2025年中考数学二轮专题：一元二次方程综合测试基础卷

一元二次方程 综合测试基础卷 一、单选题 1．一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（   ） A．3，1 B．，1 C．3， D．1， 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确理解一元二次方程的二次项系数和常数项是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数，且）．在一般形式中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程的一般形式的概念，即可判断答案． 【详解】一元二次方程的二次项系数和常数项分别是3和1． 故选:A． 2．在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到，则他求解的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知： ，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 3．一元二次方程的一个根是，则k＝（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解 【分析】把代入方程得，然后解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】移项得，配方得，即，故 选B. 5．若关于的方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的值可以是． 故选：D． 6．已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式2m2+5m+n的值等于（　　） A．2019 B．2018 C．2021 D．2020 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据题意，得2m2+4m﹣2021＝0，进一步可得2m2+4m＝2021，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣2，即可求出代数式的值． 【详解】解：根据题意，得2m2+4m﹣2021＝0， ∴2m2+4m＝2021， ∵m+n＝＝﹣2， ∴2m2+5m+n＝2m2+4m+m+n =2021﹣2＝2019， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 7．若是方程的一个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握一元二次方程的解，完全平方公式，二次根式的加减运算是解题的关键． 由题意知，，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 解得，， 故选：B． 8．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解： ∴方程有两个相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握时，方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 9．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每个支干分出个小分支， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故选：． 10．硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题； 设一元二次方程为，构建方程组求出，，即可求解； 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意得：， ， 方程为， ， 或， 解得：，； 故选：C 11．据统计，2021年全国城镇居民人均消费支出约为万元，2023年提升到约万元．如果设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，根据从2021年到2023年人均消费支出，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，根据题意得： 故选：C． 12．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 13．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系，等腰三角形的性质，能求出符合三角形三边关系的三边长是解此题的关键． 先解方程求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出答案即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：或5， ①当等腰三角形的三边为时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是， ②当等腰三角形的三边为4，5，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是， 所以等腰三角形的周长是13或14， 故选：C． 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系；根据根与系数的关系得到， ，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴或时， ∴不合题意， ∴． 故选：D． 16．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，根据根的判别式即可判断，假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，解出的值，从而求解，找准等量关系，正确列出一元二次方程或一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得： 整理得： ， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得：， 解得：， ∴当女性的身高为公尺时，使用算法与算法算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确； 故选：． 二、填空题 17．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 【答案】2024 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．由方程有一个根是，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：方程有一个根是， ， ， ． 故答案为：2024． 18．方程较大的根为，的小数部分为，则 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，无理数的估算，代入求值，先解方程求出x的值，确定a，b得值，然后代入计算即可． 【详解】解：解方程得，（舍去）， ∵， ∴小数部分为， ∴， 故答案为：． 19．对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程的解为 ． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法，并学会分类讨论思想是解题的关键． 直接分类讨论得出的取值范围，进而解一元二次方程得出答案． 【详解】解：当时， 即当时， 则， 整理，得：， 即：， 解得：，（不合题意，故舍去）； 当时， 即当时， 则， 整理，得：， 即：， 解得：，（不合题意，故舍去）； 故答案为：，． 20．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为 米． 【答案】6 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米，根据停车位总占地面积为288平方米，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 即车道的宽度为6米． 故答案为：6． 三、解答题 21．解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】此题考查了配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键. （1）变形后利用配方法解方程即可； （2）整理后利用公式法解方程即可. 