高二数学月考卷（范围：数列，北师大版2019）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A A B B 二、选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 BD BCD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2 13.(1,2 a。=4n+2 14号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【详解】(1)当n=1时，3S,=3a1=4a1-4,得a=4.- -2分 当n≥2时，3an=3S.-3S.-1=4a。-4a-1,所以a。=4am-i 4分 所以{a}是以4为首项，4为公比的等比数列， 5分 故an=4,- -6分 a。3a。 -8分 4(11 所以工，=34gP…+1 -10分 40 4-411- 4 =3n-341- 1 -12分 441 =3-994 -13分 16.(15分) 1/5 学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)因为a1+4a4.-4,=0,4 1 -1分 若a0.=0,则a,=0=0,与4=2矛后， -2分 所以a+a。≠0，所以an-a1=4a,a1 3分 所以 =4,因为4=)，所以=2， 1 -4分 2 所以数列 是以首项为2，公差为4的等差数列， 5分 (2)由（1)知=2+n-4=4n-2, ----6分 数列 的前n项和为S,=2+4n-2”=2n -8分 a. 2 (3)因为-1)Sn=2(-1)”n2, 设数列《-”S}的前n项和为工， -9分 当n为偶数时，工.=2-+2-32+-(n-+m2]。 -10分 因为n2-(n-1)2=2n-1, -11分 所以T=23+7+…+2n-]=2.3+20-山号n+1=㎡+，--12分 2 当n为奇数时，n-1为偶数 T,=T+2(-1°n2=(n-1n-2m2=-n2-n, -14分 n2+n,n为偶数 所以T= --15分 -n2-n,n为奇数 17.(15分) 【详解】(1)设等比数列(a.}的公比为q,显然q≠1， -1分 由a+4,+a+a,=0,得41-g1=0,解得g=-1. -3分 1-9 由a+a+a,+a:=3,得4a,=3,-… -5分 所以4一或4= 6分 2/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)由a,+a2+…+ag=0,得9a+ 9×8 d=0, -7分 2 所以a+4d=0,即a5=0,- -8分 当d=0时，a,=a2=…=ag=0,此时a+4+…+a,=0(舍去)：-------9分 当d>0时，则a+a2+a3+a4=- 且a,=0, 3 -10分 4a+6d2解得4=.3 即 -12分 a+4d=0, 20 当d<0时，则a+a+a+a,且=0，博 4a,+6d=2'解得g= 3 a+4d=0, 20-14分 3或3 综上所述，公差d的值为2 -15分 20 18.(17分) 【详解】(1)设{a,}的公差为d, 令n=1,得 aa4:故aa,=4即a,a+d)=4, -1分 令n=2,得 4a44分故a4=28,即a+d(4+2d=28, 1+12 -3分 由于d>0,则解得a,=1,d=3,- -5分 故a。=3n-2,- -6分 (2)(i)当k=1,a=1,故b=1,- -7分 k=1时，1=a<2<3<a41=4, -9分 所以b2=2=2,b=2=2, -10分 (i)由题意可知：a,<a+1<a+2<a+1, 当n=a时，b=k,则b。.=n,.b-2=n, -11分 当n=a4+1,b1=2，则b.1=2”,.bm-1=2", -12分 当n=a4+2,b2=2,则b2=2”，bn=2, -13分 所以Sn=b+b+b+…+b. =(b+b,+…+bs-2+b2+b+…+bm-)+(b+b6+…+bn =1+2+…+n+(2+22++2）+(2+22+…+2）- -14分 3/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -n+1,21-2"）.」 -×2 -15分 1-2 _n+l+2-4. -16分 2 因此5.5-6=7g2-42=408 --17分 19.(17分) 【详解】(1)因为S,=2°=1，所以1不是该数列的类比数”， -1分 因为S2=1+1=2°+1,54=1+1+2+1=5=22+1，S,=33=2+1,-------3分 所以该数列的前3个“类比数”为2,4,13. 4分 (2)由题意可得数列如下： 第1组：1： 第2组：1,2： 第3组：1,2,4： 第k组：12,4，…，2-. -6分 所以该数列的前1+2+…+k+项的和为 2 S4=1+1+2)++1+2++2）=21-k-2,（*) 8分 2 当kk+l≤50时，k59,则5=56+1+2+22+2+2=2-1+31=2+20,9分 2 由于2"+1<210+20<21+1，p∈N,S0≠2”+1，故50不是“类比数”， -10分 (3)①在()式中，要使k+>10,有之45，keN, -11分 2 易知m出现在第44组之后，又第k组的和为2-1，前k组的和为54=2-k-2, 2 第k+1组前t项1,2,4，…，2-的和为2-1，teN.- -12分 因为S。=2°+1=21-k-2+2-1, 所以 2=2,teN. 1=2-k-3, -13分 所以k=2-4≥44，则126，当1=6时，k=2-4=60,所以对应满足条件的最小“类比数" 4/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 m=60x61+6=1836. -15分 ②证明：由①知1=2-k-3,t∈N. --16分 当1>2，且取任意整数时，可得“类比数”m=k长+ +1,所以该数列的“类比数”有无数个，--17分 2 5/5 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二下学期第一次月考卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第二册第一章数列。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等比数列中，，则数列的公比是（    ） A． B．3 C． D． 2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 3．已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 4．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 5．数列中，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 7．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（   ） A．4050 B．4049 C．4048 D．4047 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A． B．5 C．6 D．7 10．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 11．已知数列满足，，则（    ） A． B．是等差数列 C．一定是等比数列 D．数列的前99项和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正项等比数列的前n项和为，若，则 ． 13．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 14．已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（15分） 已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 17．（15分） 已知项数为的数列满足：且． (1)若为等比数列，求的值； (2)若是等差数列，求公差的值． 18．（17分） 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 19．（17分） 已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推．