专题02 一元二次方程重难点题型汇编（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题02 一元二次方程重难点题型汇编（十大题型） 重难点题型归纳 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型05：有关一元二次方程传播问题】 【题型06：有关一元二次方程面积问题】 【题型07：有关一元二次方程图表信息问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．（24-25八年级上·上海·期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）关于的一元二次方程的二次项系数为5，则它的一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．2， C．2，1 D．，1 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，，3 B．1，4， C．1，， D．1，2，3 【题型02 ：一元二次方程的解】 5．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（   ） A．3 B． C．3或 D． 6．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．－2 B．2 C．－4 D．4 7．（24-25九年级上·重庆南川·期末）已知为一元二次方程的根，那么的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若是一元二次方程的一个解，则 ． 9．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 10．（24-25九年级上·广东广州·期中）若是方程的解，则代数式的值为 ． 【题型03：解一元二次方程】 11．（24-25九年级上·云南文山·期中）解下列方程． (1)； (2)． 12．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25九年级上·新疆阿克苏·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 14．（24-25九年级上·重庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 15．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 16．（24-25九年级上·云南文山·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 18．（24-25九年级上·广东茂名·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 19．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 20．（24-25九年级上·广西柳州·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 21．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知，是方程的两根，则代数式的值是 22．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【题型05：有关一元二次方程传播问题】 23．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 24．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·广东江门·期中）为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程 ． 28．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ． 【题型06：有关一元二次方程面积问题】 29．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则通道宽应满足的方程是（　　） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为 步． 31．（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 32．（24-25九年级上·北京海淀·期中）2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 【题型07：有关一元二次方程图表信息问题】 33．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题. 34．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 35．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 36．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 37．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用． (1)当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元． (2)如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆______间房有游客居住（用含的代数式表示）； (3)若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 38．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？    39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？ 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． (1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； (2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 42．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． (1)求该商品销售量的月增长率； (2)该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？ 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 43．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程重难点题型汇编（十大题型） 重难点题型归纳 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型05：有关一元二次方程传播问题】 【题型06：有关一元二次方程面积问题】 【题型07：有关一元二次方程图表信息问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．（24-25八年级上·上海·期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，运用定义对每个方程作出判断． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）关于的一元二次方程的二次项系数为5，则它的一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．2， C．2，1 D．，1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及形式，掌握一元二次方程方程中各项系数是解题的关键．根据一元二次方程一般式及各项的系数即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数为5， ∴一次项系数是，常数项是， 故选：B ． 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数最高次是次的整式方程，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故选：C 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，，3 B．1，4， C．1，， D．1，2，3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及其相关定义，掌握一元二次方程的有关概念是解题的关键；先把原方程化为一般形式，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，4，， 故选：． 【题型02 ：一元二次方程的解】 5．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（   ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，一元二次方程的定义，把代入方程再结合一元二次方程的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴，， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．－2 B．2 C．－4 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，即，然后将变形为，再将代入求值即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是， ， ， ， 故选：． 7．（24-25九年级上·重庆南川·期末）已知为一元二次方程的根，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由一元二次方程的解可得，再代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵为一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若是一元二次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入中，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：把代入中， 得：， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值．由一元二次方程的解可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·广东广州·期中）若是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，代入求值，理解并掌握一元二次方程的根是解题的关键． 利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型03：解一元二次方程】 11．（24-25九年级上·云南文山·期中）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： 即：； 解得：； （2）解： 即：； 解得：． 12．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． （1）用公式法求解； （2）先移项，再用因式分解法求解． 【详解】（1）解：方程，其中． ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． ， 即． （2）， 则或． 解得． 13．（24-25九年级上·新疆阿克苏·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∴或 ， 14．（24-25九年级上·重庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， 则， ∴， 解得：． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 15．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为，所以，故方程有两个相等的实数根．即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即方程有两个相等的实数根． 故选：C． 16．（24-25九年级上·云南文山·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式，根据一元二次方程根的情况得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 17．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，根据一元二次方程的定义得到二次项系数不等于，解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且， 故选：A． 18．（24-25九年级上·广东茂名·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键．根据题意，由且求得m的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴的最大整数值是4， 故选：D． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 19．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟知若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 20．