2025年九年级中考数学二轮专题复习：一次方程（组）综合测试提优卷

一次方程（组）综合测试提优卷 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．在等式的两边除以，可得 B．在等式的两边除以，可得 C．在等式的两边除以，可得 D．在等式的两边加3，可得 2．若下表中x，y的值满足二元一次方程，则当时，的值为（    ） … 0 2 5 … … 3 9 … A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知方程组和有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 4．在关于m，n的方程中，能使无论取何值时，方程恒成立的m，n的值是（    ） A． B． C． D． 5．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，，乙看错②中的b，解得，，则a和b的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条多少尺？如果设木条长为尺，绳子长为尺，则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x，y的方程组 的解为 请直接写出关于m、n的方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 8．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A．325 B．217 C．433 D．541 9．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购买铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购买铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元．现购买铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（  ） A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元 10．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 11．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，．例如，明文，，，对应密文，，，．当接收方收到密文，，，时，则解密得到的明文为（　　）. A．，，， B．，，， C．，，， D．1，，， 13．如图是年月份的日历表，在此表上可以用“十”字框框出个数字，若框出的个数中，最大数与最小数的和为，则这个数的和为（） A． B． C． D． 14．相同规格（长为，宽为）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：和，下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D．无法判断 15．已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 16．如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第次相遇是在（    ） A．边上 B．A点 C．边上 D．B点 二、填空题 17．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 18．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 19．已知、为有理数，方程仅有三个不相等的解，则 ． 20．一花店将、、三种花卉包装成甲、乙、丙三种不同的礼盒进行销售；用花卉支、花卉支、花卉支包装成甲种礼盒；用花卉支、花卉支、种花卉支包装成乙种礼盒；用花卉支、花卉支、花卉支包装成丙种礼盒；包装费忽略不计，且每支花卉的成本是每支花卉成本的倍，每盒甲礼盒的总成本是每盒乙礼盒总成本的倍；该商家将三种礼盒均以利润率进行定价销售；某周末，该花店为了加大销量，将甲、乙两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，丙礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的倍，则该周末丙礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 ． 三、解答题 21．在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （① ），得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． （② ），得． (1)小明的解题过程中，①处应填 ，解此步的依据是 ；②处应填 ； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 22．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)解该方程组； (2)若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程的一组解，求代数式的值． 23．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 24．每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本． （1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？ （2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售价提高元（a＞25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升a%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值． 25．已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组． (1)二元一次方程组是______系方程组． (2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围． (3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围． 26．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． （1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，__________米． （2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． （3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是_______（请写出满足条件的n的值）． 27．为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答： 自来水销售价格 每户每月用水量 单位：元/吨 15吨及以下 超过15吨但不超过25吨的部分 超过25吨的部分 5 （1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费___________元；（用，的代数式表示） （2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求，的值． （3）在第（2）题的条件下，若交水费76.5元，求本月用水量． （4）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的，的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A D A B B B D 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C C B A A B 1．