第16章 二次根式 知识清单 2024--2025学年人教版八年级数学下册

第一课时：二次根式 【课前预习】 【知识点1 二次根式的定义】 形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数. 【知识点2 二次根式有意义的条件】 （1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：. 【知识点3 判断二次根式有意义的条件】 （1） 如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【知识点4 二次根式的性质】 性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 【二次根式部分经典题型】 第一，最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 第二，同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 这是二次根式进行加减运算的基础。 第三，二次根式的化简，常用到的是二次根式的性质及二次根式的运算法则，这里一定要注意二次根式的双重非负性，开出来的必须是非负的那个值。 在进行根式的化简时，一定要注意开出来的是非负的，所以一定是平方项底数的绝对值，这里就又涉及到了绝对值的化简，正数的绝对值是它自身，负数的绝对值等于它的相反数。 尤其是二次根式的乘除运算，可以直接拆成两个根式相乘或相除的前提是，被开方式均非负，如果不满足，则必须要进行适当的变形。 【题型分类】 【1】判断二次根式的个数 【2】根据二次根式的定义求字母的值 【3】根据二次根式有意义条件求范围 【4】根据二次根式有意义条件求值 【5】利用二次根式的性质化简 【6】化简复合二次根式 【课堂互动】 【题型1 判断二次根式的个数】 【例1】在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【训练1-1】下列式子中二次根式的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（x＞1）；（7）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【训练1-2】在式子中，二次根式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【训练1-3】在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】 【例2】已知是整数，正整数n的最小值为（　　） A．96 B．6 C．24 D．2 【训练2-1】已知n是正整数，是整数，则n的值可以是（　　） A．5 B．7 C．9 D．10 【训练2-2】已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　 　． 【训练2-3】若是正整数，则x的最大值是　 　． 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】 【例3】使代数式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x C．x且x≠3 D．x 【训练3-1】若式子有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2，且x≠2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2，且x≠2 【训练3-2】使有意义的x的取值范围为　 　． 【训练3-3】求有意义的a的整数值：　 　． 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】 【例4】已知，则（x+y）2000（x﹣y）2001的值为（　　） A． B． C．﹣1 D．1 【训练4-1】已知|2020﹣a|a，则4a﹣40402的值为（　　） A．8084 B．6063 C．4042 D．2021 【训练4-2】若a、b为实数，且b，则a+b＝　 　． 【训练4-3】已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【例5】已知在数轴上的位置如图所示，化简： 　 　． 【训练5-1】已知0＜a＜1，化简得　 　． 【训练5-2】已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【训练5-3】阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤5时，化简：　 　； （2）若等式4成立，则a的取值范围是　 　； （3）若8，求a的取值． 【题型6 化简复合二次根式】 【例6】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+23+2+2（）2+（）2+2（）2，所以． 请仿照上面的例子化简下列根式： （1）； （2）． 【训练6-1】阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简． 例如：化简． 解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2， ∴1． 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1）； （2）． 【训练6-2】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn，则可变形为|m±n|，从而达到化去一层根号的目的． 例如：|1|1 仿照上例完成下面各题： ①填上适当的数：|　　|＝　　； ②试将化简． 【训练6-3】阅读下面例题：化简 解：∵2+5＝7，2； 7+2 ∴ 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 第二课时：二次根式的乘除 【课前预习】 【知识点1 二次根式的乘除法则】 ①二次根式的乘法法则：； ②积的算术平方根：； ③二次根式的除法法则：； ④商的算术平方根：. 【知识点2 最简二次根式】 我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 【知识点3 分母有理化】 ①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式； ②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． 【题型分类】 【1】求字母的取值范围 【2】二次根式乘除的运算 【3】二次根式的符号化简 【4】最简二次根式的概念 【5】分母有理化 【6】分母有理化的应用 【课堂互动】 【题型1 求字母的取值范围】 【例1】使成立的x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞3 C．x≥2且x≠3 D．x≥3 【训练1-1】若等式成立，则实数k的取值范围是（　　） A．k B．k＞3或k C．k＞3 D．k≥3 【训练1-2】根据二次根式的性质，若•，则a的取值范围是（　　） A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5 【训练1-3】若等式成立，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣2 B．m≥2 C．﹣2≤m≤2 D．m≥4 【题型2 二次根式乘除的运算】 【例2】计算：． 【训练2-1】计算：． 【训练2-2】计算：． 【训练2-3】计算：•（）（a＞0）． 【题型3 二次根式的符号化简】 【例3】把x根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 【训练3-1】把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（　　） A． B． C． D． 