精品解析：四川省内江市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

内江一中2025年春期高2027届开学考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集直接运算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：A. 2. 命题 ，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题 ，为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：C 3. 是（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件举反例即可判断. 【详解】当时，，，不是的充分条件， 当时，，，也不是的必要条件， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 函数的零点所在的大致区间是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用零点存在定理，计算求解即可 【详解】根据条件，，，，可得， ，所以，函数的零点所在的大致区间是 故选：B 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性以及在内函数值的变化情况，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为， 因为，即函数为奇函数，排除B选项， 当时，，排除C选项； 因为，，则， 所以，函数在上不是增函数，排除D选项. 故选：A 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数、指数函数、的单调性，可以得到，可得到大小关系 【详解】，，，则， 所以， 故选：B 7. 已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数定义域，再结合复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得或， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以函数单调递增区间为. 故选：D. 8. ，其中，若，则得取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，结合对称性构造不等式即可求解； 【详解】 画出函数的图像， 当时，， , 即， 同理：当时，也可得， 所以的图像的图像关于对称； 所以等价于， 即， 解得：或， 又， 所以得取值范围是， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解. 【详解】由图知，，即， 所以，由题意，结合图象解得， 又因为， 所以， 所以的解析式为：， 对A，，故A正确； 对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误； 对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确； 对D，由，得，所以函数的单调递减区间为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法、特例法比较大小即得. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，所以，B错误； 对于C，由，得，所以，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若在定义域上是增函数，则 C. 若的值域为.则 D. 当时，若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性、值域，将分段函数分情况讨论，逐一判断即可． 【详解】对于A，由题函数定义域为，关于原点对称， 当时，，，； 当时，，，， 则函数为奇函数，故A正确； 对于B，若在定义域上是增函数，则，即，故B正确； 对于C，当时，在区间上单调递增，此时值域为， 当时，在区间上单调递增，此时值域为. 要使的值域为，则，即，故C不正确； 对于D，当时，由于，则函数在定义域上是增函数， 又函数是奇函数，故由，得， 则，且，且， 解得，故D不正确. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】将原式分母化为，再利用正弦余弦齐次式，弦化切后即可代入求解. 【分析】 ， 故答案为：. 13. 外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】延长相交于点，由圆心角求得，再结合扇形面积公式即可求解； 【详解】延长相交于点，设， 则，解得， 所以扇环的面积为， 故答案为： 14. 定义：在某个区间内，如果一条直线的图象始终夹在与的图象之间，即在这个区间恒成立，则这条直线叫做与的隔离直线，现有两个定义在的函数，，则与的隔离直线为______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据隔离直线的概念结合恒成立可得结果. 【详解】由题设有在上恒成立， 故在上恒成立， 且在上恒成立， 若，则为右侧向下的抛物线， 在上恒成立不成立， 若，同理在上恒成立也不成立， 故，故在上恒成立， 而在上恒成立，且在上恒成立， 故且，故， 所以与的隔离直线为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A，然后由并集运算可得； （2）由先得出集合与集合的关系，再对集合进行分类讨论， 【小问1详解】 已知得，， 当时，， 【小问2详解】 ， ， 当时，，即， 当时，， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点. （1）求值：； （2）先化简再求值：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解，代入计算即可； （2）结合弦切互化利用诱导公式化简，代入计算即可. 【小问1详解】 由三角函数的定义可得， 所以； 【小问2详解】 . 17. 已知函数（为实数）是奇函数. （1）求的值； （2）解不等式：； （3）若实数满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解； （2）将不等式等价化简得，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可； （3）由复合函数的单调性判断，并用定义证明，然后由奇偶性变形，由单调性化简，解一元二次不等式即可得解． 【小问1详解】 由题意函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为； 【小问3详解】 由（1）可得； 取任意，且， 则 ， 因为，所以，又易知， 所以，即； 因此函数单调递减函数； 由可得； 由为单调递减可知，即， 解得，所以的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求a的取值范围； （3）若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案； （2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案； （3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，， ，即，解得或， ∴不等式的解集为或； 【小问2详解】 ， 则二次函数图象的开口向上，且对称轴为， ∴在上单调递增，， 在上恒成立，转化为， ∴，解得，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 关于x的方程有两个不相等的正实数根， ∵，，， ∴且，解得， ， 令（）， 在上单调递减， ，， 故的取值范围为． 19. 已知函数与. （1）请用定义法证明函数的单调性; （2）当时,求在区间上的值域; （3）对于函数和,设,若存在α,β,使得,则称函数和互为“零点相邻函数”.若函数与是“零点相邻函数”,求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义直接证明即可； （2）当时，令，，函数化为，结合二次函数的性质，即可求得值域； （3）根据题中条件知，在上单调递增,且,据此可知，进而求得，又根据题意在上有解，换元后，根据对勾函数的性质即可求解. 【小问1详解】 任取,且, 则 , 因为, 所以, 所以,即， 所以函数在上单调递增. 小问2详解】 当时,. 又,令,则， 函数的图象开口向上且对称轴为直线, 由， ， 得， 故在区间上的值域为. 【小问3详解】 由(1)知函数在上单调递增, 且,据此可知. 结合“零点相邻函数”的定义可得， 据此可知函数在区间上存在零点, 即方程在区间上存在实数根, 整理得， 令,则，. 根据对勾函数的性质, 函数在区间上单调递减,在上单调递增, 又， 所以，即， 故实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 内江一中2025年春期高2027届开学考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题 ，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的零点所在的大致区间是（ 　　） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A. B. C. D. 8. ，其中，若，则得取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为 10. 已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若在定义域上是增函数，则 C. 若的值域为.则 D 当时，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为_______________ 14. 定义：在某个区间内，如果一条直线的图象始终夹在与的图象之间，即在这个区间恒成立，则这条直线叫做与的隔离直线，现有两个定义在的函数，，则与的隔离直线为______________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 在直角坐标系内，已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点. （1）求值：； （2）先化简再求值： 17. 已知函数（为实数）是奇函数. （1）求的值； （2）解不等式：； （3）若实数满足，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求a的取值范围； （3）若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围． 19. 已知函数与. （1）请用定义法证明函数的单调性; （2）当时,求在区间上的值域; （3）对于函数和,设,若存在α,β,使得,则称函数和互为“零点相邻函数”.若函数与是“零点相邻函数”,求实数a取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$