B 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当时，在等式的两边除以，可得，原说法错误，不符合题意； B、在等式的两边除以，可得，原说法正确，符合题意； C、在等式的两边乘以，可得，原说法错误，不符合题意； D、在等式的两边加3，可得，原说法错误，不符合题意； 故选B． 2．B 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】从表格中取出两组数值，代入，得出关于a，b的二元一次方程组，解出a，b，得到关于x，y的二元一次方程，将代入即可求出y值． 【详解】解：由表格知，当时，，当时，， 将这两组数据代入， 得， 解得， ∴， ∴当时，． 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据表格数据列出二元一次方程组，求出a，b的值是解题的关键． 3．D 【知识点】加减消元法、方程组相同解问题、二元一次方程的解 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，充分理解二元一次方程组的解是解题的关键．由题意解方程组，把求得的解代入方程组中，即可求得结果． 【详解】解：解方程组，得， 把代入中， 可得，解得． 故选：D． 4．A 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】无论取何值时，方程恒成立的条件为，，列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：由题意，得： ， 解得： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是解题关键. 5．D 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．甲看错了a，则甲的结果满足方程②，乙看错了b，则乙的结果满足方程①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：∵解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，，乙看错②中的b，解得，， ∴把，代入②，得， 解得：， 把，，代入①，得， 解得：， ∴， 故选：D． 6．A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为： ， 故选：A． 7．B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据关于x，y的方程组 的解为 ，得出，结合关于m、n的方程组 ，得出，进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于x，y的方程组 的解为 ， ∴ ∵关于m、n的方程组 ∴ 解得 故选：B 8．B 【知识点】列代数式、三元一次方程组的应用 【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为 依题意得： , 解得 原来的三位数字是217 故选：B 【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 9．B 【分析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据“购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元”建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得x+y+z的值． 【详解】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元， 根据题意得：， ①×3，得， ②×2，得， ③–④可得：x+y+z=1.05． 故选B． 【点睛】本题考查三元一次方程组的实际应用，解题关键是根据两个等量关系列出方程组；而利用整体思想，把所给两个等式整理为只含x+y+z的等式是解决本题的难点． 10．D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 11．C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据新定义可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得： ②③得：， 将①代入上式得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键． 12．C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】根据题意可得，解出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 由①-②，得：⑤， 由④-③，得：⑥， 由⑥-⑤，得：， 把代入①，得：， 把代入⑤，得：， 把代入④，得：， ∴解密得到的明文为，，，， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了多元方程组的应用，明确题意、准确得到等量关系是解题的关键． 13．B 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设中间第二个数为，并表示出其他四个数，根据题意列出方程．设中间第二个数为，则其他四个数分别为，，，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设中间第二个数为，则其他四个数分别为，，，， 由题意可得：， 解得， ，，， 这个数的和为， 故选：B． 14．A 【知识点】由展开图计算几何体的体积、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为，则，求出，得值，然后求出体积即可，同理求出乙方案中长方体的体积，比较大小即可． 【详解】设甲方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为， 根据题意得：，解得：， ∴； 设乙方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为， 根据题意得：，解得：， ∴，即有：． 故选：． 【点睛】此题考查了长方体的展开图，体积，二元一次方程组的应用，解题的关键在于求出长方体的高，底面正方形的边长． 15．A 【知识点】加减消元法、同底数幂相乘、方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出的值，这样比较简便．利用加减消元法消去，得：，故①③正确；当时，代入方程组计算得：，故②正确；解出方程组的解，根据条件得，把方程组的解代入得，故④正确． 【详解】解：， ①②得：， ， 不论取何值，方程组总有一组解， 故①③正确； 当时，方程组为：， ①②得：， ， ，的值互为相反数， 故②正确； ， 解得：， ， ， ， ， 故④正确； 故选：A 16．B 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了路程问题的一元一次方程应用；找到等量关系是解题关键．设乙的速度为，需要秒第2024次相遇，根据路程速度时间，即可得到关于的一元一次方程，解得的值，可得的值，即甲移动的路程，由此即可求得相遇所在的边． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，正方形的边长为，需要秒第2024次相遇， 第一次相遇，甲乙的路程和为，其余次相遇，每次相遇的路程和为， 由题意：， 解得：， 而， 表明甲与乙第次相遇点为运动圈加，因乙是逆时针移动，则此时乙移动到了点处． 故选：． 17．/ 【知识点】方程的解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 18．3 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 19．2.7// 【知识点】化简绝对值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】含有绝对值的方程，先去掉外边绝对值得或，由于仅有3个不相等的解，则，解方程求得n的值． 