【训练3-2】把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（　　） A． B． C． D． 【训练3-3】已知xy＜0，把代数式中的x移到根号内，那么这个代数式等于（　　） A． B． C． D． 【题型4 最简二次根式的概念】 【例4】在下列根式：5，，，中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练4-1】二次根式、、、、中，最简二次根式有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练4-2】二次根式：，2，，，，，，，是最简二次根式的有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【训练4-3】我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如1是型无理数，则是（　　） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【题型5 分母有理化】 【例5】若，，则（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 【训练5-1】实数的整数部分a＝　 　，小数部分b＝　 ． 【训练5-2】比较大小：　 　（用＞，＜或＝填空）． 【训练5-3】分母有理化： 【题型6 分母有理化的应用】 【例6】观察下列等式 等式一：1； 等式二：； 等式三：； ……； 解决下列问题： （1）化简：； （2）若有理数a、b满足，求a+b的值． 【训练6-1】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简： （1）请用不同的方法化简； （2）化简：． 【训练6-2】像2；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）； （2）． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：． 解：设x，易知，∴x＞0． 由：x2＝32．解得x． 即． 请你解决下列问题： （1）2的有理化因式是　23　； （2）化简：； （3）化简：． 【训练6-3】阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”： 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：，． 因为，所以． 再例如：求y的最大值．做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y． 当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）比较34和2的大小； （2）求y的最大值． 第三课时： 二次根式的加减 【课前预习】 【知识点1 同类二次根式】 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项； ②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同； ③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【知识点2 二次根式的加减法则】 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 【题型分类】 【1】同类二次根式的概念 【2】二次根式的加减运算 【3】二次根式的混合运算 【4】二次根式的化简求值 【5】二次根式的应用 【6】二次根式中数式规律问题 【课堂互动】 【题型1 同类二次根式的概念】 【例1】在中，与是同类二次根式的有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【训练1-1】下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【训练1-2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【训练1-3】若最简二次根式与可以合并，则m的值是（　　） A． B．2 C．7 D． 【题型2 二次根式的加减运算】 【例2】计算下列各题： （1）； （2）（3）﹣（）． 【训练2-1】计算： （1）263； （2）． 【训练2-2】计算： （1）6； （2）34（）． 【训练2-3】计算： （1）（）﹣（）； （2）62x（x＞0）． 【题型3 二次根式的混合运算】 【例3】计算 （1）； （2）． 【训练3-1】计算 （1）； （2）（1）（1）+6（1）2． 【训练3-2】计算： （1）（）； （2）（5）（2 【训练3-3】化简 （1）（2）26； （2）（）（）﹣（2）2． 【题型4 二次根式的化简求值】 【例4】已知x＝3+2，y＝3﹣2．求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）． 【训练4-1】已知x（），y（）．求： （1）x+y和xy的值； （2）的值． 【训练4-2】已知x，y． （1）求代数式2x2+2y2﹣xy的值； （2）求代数式xy的值． 【训练4-3】先化简，再求值：[]，其中x＝1，y＝2． 【题型5 二次根式的应用】 【例5】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是　 　． 【训练5-1】如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为　 　． 【训练5-2】如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（　　） A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小 B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小 C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小 D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小 【训练5-3】某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为1米，宽为1米． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【题型6 二次根式中数式规律问题】 【例6】观察下列各式： ①1 ②1 ③1，…， 请利用你所发现的规律计算　 ． 【训练6-1】观察下列各式及其变形过程：a1，a2，a3． （1）按照此规律和格式，请你写出第五个等式的变形过程：a5　 ； （2）请通过计算验证（1）中a5变形过程的正确性； （3）按照此规律，计算（a1+a2+a3+…+an）（a1﹣a2﹣a3﹣…﹣an）的值． 【训练6-2】观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：2； 第2个等式：3； 第3个等式：4； … （1）请直接写出第5个等式：　 　（不用化简）． （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明． （3）利用（2）的结论计算：． 【训练6-3】观察下列等式，根据你发现的规律解决问题： ①1； ②； ③； … （1）化简：　 　． （2）化简：　 　（n为正整数）． （3）利用上面所揭示的规律计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$