方案配货，请你计算出经销商能盈利多少元？ (2)如果按照“甲、乙两店盈利相同配货”的方案配货，请写出一种配货方案：A种水果甲店______箱，乙店______箱；B种水果甲店______箱，乙店______箱，并根据你填写的方案计算出经销商能盈利多少元？ (3)在甲、乙两店各配货10箱，甲店配的A种水果与乙店配的B种水果箱数相同，且保证乙店盈利不小于115元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少元？ 【答案】(1)250元 (2)第一种情况：2，8，6，4；第二钟情况：5，5，4，6；第三种情况：8，2，2，8．第一种情况248元；第二种情况246元；第三种情况244元 (3)甲店配A种水果7箱，B种水果3箱，乙店配A种水果3箱，B种水果7箱，最大盈利为246元 【分析】（1）根据箱数乘以每箱的利润的和计算即可； （2）设A种水果甲店x箱，乙店箱，B种水果甲店y箱，乙店箱．依题意得：，解得．根据，，且x、y是整数，得到x、y的值，即可得到对应的箱数，根据公式计算利润即可； （3）设甲店配A种水果x箱，则甲店配B种水果箱；乙店配A种水果箱，乙店配B种水果x箱．列得．根据且x为整数，得到，8，9，10．再根据利润公式计算进行比较即可． 【详解】（1）解：按照方案（1）中的配货，经销商盈利： （元）． （2）解：设A种水果甲店x箱，乙店箱，B种水果甲店y箱，乙店箱．则甲店利润为元，乙店利润为元． 依题意得：，解得：． ∵，，且x、y是整数， ∴当时，；当时，时；当时，． 方案1：A种水果甲店2箱，乙店8箱；B种水果甲店6箱，乙店4箱． 方案2：A种水果甲店5箱，乙店5箱；B种水果甲店4箱，乙店6箱． 方案3：A种水果甲店8箱，乙店2箱；B种水果甲店2箱，乙店8箱 （只要求填写一种情况）： 第一种情况：2，8，6，4； 第二钟情况：5，5，4，6； 第三种情况：8，2，2，8． 按第一种情况计算： （元）； 按第二种情况计算：（元）； 按第三种情况计算：（元）． （3）解：设甲店配A种水果x箱，则甲店配B种水果箱；乙店配A种水果箱，乙店配B种水果x箱． 依题意得：，解得：． 又∵且x为整数，所以，8，9，10． 当时，经销商盈利（元） 当时，经销商盈利（元） 当时，经销商盈利（元） 当时，经销商盈利（元） 故当时盈利最大．此时的配货方案为：甲店配A种水果7箱，B种水果3箱，乙店配A种水果3箱，B种水果7箱，最大盈利为246元． 【点睛】此题考查了有理数混合运算的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 22．清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检 (1)根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ (2)根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.1倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ (3)迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 【答案】(1)当天开放的安检通道有25条． (2)游客11：00才能随到随检． (3)至少需要增加10条安检通道． 【分析】（1）设当天开放的安检通道有条，再建立方程，解方程即可； （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，再根据提示的三个时间段分别建立方程，可得方程组，从而可得答案； （3）设至少需要增加条安检通道，再根据检测人数不小于原来人数加上增加的人数列不等式即可． 【详解】（1）解：∵（分钟），1分钟通过的人数为（人）， 设当天开放的安检通道有条， ∴， 解得：， 答：当天开放的安检通道有25条． （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，则 ， 解得：， ∴当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客11：00才能随到随检． （3）设至少需要增加条安检通道，则， ，而， 解得：， ∴m的最小整数值为10． ∴至少需要增加10条安检通道． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，三元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练的设未知数，确定相等或不等关系是解本题的关键． 23．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张） 大长方形硬纸板（张） A型号（张数） 0 B型号（张数） 0 _________ _________ （2）最多能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____． 【答案】探究一：（1）见详解；（2）最多能做6个礼品盒；探究二：最多能做20个礼品盒；探究三：11或24 【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板， 当时， （1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 （2）根据题意可得， 即， 解得：， ∴个， 故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒， 则， 解得：， ∵a为正整数， ∴a最大为20， 即最多能做20个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板， 则， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ∵n，b为正整数， ∴或符合要求， 故n的值为：11或24． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 不等式与不等式组 综合提升测试卷 一、单选题 1．若，为非零常数，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B．C． D． 2．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 5．已知点关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 6．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（   ） A． B． C． D． 7．定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有解且最多有6个整数解，则满足条件的所有整数的值之和是（    ） A．