【详解】解：， ∴或， 当时，或， 当时，或， 方程仅有三个不相等的解， 时，或时，， 当时，，不成立， ， 综上所述：的值为2.7， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查绝对值方程，分类讨论是解题的关键． 20． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设每支花卉成本是元，每支花卉成本是元，则每支花卉成本是元，根据每盒甲礼盒的总成本是每盒乙礼盒总成本的倍，可列出关于，的二元一次方程，解之可得出，继而可用含的代数式表示出每盒甲、乙、丙种礼盒的总成本，设该周末花店售出盒甲种礼盒，盒丙种礼盒，则售出盒乙种礼盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的倍，可列出关于，的二元一次方程，解之可得出，再用含，的代数式表示出该周末丙礼盒的总利润及三种礼盒的总利润，作比后即可得出结论． 【详解】解：设每支花卉成本是元，每支花卉成本是元，则每支花卉成本是元， 根据题意得：， ， 每盒甲种礼盒的总成本为：（元）； 每盒乙种礼盒的总成本为：（元）； 每盒丙种礼盒的总成本为：（元）． 设该周末花店售出盒甲种礼盒，盒丙种礼盒，则售出盒乙种礼盒， 根据题意得：， ， ∴， 该周末丙礼盒的总利润为：（元）， 三种礼盒的总利润为：（元）， 该周末丙礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为：， 故答案为：． 21．(1)去分母；等式的性质；系数化为1 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：解： 原方程可变形为． ①去分母，得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． ②化系数为1，得 小明的解题过程中，①处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质；②处应填系数化为1； （2）解： 原方程可变形为． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边同除以，得． 22．(1)原方程组的解为 (2)4 【知识点】加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组： （1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）结合（1）把，代入方程，可得，然后再化简，最后整体代入计算即可 【详解】（1）解：， 得：， 把代入①得：， 所以原方程组的解为：； （2）解：把代入方程得：， ， ， 原式. 23．(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)需租用A型车4辆，B型车2辆 【知识点】二元一次方程的解、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解； （2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）解：设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 24．（1）本次购进丙款笔记本230本；（2）a的值为50． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据甲乙丙三款笔记本的进价与数量的乘积等于总花费即可列方程求解； （2）根据售价-进价=利润即可列方程求解． 【详解】（1）设乙款笔记本的数量为x本， 则甲款2x本，丙款（950﹣3x）本，根据题意，得 2×2x+4x+6（950﹣3x）＝3300 解得x＝240， ∴950﹣3x＝230． 答：本次购进丙款笔记本230本． （2）根据题意，得 （4﹣2）×30+（6+﹣4）×50（1﹣a%）+（10﹣6）[20（1+a%）]＝260 整理得a2﹣70a+1000＝0 解得a1＝50，a2＝20（不符合题意，舍去） 答：a的值为50． 【点睛】本题考查了一元一次方程应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找好等量关系． 25．(1)1 (2)或 (3)或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、代入消元法、加减消元法、求不等式组的解集 【分析】（1）代入消元法解方程组得，则在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数，然后作答即可； （2）加减消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或，当整数为时，则，计算求解即可；当整数为时，则，计算求解即可； （3）代入消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：， ②代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数， ∴二元一次方程组是1系方程组， 故答案为：1； （2）解；， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或， 当整数为时，则， 解得，； 当整数为时，则， 解得，； 综上所述，或； （3）解：， 将②代入①得，， 解得，， ∴， 由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数， ∴，即， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，或 ． 【点睛】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用是解题的关键． 26．（1）0.4，0.6；（2）x=10，y=16；（3）52或65 【知识点】二元一次方程的解、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据方案一可得AE，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得AF； （2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，解之即可； （3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程，求出整数解即可． 【详解】解：（1）AE=2÷5=0.4(米)， AF=AB-AF=AD÷2- AF =2÷2-0.4=0.6(米)； （2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍， 可得：， 解得：； （3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有n-a块按方案二进行切割． 根据有140片甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于140片， ∴5a≤140，即a≤28， 丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，则 解得：，（其中a≤28，,且a,n都是正整数） ∴n=52时，a=20; n=65时，a=25； 综上：n的值是52或65． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到等量关系，列出方程（组）． 27．；；吨；的值上调了时的值上调了或者的值上调了时的值上调了. 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】（1）小王家今年3月份用水20吨，超过15吨，所以分两部分计费，15吨及以下费用为，超过15吨的费用为，故总费用； （2）依题意列方程组，可求解； （3）在第（2）题的条件下，正好25吨时，所需费用（元），可知若交水费76．5元，肯定用水超过25吨，可得用水量； （4）由小王家5月份用水量与4月份用水量相同与要比4月份多交9．6元钱水费，可列方程，满足方程的条件的解列出即所求. 【详解】解：（1）小王家今年3月份用水20吨，要交消费为， 故答案为：； （2）根据题意得，， 解得：； （3）在第（2）题的条件下，当正好25吨时， 可得费用（元）， 由交水费76．