记数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“类比数”． (1)将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前3个“类比数”； (2)试判断50是否为“类比数”，并说明理由； (3)①求满足的最小的“类比数”； ②证明：该数列的“类比数”有无数个． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第二册第一章数列。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等比数列中，，则数列的公比是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为数列是等比数列，， 设公比为，所以，解得， 故选：C 2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 【答案】C 【详解】由数列前10项的规律可知： 当为偶数时，；当为奇数时， ， 所以， 故选：C 3．已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 【答案】D 【详解】由可知，当时，， 因为，所以， 故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误. 将的通项公式可得，故B错误. 由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误. 由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确. 故选：D. 4．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意：，，，，… 依次类推：. 所以. 故选：C 5．数列中，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】由，令，则， 故是以3为首项，3为公比的等比数列，， ， 故， 故选：A. 6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】等差数列中，，解得， 等比数列中，，， 所以. 故选：A 7．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（   ） A．4050 B．4049 C．4048 D．4047 【答案】B 【详解】， 故为公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ， 故， 故，当时，，故， 所以数列的前2024项之和为. 故选：B 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】, 可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列， 因为， 所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】BD 【详解】∵是等比数列，∴， ∴， 又，， ∴分别为或或或， 或. 故选：BD． 10．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，则， 整理得，则， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误， 则数列是递增数列，故B正确， 且，，故CD正确. 故选：BCD. 11．已知数列满足，，则（    ） A． B．是等差数列 C．一定是等比数列 D．数列的前99项和为 【答案】BC 【详解】对A选项：令可得：，故A错误； 对B选项：递推公式两边同除以，可得，即， 又，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确； 对C选项：由B可知：，所以， 所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 对D选项：因为， 所以数列的前99项和为： ，故D错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正项等比数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】/0.125 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得， 因此，，所以. 故答案为： 13．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为是奇函数，则， 整理得，所以的对称中心为； 由， 则， 因为，所以， 所以，即， 故答案为：； 14．已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设的公比为，因为，则，故，. 则， 当且仅当，即时等号成立，此时，但. 结合对勾函数的性质，当时，； 当时，， 因为，故的最小值为，此时. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）当时，，得.------------------------------------------2分 当时，，所以.------------------------------------4分 所以是以4为首项，4为公比的等比数列，-------------------------------------------------5分 故.-------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）由已知得，-------------------------------------------------------8分 所以-----------------------------------------------------------------10分 -------------------------------------------------------------------------------------------------12分 .------------------------------------------------------------------------------------------------------13分 16．已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 【详解】（1）因为，，---------------------------------------1分 若，则，与矛盾，---------------------------------------------2分 所以，所以，----------------------------------------------------3分 所以，因为，所以，---------------------------------------------4分 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.--------------------------------------5分 （2）由（1）知，-------------------------------------------------6分 数列的前项和为.-------------------------------------------8分 （3）因为， 设数列的前n项和为，------------------------------------------------------9分 当n为偶数时，，--------------------------10分 因为，------------------------------------------------------------------11分 所以，-----------12分 当为奇数时，为偶数. ，---------------------------------------------14分 所以.------------------------------------------------------------------------15分 17．已知项数为的数列满足：且． (1)若为等比数列，求的值； (2)若是等差数列，求公差的值． 