【详解】（1）解： ∴ 则， ∴， 开平方得，， ∴ （2） ∴， 则， ∵， ∴ ∴ 22．已知一元二次方程． (1)当时，求方程的根． (2)若，，是该方程的两根，求的值． 【答案】(1) (2)4 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查解一元二次方程和根与系数的关系， 将已知值b代入，利用直接开平方法解方程即可， 将已知值b代入，结合根与系数的关系即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：当时，方程为， 则， 解得． （2）解：若，则方程为． ∵，是该方程的两根， ∴，， ∴． 23．已知关于的一元二次方程（）． (1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)小明说：该方程总有一个固定的实数根．请你判断小明的说法是否正确？若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，该实数根为 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式，有理数大小比较，根据判别式判断一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式来证明即可； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得出结论． 【详解】（1）证明： ， 关于的一元二次方程（）一定有两个不相等的实数根； （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 由求根公式可得： ， ，， 该方程总有一个固定的实数根， 小明的说法是正确的． 24．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)花圃的长与宽边分别为9米和5米 (3)建成花圃的面积不可能为60平方米 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为x米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为14米， ∴， ∴， ∴， ∴，， 答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， ∴， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60平方米． 25．已知方程①：为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程． (1)求k的取值范围； (2)如果方程②的解为负整数，，且k为整数，求整数m的值； (3)当方程②有两个实数根，满足，且k为正整数，试判断是否成立？并说明理由． 【答案】(1)且 (2)或 (3)成立，见解析 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）将k当作已知数解出方程的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，即，解得，即可求出k的取值范围； （2）根据，可得，，代入方程②，可得，可得，，由于②的解为负整数且k为整数，所以或，可得或，即可求出整数m的值； （3）方法1：由（1）可知且，且k为正整数，可知，所以方程②为，因为方程②有两个实数根，，所以，，，由可求出，将，，代入，可得，将其代入，即可证明；方法2：先得出，，，，根据，求出，可得，分两类和，与，，代入，可得，将其代入，即可证明． 【详解】（1）解：∵关于x的方程的解为，且该方程的解为非正数， ∴，解得， 又∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，，解得， 综上所述，k的取值范围是且． （2）解：由（1）可知且， ∵，， ∴，， ∴方程②为， 即， ， 解得：，， ∵方程②为，方程②的解为负整数， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴m的值为或． （3）解：方法1：成立，理由如下： 由（1）可知且， 又∵k为正整数， ∴， ∴方程②为， ∵方程②有两个实数根，， ∴，，， ∴， ∴（*） ∵， ∴ 即， 即，即代入（*） ∴ ∴； 方法2：成立，理由如下： 由（1）可知且， 又∵k为正整数， ∴， ∴方程②为， ∵方程②有两个实数根，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴当时， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，（漏1种情况扣1分） ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，成立． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握并应用相关知识点是解答本题的关键． 26．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)秒 (2)的面积不能等于； (3) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程求解； （2）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程，根据方程有无实数根进行判断即可； （3）设经过x秒，的长度等于，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设后，，. 根据三角形的面积公式列方程， 得：. 解得：，. 当时，，不合题意，舍去. 所以秒后，的面积等于； （2）的面积不能等于， 理由：根据三角形的面积公式列方程， 得：， 整理，得：. ∵， ∴没有实数根， 所以的面积不能等于. （3）根据勾股定理得到，， 得：. 解得：，（不符合题意，舍去）. 所以后，的长度等于． 27．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2008年底拥有家庭轿车64辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到100辆． (1)若该小区2008年底到2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，按2010年的增长率求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案． 【答案】(1)该小区到2011年底家庭轿车将达到125辆； (2)方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程，解得平均增长率，即可求出到2011年底家庭轿车的数量； （2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，根据题意列不等式组，求出正整数解，即可得到答案． 【详解】（1）解：1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 答：该小区到2011年底家庭轿车将达到125辆； （2）解：设该小区可建室内车位a个，露天车位b个， 依题意得：， 由①得：， 将③代入②得：， 解得：， 是正整数， 或21， 当时，；当时，， 方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的综合应用，一元一次不等式组的应用，认真读题，理解题意，合理设未知数，根据题意正确列方程是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程 综合测试基础卷 一、单选题 1．一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（   ） A．3，1 B．，1 C．3， D．1， 2．在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到，则他求解的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的一个根是，则k＝（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 4．一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ） A． B． C． D． 5．若关于的方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 6．