5元可知，小王家用水量超过25吨， 即：超过25吨的用水量吨， 合计本月用水量吨 （4）设上调了元，上调了元， 根据题意得：， ， 为整数角线（没超过1元）， 当时，元， 当时，元， 的值上调了时，的值上调了；的值上调了时，的值上调了. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，并学会看图提炼已知，用二元一次方程列举法来表示解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一次方程（组）综合测试提优卷 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．在等式的两边除以，可得 B．在等式的两边除以，可得 C．在等式的两边除以，可得 D．在等式的两边加3，可得 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当时，在等式的两边除以，可得，原说法错误，不符合题意； B、在等式的两边除以，可得，原说法正确，符合题意； C、在等式的两边乘以，可得，原说法错误，不符合题意； D、在等式的两边加3，可得，原说法错误，不符合题意； 故选B． 2．若下表中x，y的值满足二元一次方程，则当时，的值为（    ） … 0 2 5 … … 3 9 … A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】从表格中取出两组数值，代入，得出关于a，b的二元一次方程组，解出a，b，得到关于x，y的二元一次方程，将代入即可求出y值． 【详解】解：由表格知，当时，，当时，， 将这两组数据代入， 得， 解得， ∴， ∴当时，． 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据表格数据列出二元一次方程组，求出a，b的值是解题的关键． 3．已知方程组和有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】加减消元法、方程组相同解问题、二元一次方程的解 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，充分理解二元一次方程组的解是解题的关键．由题意解方程组，把求得的解代入方程组中，即可求得结果． 【详解】解：解方程组，得， 把代入中， 可得，解得． 故选：D． 4．在关于m，n的方程中，能使无论取何值时，方程恒成立的m，n的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】无论取何值时，方程恒成立的条件为，，列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：由题意，得： ， 解得： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是解题关键. 5．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，，乙看错②中的b，解得，，则a和b的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．甲看错了a，则甲的结果满足方程②，乙看错了b，则乙的结果满足方程①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：∵解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，，乙看错②中的b，解得，， ∴把，代入②，得， 解得：， 把，，代入①，得， 解得：， ∴， 故选：D． 6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条多少尺？如果设木条长为尺，绳子长为尺，则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为： ， 故选：A． 7．已知关于x，y的方程组 的解为 请直接写出关于m、n的方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据关于x，y的方程组 的解为 ，得出，结合关于m、n的方程组 ，得出，进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于x，y的方程组 的解为 ， ∴ ∵关于m、n的方程组 ∴ 解得 故选：B 8．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A．325 B．217 C．433 D．541 【答案】B 【知识点】列代数式、三元一次方程组的应用 【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为 依题意得： , 解得 原来的三位数字是217 故选：B 【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 9．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购买铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购买铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元．现购买铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（  ） A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元 【答案】B 【分析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据“购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元”建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得x+y+z的值． 【详解】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元， 根据题意得：， ①×3，得， ②×2，得， ③–④可得：x+y+z=1.05． 故选B． 【点睛】本题考查三元一次方程组的实际应用，解题关键是根据两个等量关系列出方程组；而利用整体思想，把所给两个等式整理为只含x+y+z的等式是解决本题的难点． 10．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 11．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据新定义可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得： ②③得：， 将①代入上式得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键． 12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，．例如，明文，，，对应密文，，，．当接收方收到密文，，，时，则解密得到的明文为（　　）. A．，，， B．，，， C．，，， D．1，，， 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】根据题意可得，解出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 由①-②，得：⑤， 由④-③，得：⑥， 由⑥-⑤，得：， 把代入①，得：， 把代入⑤，得：， 把代入④，得：， ∴解密得到的明文为，，，， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了多元方程组的应用，明确题意、准确得到等量关系是解题的关键． 13．如图是年月份的日历表，在此表上可以用“十”字框框出个数字，若框出的个数中，最大数与最小数的和为，则这个数的和为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设中间第二个数为，并表示出其他四个数，根据题意列出方程．设中间第二个数为，则其他四个数分别为，，，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设中间第二个数为，则其他四个数分别为，，，， 由题意可得：， 解得， ，，， 这个数的和为， 故选：B． 