4 B．0 C． D． 10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，m为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用这种药品的剂量范围是 ． 用法服量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□□ 贮藏：□□□□□ 12．对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ． 13．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ． 14．若关于x的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 15．某甜品店推出“甜蜜”，“清新”，“奇异”三种礼盒，每种礼盒均装有芝士蛋糕，慕斯蛋糕，水果布丁三种甜品．其中，“甜蜜”礼盒装有4个芝士蛋糕，4个慕斯蛋糕，5个水果布丁，“清新”礼盒装有5个芝士蛋糕，5个慕斯蛋糕，2个水果布丁，“奇异“礼盒装有若干个芝士蛋糕，4个慕斯蛋糕，3个水果布丁，且每种礼盒的售价等于其所装甜品的售价之和．每个“甜蜜”礼盒售价为65元，每个“清新”礼盒售价不低于60元，不高于70元，每个“奇异”礼盒售价为70元．已知每种甜品的售价均为整数，且每个芝士蛋糕的售价高于1元，低于5元，则每个“奇异”礼盒中芝士蛋糕的总价为 元． 三、解答题 16．对m、n定义一种新运算“”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值． ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围． (2)若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系． 17．【阅读】 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：，． 材料二：已知x，y均为非负数，且满足，求的取值范围．有如下解法： 解：，． ，y均为非负数，，即，． ，，． (1)若，，求a，b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围． 18．阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： (1)解关于x的不等式． (2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． (3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 19．某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题． 信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为； 3．脂肪所占的百分比为； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的倍 (1)求这份快餐中所含脂肪质量； (2)若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 20．为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人； (2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件： ①研发人员的年人均投入不超过； ②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由． 21．一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售（整箱配货），预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 (1)如果按照“甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱”的方案配货，请你计算出经销商能盈利多少元？ (2)如果按照“甲、乙两店盈利相同配货”的方案配货，请写出一种配货方案：A种水果甲店______箱，乙店______箱；B种水果甲店______箱，乙店______箱，并根据你填写的方案计算出经销商能盈利多少元？ (3)在甲、乙两店各配货10箱，甲店配的A种水果与乙店配的B种水果箱数相同，且保证乙店盈利不小于115元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少元？ 22．清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检 (1)根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ (2)根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.1倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ (3)迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 23．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张） 大长方形硬纸板（张） A型号（张数） 0 B型号（张数） 0 _________ _________ （2）最多能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A C A B B C C 1．D 【分析】根据不等式的性质求解判断． 【详解】解：∵，为非零常数， A. ，正确，不符合题意；     B. ，正确，不符合题意；     C. ；正确，不符合题意； D. 不一定成立，∴不一定成立，故此选项符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质法则正确推理计算是解题关键． 2．A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 3．B 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的解法等知识，熟练掌握方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．先解方程组，求得，的值，再代入，即可求解． 【详解】解：解关于，的方程组， 可得：， 把它代入得：， 解得：， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先根据题意得共有瓶牛奶，进而正确列出不等式即可． 