已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式2m2+5m+n的值等于（　　） A．2019 B．2018 C．2021 D．2020 7．若是方程的一个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A． B． C． D．或 10．硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（  ） A．， B．， C．， D．， 11．据统计，2021年全国城镇居民人均消费支出约为万元，2023年提升到约万元．如果设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 12．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 13．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 14．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值(     ) A． B． C． D． 16．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 二、填空题 17．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 18．方程较大的根为，的小数部分为，则 ． 19．对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程的解为 ． 20．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为 米． 三、解答题 21．解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 22．已知一元二次方程． (1)当时，求方程的根． (2)若，，是该方程的两根，求的值． 23．已知关于的一元二次方程（）． (1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)小明说：该方程总有一个固定的实数根．请你判断小明的说法是否正确？若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由． 24．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 25．已知方程①：为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程． (1)求k的取值范围； (2)如果方程②的解为负整数，，且k为整数，求整数m的值； (3)当方程②有两个实数根，满足，且k为正整数，试判断是否成立？并说明理由． 26．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 27．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2008年底拥有家庭轿车64辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到100辆． (1)若该小区2008年底到2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，按2010年的增长率求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B D A B A A C 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C B D C D D 1．A 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确理解一元二次方程的二次项系数和常数项是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数，且）．在一般形式中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程的一般形式的概念，即可判断答案． 【详解】一元二次方程的二次项系数和常数项分别是3和1． 故选:A． 2．A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知： ，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 3．A 【知识点】一元二次方程的解 【分析】把代入方程得，然后解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】移项得，配方得，即，故 选B. 5．D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的值可以是． 故选：D． 6．A 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据题意，得2m2+4m﹣2021＝0，进一步可得2m2+4m＝2021，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣2，即可求出代数式的值． 【详解】解：根据题意，得2m2+4m﹣2021＝0， ∴2m2+4m＝2021， ∵m+n＝＝﹣2， ∴2m2+5m+n＝2m2+4m+m+n =2021﹣2＝2019， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 7．B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握一元二次方程的解，完全平方公式，二次根式的加减运算是解题的关键． 由题意知，，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 解得，， 故选：B． 8．A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解： ∴方程有两个相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握时，方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 9．A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每个支干分出个小分支， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故选：． 10．C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题； 设一元二次方程为，构建方程组求出，，即可求解； 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意得：， ， 方程为， ， 或， 解得：，； 故选：C 11．C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，根据从2021年到2023年人均消费支出，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，根据题意得： 故选：C． 12．B 【知识点】换元法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 13．D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系，等腰三角形的性质，能求出符合三角形三边关系的三边长是解此题的关键． 先解方程求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出答案即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：或5， ①当等腰三角形的三边为时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是， ②当等腰三角形的三边为4，5，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是， 所以等腰三角形的周长是13或14， 故选：C． 15．D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系；根据根与系数的关系得到， ，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴或时， ∴不合题意， ∴． 故选：D． 16．