14．相同规格（长为，宽为）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：和，下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、由展开图计算几何体的体积 【分析】由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为，则，求出，得值，然后求出体积即可，同理求出乙方案中长方体的体积，比较大小即可． 【详解】设甲方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为， 根据题意得：，解得：， ∴； 设乙方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为， 根据题意得：，解得：， ∴，即有：． 故选：． 【点睛】此题考查了长方体的展开图，体积，二元一次方程组的应用，解题的关键在于求出长方体的高，底面正方形的边长． 15．已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【知识点】加减消元法、同底数幂相乘、方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出的值，这样比较简便．利用加减消元法消去，得：，故①③正确；当时，代入方程组计算得：，故②正确；解出方程组的解，根据条件得，把方程组的解代入得，故④正确． 【详解】解：， ①②得：， ， 不论取何值，方程组总有一组解， 故①③正确； 当时，方程组为：， ①②得：， ， ，的值互为相反数， 故②正确； ， 解得：， ， ， ， ， 故④正确； 故选：A 16．如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第次相遇是在（    ） A．边上 B．A点 C．边上 D．B点 【答案】B 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了路程问题的一元一次方程应用；找到等量关系是解题关键．设乙的速度为，需要秒第2024次相遇，根据路程速度时间，即可得到关于的一元一次方程，解得的值，可得的值，即甲移动的路程，由此即可求得相遇所在的边． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，正方形的边长为，需要秒第2024次相遇， 第一次相遇，甲乙的路程和为，其余次相遇，每次相遇的路程和为， 由题意：， 解得：， 而， 表明甲与乙第次相遇点为运动圈加，因乙是逆时针移动，则此时乙移动到了点处． 故选：． 二、填空题 17．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】/ 【知识点】方程的解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 18．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 19．已知、为有理数，方程仅有三个不相等的解，则 ． 【答案】2.7// 【知识点】化简绝对值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】含有绝对值的方程，先去掉外边绝对值得或，由于仅有3个不相等的解，则，解方程求得n的值． 【详解】解：， ∴或， 当时，或， 当时，或， 方程仅有三个不相等的解， 时，或时，， 当时，，不成立， ， 综上所述：的值为2.7， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查绝对值方程，分类讨论是解题的关键． 20．一花店将、、三种花卉包装成甲、乙、丙三种不同的礼盒进行销售；用花卉支、花卉支、花卉支包装成甲种礼盒；用花卉支、花卉支、种花卉支包装成乙种礼盒；用花卉支、花卉支、花卉支包装成丙种礼盒；包装费忽略不计，且每支花卉的成本是每支花卉成本的倍，每盒甲礼盒的总成本是每盒乙礼盒总成本的倍；该商家将三种礼盒均以利润率进行定价销售；某周末，该花店为了加大销量，将甲、乙两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，丙礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的倍，则该周末丙礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 ． 【答案】 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设每支花卉成本是元，每支花卉成本是元，则每支花卉成本是元，根据每盒甲礼盒的总成本是每盒乙礼盒总成本的倍，可列出关于，的二元一次方程，解之可得出，继而可用含的代数式表示出每盒甲、乙、丙种礼盒的总成本，设该周末花店售出盒甲种礼盒，盒丙种礼盒，则售出盒乙种礼盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的倍，可列出关于，的二元一次方程，解之可得出，再用含，的代数式表示出该周末丙礼盒的总利润及三种礼盒的总利润，作比后即可得出结论． 【详解】解：设每支花卉成本是元，每支花卉成本是元，则每支花卉成本是元， 根据题意得：， ， 每盒甲种礼盒的总成本为：（元）； 每盒乙种礼盒的总成本为：（元）； 每盒丙种礼盒的总成本为：（元）． 设该周末花店售出盒甲种礼盒，盒丙种礼盒，则售出盒乙种礼盒， 根据题意得：， ， ∴， 该周末丙礼盒的总利润为：（元）， 三种礼盒的总利润为：（元）， 该周末丙礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为：， 故答案为：． 三、解答题 21．在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （① ），得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． （② ），得． (1)小明的解题过程中，①处应填 ，解此步的依据是 ；②处应填 ； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 【答案】(1)去分母；等式的性质；系数化为1 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：解： 原方程可变形为． ①去分母，得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． ②化系数为1，得 小明的解题过程中，①处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质；②处应填系数化为1； （2）解： 原方程可变形为． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边同除以，得． 22．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)解该方程组； (2)若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程的一组解，求代数式的值． 【答案】(1)原方程组的解为 (2)4 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组： （1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）结合（1）把，代入方程，可得，然后再化简，最后整体代入计算即可 【详解】（1）解：， 得：， 把代入①得：， 所以原方程组的解为：； （2）解：把代入方程得：， ， ， 原式. 23．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【答案】(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)需租用A型车4辆，B型车2辆 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解； （2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）解：设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 24．