【详解】解：设共有x位老人，根据如每人分3瓶，那么余8瓶可得共有瓶牛奶， ∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶， ∴， 故选：A 5．C 【分析】本题考查坐标与中心对称，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式的解集，先根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，确定对应点的坐标，再根据第四象限内点的符号特征，列出不等式组，求解后，再数轴上表示出解集即可． 【详解】解：由题意，点的对应点为：， ∵对称点在第四象限， ∴，解得：； 在数轴上表示解集如图： 故选C． 6．A 【分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系． 首先表示9件商品的平均价格为 元，而以每件元的价格把商品全部卖掉，结果赔了钱，所以有，继而得出a和b的关系． 【详解】解：∵9件商品的平均价格为 元， ∵商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了， ∴ ， 解得：， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知可得，进而根据，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得： 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，先解分式方程结合解的情况得出或或，再解不等式组结合解的情况得出，从而得出的值，即可得解． 【详解】解：由分式方程，去分母得， 当即时，， ∵该分式方程的解为正整数，且， ∴或或， 解不等式组得：， ∵该不等式有解且最多有6个整数解， ∴， ∴的值为， ∴满足条件的所有整数的值之和是， 故选：C． 10．C 【分析】对于①根据新定义直接判断，②可用举反例法判断，③根据题意所述利用不等式的性质判断，④利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而列出不等式得出的取值范围即可判断，⑤根据新定义得出是的倍数，进而得出的值． 【详解】解：①，故结论正确； ②错误，比如时，，而，故结论②错误； ③为非负整数，则，不影响“四舍五入”，所以当时，故结论③正确； ④∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤又∵且为非负实数，即：， 解得：， 若满足，则为整数，必然是的倍数，则，为整数， 则，可得， 即：当，1，2，3时，亦即当，，，时，满足的所有非负实数x的值有4个，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤，共3个； 故选：C． 【点睛】本题考查了四舍五入，解一元一次不等式，以及学生理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解． 11． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设一次服用的剂量为，根据题意可得，，解不等式组即可求解，由实际问题中的不等关系列出不等式，通过解不等式组可以得到实际问题的答案． 【详解】解：设一次服用的剂量为， 根据题意，得：，， 解得，， 则一次服用这种药品的剂量范围是， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意得，，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 13．15 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，根据题意，得， 解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是15， 故答案为：15． 14． 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程，先解关于x的不等式组，根据该不等式组的解的情况得到关于a的不等式组，求出解集，再根据关于y的分式方程的解为整数，得出为偶数且，由此列出所有满足条件的整数a，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组有解且最多有3个奇数解， ， 解得； 解分式方程，得， 该分式方程的解为整数， 为偶数， 为偶数， ， ， ， 满足条件的整数a为：或或或2或4， 所有满足条件的整数a的和为：， 故答案为：． 15．27 【分析】本题考查三元一次方程组和一元一次不等式的应用，设每个芝士蛋糕，每个慕斯蛋糕，每个水果布丁的价格分别为：元，元，元，“奇异“礼盒装有个芝士蛋糕，根据题意，列出方程组和不等式组，进行求解即可． 【详解】解：设每个芝士蛋糕，每个慕斯蛋糕，每个水果布丁的价格分别为：元，元，元，“奇异“礼盒装有个芝士蛋糕，由题意，得： ， 由，得：， ∵， ∴，解得：， ∵均为整数， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，，，解得：，不合题意，舍去； 当时，，，解得：； 当时，，，解得：，不合题意，舍去； ∴， 元； 故答案为：27． 16．(1)①，② (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，理解题意，正确得出方程组和不等式组是解此题的关键． （1）①根据已知新运算得出方程组，解方程组即可得出答案；②根据新运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求解即可； （2）根据新运算得出等式，整理即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得， 解得； ②由题意得， 化简得 则整数解为1，2，故， 解得； （2）解：由得， 化简得， ∵m、n为任意数， ∴不一定等于， ∴， 故a、b应满足的关系为． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的性质等知识．理解题意，熟练掌握二元一次方程组的应用，不等式的性质是解题的关键． （1）由题意得，，计算求解即可； （2）由，可得，由，即，可求，则，然后利用不等式的性质求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，． （2）解：， ． ，y均为非负数， ，即， ． ， ， ， ． 18．