D 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，根据根的判别式即可判断，假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，解出的值，从而求解，找准等量关系，正确列出一元二次方程或一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得： 整理得： ， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得：， 解得：， ∴当女性的身高为公尺时，使用算法与算法算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确； 故选：． 17．2024 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．由方程有一个根是，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：方程有一个根是， ， ， ． 故答案为：2024． 18． 【知识点】公式法解一元二次方程、已知字母的值 ，求代数式的值、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查解一元二次方程，无理数的估算，代入求值，先解方程求出x的值，确定a，b得值，然后代入计算即可． 【详解】解：解方程得，（舍去）， ∵， ∴小数部分为， ∴， 故答案为：． 19．， 【知识点】求一元一次不等式的解集、因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法，并学会分类讨论思想是解题的关键． 直接分类讨论得出的取值范围，进而解一元二次方程得出答案． 【详解】解：当时， 即当时， 则， 整理，得：， 即：， 解得：，（不合题意，故舍去）； 当时， 即当时， 则， 整理，得：， 即：， 解得：，（不合题意，故舍去）； 故答案为：，． 20．6 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米，根据停车位总占地面积为288平方米，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 即车道的宽度为6米． 故答案为：6． 21．(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键. （1）变形后利用配方法解方程即可； （2）整理后利用公式法解方程即可. 【详解】（1）解： ∴ 则， ∴， 开平方得，， ∴ （2） ∴， 则， ∵， ∴ ∴ 22．(1) (2)4 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查解一元二次方程和根与系数的关系， 将已知值b代入，利用直接开平方法解方程即可， 将已知值b代入，结合根与系数的关系即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：当时，方程为， 则， 解得． （2）解：若，则方程为． ∵，是该方程的两根， ∴，， ∴． 23．(1)证明见解析 (2)正确，该实数根为 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式，有理数大小比较，根据判别式判断一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式来证明即可； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得出结论． 【详解】（1）证明： ， 关于的一元二次方程（）一定有两个不相等的实数根； （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 由求根公式可得： ， ，， 该方程总有一个固定的实数根， 小明的说法是正确的． 24．(1) (2)花圃的长与宽边分别为9米和5米 (3)建成花圃的面积不可能为60平方米 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为x米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为14米， ∴， ∴， ∴， ∴，， 答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， ∴， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60平方米． 25．(1)且 (2)或 (3)成立，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）将k当作已知数解出方程的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，即，解得，即可求出k的取值范围； （2）根据，可得，，代入方程②，可得，可得，，由于②的解为负整数且k为整数，所以或，可得或，即可求出整数m的值； （3）方法1：由（1）可知且，且k为正整数，可知，所以方程②为，因为方程②有两个实数根，，所以，，，由可求出，将，，代入，可得，将其代入，即可证明；方法2：先得出，，，，根据，求出，可得，分两类和，与，，代入，可得，将其代入，即可证明． 【详解】（1）解：∵关于x的方程的解为，且该方程的解为非正数， ∴，解得， 又∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，，解得， 综上所述，k的取值范围是且． （2）解：由（1）可知且， ∵，， ∴，， ∴方程②为， 即， ， 解得：，， ∵方程②为，方程②的解为负整数， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴m的值为或． （3）解：方法1：成立，理由如下： 由（1）可知且， 又∵k为正整数， ∴， ∴方程②为， ∵方程②有两个实数根，， ∴，，， ∴， ∴（*） ∵， ∴ 即， 即，即代入（*） ∴ ∴； 方法2：成立，理由如下： 由（1）可知且， 又∵k为正整数， ∴， ∴方程②为， ∵方程②有两个实数根，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴当时， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，（漏1种情况扣1分） ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，成立． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握并应用相关知识点是解答本题的关键． 26．(1)秒 (2)的面积不能等于； (3) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程求解； （2）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程，根据方程有无实数根进行判断即可； （3）设经过x秒，的长度等于，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设后，，. 根据三角形的面积公式列方程， 得：. 解得：，. 当时，，不合题意，舍去. 所以秒后，的面积等于； （2）的面积不能等于， 理由：根据三角形的面积公式列方程， 得：， 整理，得：. ∵， ∴没有实数根， 所以的面积不能等于. （3）根据勾股定理得到，， 得：. 解得：，（不符合题意，舍去）. 所以后，的长度等于． 27．(1)该小区到2011年底家庭轿车将达到125辆； (2)方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程，解得平均增长率，即可求出到2011年底家庭轿车的数量； （2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，根据题意列不等式组，求出正整数解，即可得到答案． 【详解】（1）解：1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 答：该小区到2011年底家庭轿车将达到125辆； （2）解：设该小区可建室内车位a个，露天车位b个， 依题意得：， 由①得：， 将③代入②得：， 解得：， 是正整数， 或21， 当时，；当时，， 方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的综合应用，一元一次不等式组的应用，认真读题，理解题意，合理设未知数，根据题意正确列方程是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$