每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本． （1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？ （2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售价提高元（a＞25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升a%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值． 【答案】（1）本次购进丙款笔记本230本；（2）a的值为50． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据甲乙丙三款笔记本的进价与数量的乘积等于总花费即可列方程求解； （2）根据售价-进价=利润即可列方程求解． 【详解】（1）设乙款笔记本的数量为x本， 则甲款2x本，丙款（950﹣3x）本，根据题意，得 2×2x+4x+6（950﹣3x）＝3300 解得x＝240， ∴950﹣3x＝230． 答：本次购进丙款笔记本230本． （2）根据题意，得 （4﹣2）×30+（6+﹣4）×50（1﹣a%）+（10﹣6）[20（1+a%）]＝260 整理得a2﹣70a+1000＝0 解得a1＝50，a2＝20（不符合题意，舍去） 答：a的值为50． 【点睛】本题考查了一元一次方程应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找好等量关系． 25．已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组． (1)二元一次方程组是______系方程组． (2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围． (3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 (3)或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、代入消元法、加减消元法、求不等式组的解集 【分析】（1）代入消元法解方程组得，则在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数，然后作答即可； （2）加减消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或，当整数为时，则，计算求解即可；当整数为时，则，计算求解即可； （3）代入消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：， ②代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数， ∴二元一次方程组是1系方程组， 故答案为：1； （2）解；， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或， 当整数为时，则， 解得，； 当整数为时，则， 解得，； 综上所述，或； （3）解：， 将②代入①得，， 解得，， ∴， 由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数， ∴，即， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，或 ． 【点睛】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用是解题的关键． 26．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． （1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，__________米． （2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． （3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是_______（请写出满足条件的n的值）． 【答案】（1）0.4，0.6；（2）x=10，y=16；（3）52或65 【知识点】二元一次方程的解、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据方案一可得AE，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得AF； （2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，解之即可； （3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程，求出整数解即可． 【详解】解：（1）AE=2÷5=0.4(米)， AF=AB-AF=AD÷2- AF =2÷2-0.4=0.6(米)； （2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍， 可得：， 解得：； （3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有n-a块按方案二进行切割． 根据有140片甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于140片， ∴5a≤140，即a≤28， 丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，则 解得：，（其中a≤28，,且a,n都是正整数） ∴n=52时，a=20; n=65时，a=25； 综上：n的值是52或65． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到等量关系，列出方程（组）． 27．为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答： 自来水销售价格 每户每月用水量 单位：元/吨 15吨及以下 超过15吨但不超过25吨的部分 超过25吨的部分 5 （1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费___________元；（用，的代数式表示） （2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求，的值． （3）在第（2）题的条件下，若交水费76.5元，求本月用水量． （4）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的，的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况． 【答案】；；吨；的值上调了时的值上调了或者的值上调了时的值上调了. 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】（1）小王家今年3月份用水20吨，超过15吨，所以分两部分计费，15吨及以下费用为，超过15吨的费用为，故总费用； （2）依题意列方程组，可求解； （3）在第（2）题的条件下，正好25吨时，所需费用（元），可知若交水费76．5元，肯定用水超过25吨，可得用水量； （4）由小王家5月份用水量与4月份用水量相同与要比4月份多交9．6元钱水费，可列方程，满足方程的条件的解列出即所求. 【详解】解：（1）小王家今年3月份用水20吨，要交消费为， 故答案为：； （2）根据题意得，， 解得：； （3）在第（2）题的条件下，当正好25吨时， 可得费用（元）， 由交水费76．5元可知，小王家用水量超过25吨， 即：超过25吨的用水量吨， 合计本月用水量吨 （4）设上调了元，上调了元， 根据题意得：， ， 为整数角线（没超过1元）， 当时，元， 当时，元， 的值上调了时，的值上调了；的值上调了时，的值上调了. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，并学会看图提炼已知，用二元一次方程列举法来表示解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$