【详解】（1）设等比数列的公比为，显然．---------------------------------------------1分 由，得，解得．----------------------------------------------3分 由，得，-------------------------------------------------------------------5分 所以或．--------------------------------------------------------------------------------------6分 （2） 由，得，----------------------------------------------------7分 所以，即．-----------------------------------------------------------------------------8分 当时，，此时（舍去）；---------------------9分 当时，则且，---------------------------------------------------10分 即解得；-------------------------------------------------------------12分 当时，则且，即解得．------14分 综上所述，公差的值为或．---------------------------------------------------------------------15分 18．已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 【详解】（1）设的公差为， 令，得，故即，------------------------------------------------1分 令，得，故，即，--------------------------3分 由于，则解得，--------------------------------------------------------------------------5分 故，-------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）（i）当，故，-----------------------------------------------------------------------7分 时，，-------------------------------------------------------------------------9分 所以，---------------------------------------------------------------------------------10分 （ii）由题意可知：， 当时，，则，-----------------------------------------------------------11分 当，，则，，-------------------------------------------------12分 当，，则，，---------------------------------------------------13分 所以 ---------------------------------------------------------14分 -----------------------------------------------------------------------------------------15分 ,-------------------------------------------------------------------------------------------------16分 因此-----------------------------------------------------------------------17分 19．已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推．记数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“类比数”． (1)将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前3个“类比数”； (2)试判断50是否为“类比数”，并说明理由； (3)①求满足的最小的“类比数”； ②证明：该数列的“类比数”有无数个． 【详解】（1）因为，所以1不是该数列的“类比数”．-------------------------------------1分 因为，，，-----------------------------3分 所以该数列的前3个“类比数”为2，4，13.---------------------------------------------------------------4分 （2）由题意可得数列如下： 第1组：1； 第2组：1，2； 第3组：1，2，4； … 第组：．------------------------------------------------------------------------------------------------6分 所以该数列的前项的和为 ，（*）-------------------------------------------------8分 当时，，则，------------------9分 由于，，，故50不是“类比数”．----------------------------10分 （3） ①在（*）式中，要使，有，，-------------------------------------------11分 易知出现在第44组之后，又第组的和为，前组的和为， 第组前项的和为，．------------------------------------------------------------------12分 因为， 所以．-------------------------------------------------------------------------------------------------13分 所以，则，当时，，所以对应满足条件的最小“类比数”．-------------------------------------------------------------------------------------------------15分 ②证明：由①知，．----------------------------------------------------------------------------------16分 当，且取任意整数时，可得“类比数”，所以该数列的“类比数”有无数个．----------17分 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二下学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版 2019 选择性必修第二册第一章数列。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．在等比数列 na 中， 3 73, 27a a  ，则数列 na 的公比是（ ） A． 3 B．3 C． 3 D． 3 2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍 生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐 藏着的世界数学史上第一道数列题．其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则 此数列的第 20 项为（ ） A．162 B．180 C．200 D．220 3．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，满足 2 3 2nS n n   ，则下列判断正确的是（ ） A．数列 na 为等差数列 B． 5 11a  C．数列 nS 存在最大值 D．数列 1 nS       存在最大值 4．已知数列 na 满足 1 1 1n n a a   ，且 1 1 3 a  ，则 2025a （ ） A． 1 3 B． 