(1)当时，；当时， (2) (3)或 【分析】（1）分两种情况讨论解不等式即可； （2）仿照阅读材料解答即可； （3）解每个不等式，然后仿照阅读材料讨论，由于不等式组非负整数解的和为3，则不合题意，于是得到三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，． （2）解：∵， ∴， ∵关于x不等式的所有解都满足不等式， ∴且， ∴； ∴； （3）解： 由①得，， 由②得，， ∵不等式组非负整数解的和为3， ∴不合题意，， ∵非负整数解的和为3， ∴①非负整数解为0,1,2， ∴， 解得，∴无解； ②非负整数解为1,2， ∴， 解得， ∴； ③非负整数解为3， ∴ ∴， 解得， 综上或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式（组），仿照阅读材料的解题思路求解是解题的关键． 19．(1)这份快餐中所含脂肪质量为； (2)这份快餐所含蛋白质的质量为； (3)所含碳水化合物质量的最大值为． 【分析】（）快餐中所含脂肪质量快餐总质量脂肪所占百分比； （）设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可； （）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，列出不等式求解即可； 此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：这份快餐中所含脂肪质量为； （2）解：设这份快餐所含矿物质的质量为，根据题意，得， 解得：， ∴， 答：这份快餐所含蛋白质的质量为； （3）解：设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为， ∴， 解得：， ∴， 答：所含碳水化合物质量的最大值为． 20．(1)即调整后的技术人员最多有人； (2)． 【分析】（1）根据题意，求得这名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可； （2）由①可得，由②，根据题意，求解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，（） 解得：， 又∵， ∴ 即调整后的技术人员最多有人； （2）解：由①可得，由② 即，解得 又∵为正整数且， ∴当时，最大，为； 当时，最小，为， 综上，存在，满足题意． 【点睛】此题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式． 21．(1)250元 (2)第一种情况：2，8，6，4；第二钟情况：5，5，4，6；第三种情况：8，2，2，8．第一种情况248元；第二种情况246元；第三种情况244元 (3)甲店配A种水果7箱，B种水果3箱，乙店配A种水果3箱，B种水果7箱，最大盈利为246元 【分析】（1）根据箱数乘以每箱的利润的和计算即可； （2）设A种水果甲店x箱，乙店箱，B种水果甲店y箱，乙店箱．依题意得：，解得．根据，，且x、y是整数，得到x、y的值，即可得到对应的箱数，根据公式计算利润即可； （3）设甲店配A种水果x箱，则甲店配B种水果箱；乙店配A种水果箱，乙店配B种水果x箱．列得．根据且x为整数，得到，8，9，10．再根据利润公式计算进行比较即可． 【详解】（1）解：按照方案（1）中的配货，经销商盈利： （元）． （2）解：设A种水果甲店x箱，乙店箱，B种水果甲店y箱，乙店箱．则甲店利润为元，乙店利润为元． 依题意得：，解得：． ∵，，且x、y是整数， ∴当时，；当时，时；当时，． 方案1：A种水果甲店2箱，乙店8箱；B种水果甲店6箱，乙店4箱． 方案2：A种水果甲店5箱，乙店5箱；B种水果甲店4箱，乙店6箱． 方案3：A种水果甲店8箱，乙店2箱；B种水果甲店2箱，乙店8箱 （只要求填写一种情况）： 第一种情况：2，8，6，4； 第二钟情况：5，5，4，6； 第三种情况：8，2，2，8． 按第一种情况计算： （元）； 按第二种情况计算：（元）； 按第三种情况计算：（元）． （3）解：设甲店配A种水果x箱，则甲店配B种水果箱；乙店配A种水果箱，乙店配B种水果x箱． 依题意得：，解得：． 又∵且x为整数，所以，8，9，10． 当时，经销商盈利（元） 当时，经销商盈利（元） 当时，经销商盈利（元） 当时，经销商盈利（元） 故当时盈利最大．此时的配货方案为：甲店配A种水果7箱，B种水果3箱，乙店配A种水果3箱，B种水果7箱，最大盈利为246元． 【点睛】此题考查了有理数混合运算的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 22．(1)当天开放的安检通道有25条． (2)游客11：00才能随到随检． (3)至少需要增加10条安检通道． 【分析】（1）设当天开放的安检通道有条，再建立方程，解方程即可； （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，再根据提示的三个时间段分别建立方程，可得方程组，从而可得答案； （3）设至少需要增加条安检通道，再根据检测人数不小于原来人数加上增加的人数列不等式即可． 【详解】（1）解：∵（分钟），1分钟通过的人数为（人）， 设当天开放的安检通道有条， ∴， 解得：， 答：当天开放的安检通道有25条． （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，则 ， 解得：， ∴当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客11：00才能随到随检． （3）设至少需要增加条安检通道，则， ，而， 解得：， ∴m的最小整数值为10． ∴至少需要增加10条安检通道． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，三元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练的设未知数，确定相等或不等关系是解本题的关键． 23．探究一：（1）见详解；（2）最多能做6个礼品盒；探究二：最多能做20个礼品盒；探究三：11或24 【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板， 当时， （1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 （2）根据题意可得， 即， 解得：， ∴个， 故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒， 则， 解得：， ∵a为正整数， ∴a最大为20， 即最多能做20个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板， 则， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ∵n，b为正整数， ∴或符合要求， 故n的值为：11或24． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$