（24-25九年级上·广西柳州·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知，是方程的两根，则代数式的值是 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义；利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可． 【详解】解：，是关于的方程的两根， ，，． ． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入代数式计算即可得解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型05：有关一元二次方程传播问题】 23．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学 每名同学要送出张； 又是互送纪念卡， 总共送的张数应该是． 故选：D． 24．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 25．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题——传播问题；理清每一轮感染后的人数是解题的关键． 一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即．再根据经过两轮感染后患病人数竟高达324人，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人， 则两轮感染后的总人数为：． 故选：B． 26．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关系列方程是解题的关键． 设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，列出方程即可． 【详解】解：设参赛队伍有x支， 根据题意得，． 故选：C． 27．（24-25九年级上·广东江门·期中）为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 故答案为：． 28．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．根据每一轮中发送人数与接收人数列方程即可． 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向个人发送短信， 则， 故答案为： 【题型06：有关一元二次方程面积问题】 29．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则通道宽应满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程与几何图形面积的计算，理解图示中数量关系，掌握一元二次方程计算实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，通道宽m，则两块矩形绿地的长为，宽为，由两块绿地面积之和为，即可列式． 【详解】解：根据题意，两块矩形绿地的长为，宽为，由两块绿地面积之和为， ∴， 故选：C ． 30．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为 步． 【答案】24 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设矩形的宽为步，则矩形的长为步，再列方程，即可解答，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设矩形的宽为步，则矩形的长为步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：24． 31．（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为 ， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 32．（24-25九年级上·北京海淀·期中）2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，设，则，即可作答． （2）根据矩形养鸡场，代入数值，进行求解即可. 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，设，且的铁栅栏， ∴长为， 即 （2）解：由题意可知： 解得：， ∵当时，，，不合题意，舍去． 当时，，符合题意， 答：鸡场的长为． 【题型07：有关一元二次方程图表信息问题】 33．（19-20九年级上·山西阳泉·期末）阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题. 【答案】矩形的阔为24步，长为36步 【分析】如果设矩形田地的宽为x步，则长为(x+12)步，根据面积为864，即可得出方程求解即可． 【详解】设阔为步，则长为步． 根据题意，列方程得： 解方程，得，(不合题意，舍去)． 答：矩形的阔为24步，长为36步． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽． 34．（19-20九年级上·江苏苏州·期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 【答案】参加旅游的人数40人. 【分析】首先设有人参加这次旅游，判定，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可. 【详解】设有人参加这次旅游 ∵ ∴参加人数 依题意得： 解得：， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意 答：参加旅游的人数40人. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程. 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 35．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 【答案】(1) (2)2592 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个． 36．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键； （1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可； （2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 化简得：， 解得：（舍去）； 答：进馆人次月平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次； 由于进馆人次的月平均增长率为， 则第四个月的进馆人次为：； 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 37．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用． (1)当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元． (2)如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆______间房有游客居住（用含的代数式表示）； (3)若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)应该将每间房每天定价为350元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． （1）根据“当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房”和“利润=(定价-每天支出20元的费用）×房间数”． （2）根据有游客居住的房间数增加的价格，即可求出结论； （3）根据总利润每间房的定价 有游客居住的房间数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：当定价为200元时，(间)． 元， 故答案为：； （2）解：当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆会空闲间房， ∴此时宾馆间房有游客居住． 故答案为：． （3）设房价定为元， 根据题意，得． 整理，得， 解得． 答：应该将每间房每天定价为350元． 38．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？    【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天1080元的利润 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设提高了元，则销售价格为元，利润为（元），少卖份， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， ∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润． 39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？ 【答案】每件工艺品单价应降25元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量为件，根据总利润等于每件的销售利润乘以销售数量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量为件， 依题意，得：， 整理，得，           解得：， 尽快减少库存，（舍去）， 答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元． 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价降低元，则每天可售出千克，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为，依题意， 得， 解得，（不合题意，舍去）． 月平均增长率是； （2）解：设售价降低元，则每天可售出千克，依题意， 得， 整理得， 解得，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低3元． 41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． (1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； (2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【答案】(1)假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； (2)①元，②每件元 【分析】（1）设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，根据2023年“五一”假期，假期接待游客突破81万人次，再建立方程求解即可； （2）①由每件利润乘以销售量可得利润；②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得，，计算求解，然后判断即可． 【详解】（1）解：设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，则 ， ∴， 解得：，（舍去）， ∴假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； （2）①当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为； （元）， ②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， ∵，要让利给顾客， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 42．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． (1)求该商品销售量的月增长率； (2)该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？ 【答案】(1)该该商品销售量的月增长率为； (2)该商品的实际售价应定为66元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练求得等量关系是解题的关键． （1）设该商品销售量的月增长率为x，可根据2月份到4月份销售量的月增长率相同，列方程，即可解答； （2）设该商品的实际售价为y元，可得销售数量为件，即可解答． 【详解】（1）解：设该商品销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该该商品销售量的月增长率为； （2）解：设该商品的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， （不合题意，舍去）， 答：该商品的实际售价应定为66元. 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 43．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，， ∵四边形是矩形， ∴ ， ，， ∴， ∴四边形的面积 ； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时， 如图1，过作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，可有， ∴， 解得，； ②当时， 如图2，过作于， 由①可知四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ③当时， ∴， ∴， 在中，可有， ∴， ∴． 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$