3 2 C． 2 D．2 5．数列 na 中， 1 3a  ， m n m na a a   ，若  19 91 2 10 1 3 32k k ka a a       ，则 k （ ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．已知数列 na 是等差数列，数列 nb 是等比数列，若 2 4 6 6  a a a ， 2 5 8 3 3b b b  ，则 3 5 3 71 a a b b    （ ） A．1 B． 3 C．2 D．3 7．设数列 na 满足 1 1a  ， 2 4a  ， 2 12 2n n na a a    ，若[ )x 表示大于 x的最小整数，如[2) 3 ， [ 2.1) 2   ，记  1 n n n n b a       ，则数列 nb 的前 2024 项之和为（ ） A．4050 B．4049 C．4048 D．4047 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运 算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1 4 2 1   ，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜 想”等）.已知数列 na 满足： 1 20a  ，     1 2 3 1 n n n n n a a a a a       为偶数 为奇数 ，则 2025a （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选 对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．记等比数列 na 的前 n项积为 nT ，且 65 *,a a N ，若 510 6T  ，则 5 6a a 的可能取值为（ ） A． 7 B．5 C．6 D．7 10．已知 nS 是数列 na 的前 n项和，2 3 1n nS a  ，则下列结论正确的是（ ） A．数列 na 是等差数列 B．数列 na 是递增数列 C． 13nna  D． 3 1 2 n nS   11．已知数列 na 满足 2 4a  ， 1 2 2nn na a   ，则（ ） A． 1 2a  B． 12 n n a        是等差数列 C． n a n       一定是等比数列 D．数列   2 1 n nn a        的前 99 项和为 99 100 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知正项等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 4 2 5 4 S S ，则 8 6 5 3 a a a a    ． 13．定义在R 上的函数  g x 满足  1 2y g x   是奇函数，则  g x 的对称中心为 ；若 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … …  *1 2 3 2 1 N 1 1 1 1n n a g g g g n n n n n                                ，则数列 na 的通项公式为 . 14．已知等比数列 na 中，存在 *, Ns t ，满足 25s ta a a ，则 4 1 s t  的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分） 设数列 na 的前 n项和为 nS ，已知3 4 4n nS a  . (1)求 na 的通项公式； (2)求数列 n n S a       的前 n项和 nT . 16．（15 分） 已知数列 na 的首项为 1 1 2 a  ，且满足 1 14 0n n n na a a a    . (1)证明：数列 1 na       为等差数列； (2)求数列 1 na       的前 n项和为 nS ； (3)求数列   1 n nS 的前 n项和. 17．（15 分） 已知项数为  *2,n n n N 的数列 na 满足： 1 2 0na a a    且 1 2 3na a a    ． (1)若  4, nn a 为等比数列，求 1a 的值； (2)若  9, nn a 是等差数列，求公差d 的值． 18．（17 分） 已知数列 na 是公差大于 0 的等差数列，数列 1 1 n na a        的前 n项和为 3 1 n n . (1)求数列 na 的通项公式； (2)设 1 , , 2 , k n k k k k n a b a n a       *kN . （i）试写出 1b ， 2b ， 3b 的值； （ii）求数列 nb 的前 20 项和 20S . 19．（17 分） 已知数列 na ：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是 02 ，接下来的两项 是 02 ， 12 ，再接下来的三项是 02 ， 12 ， 22 ，以此类推．记数列 na 的前 n项和为 nS ，规定：若 *m N ， 使得  2 1pmS p  N ，则称m为该数列的“类比数”． (1)将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前 3 个“类比数”； (2)试判断 50 是否为“类比数”，并说明理由； (3)①求满足 1000m  的最小的“类比数”m； ②证明：该数列的“类比数”有无数个． 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第二册第一章数列。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等比数列中，，则数列的公比是（    ） A． B．3 C． D． 2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 3．已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 4．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 5．数列中，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 7．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（   ） A．4050 B．4049 C．4048 D．4047 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A． B．5 C．6 D．7 10．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 11．已知数列满足，，则（    ） A． B．是等差数列 C．一定是等比数列 D．数列的前99项和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正项等比数列的前n项和为，若，则 ． 13．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 14．已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（15分） 已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 17．（15分） 已知项数为的数列满足：且． (1)若为等比数列，求的值； (2)若是等差数列，求公差的值． 18．（17分） 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 19．（17分） 已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推．记数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“类比数”． (1)将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前3个“类比数”； (2)试判断50是否为“类比数”，并说明理由； (3)①求满足的最小的“类比数”； ②证明：该数列的“类比数”有无数个． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$