专题03 直角三角形重难点题型归纳（四大类型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题03 直角三角形重难点题型归纳（四大类型） 【题型1 直角三角形的判定】 【题型2 全等的性质与HL综合】 【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 【题型1 直角三角形的判定】 1．的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，3，4 D．1，2，3 4．已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 5．先阅读下列一段文字，再回答下列问题． 对于平面直角坐标系中的任意两点、，其两点间的距离公式为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)若点、，试求A、B两点间的距离； (2)若已知各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗？请说明理由． 6．如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【题型2 全等的性质与HL综合】 7．如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，且，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B． C．3 D． 9．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 10．如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点，且，于点．若，则的长为 ． 11．如图，四边形中，，交于点，，．若，，则的长为 ． 12．如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 13．如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 14．如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】 15．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在四边形中，，，，求图中的度数及四边形的面积． 17．如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 18．如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 20．如图，某公园有一块四边形草坪，计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求小路的长； (2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？ 21．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 22．随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 23．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到0.1） 24．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 25．在中，．如图1，若时，根据勾股定理有． (1)如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； (2)如图3，当为纯角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； (3)如图4，一块四边形的试验田，已知米，米，米，米，求这块试验田的面积． 26．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉， (1)求证：是直角三角形． (2)若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 27．如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为多少米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直角三角形重难点题型归纳（四大类型） 【题型1 直角三角形的判定】 【题型2 全等的性质与HL综合】 【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 【题型1 直角三角形的判定】 1．的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定，如果有边长，则可利用勾股定理的逆定理进行判定；如果有角度相关条件，则利用有一个角是的三角形是直角三角形进行判定． 根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理对各项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：设，则：，， ， 解得：， 此三角形不是直角三角形；故A选项符合题意； B选项：∵， ∴， 此三角形是直角三角形；故B选项不符合题意； C选项：，且， ， ， 此三角形是直角三角形；故C选项不符合题意； D选项：∵， 此三角形是直角三角形；故D选项不符合题意； 故选A． 2．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，3，4 D．1，2，3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件；掌握勾股定理的逆定理是关键；按照勾股定理的逆定理及构成三角形条件，逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、，这三条线段不能构成三角形，故不符合题意； 故选：C． 4．已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的定义等知识点，利用非负数的性质得出a、b、c之间的关系是解题的关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 5．先阅读下列一段文字，再回答下列问题． 对于平面直角坐标系中的任意两点、，其两点间的距离公式为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)若点、，试求A、B两点间的距离； (2)若已知各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗？请说明理由． 【答案】(1)13 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，勾股定理逆定理，解题的关键是掌握题目所给的距离公式． （1）根据题目所给距离公式，即可解答； （2）先求出，再根据勾股定理逆定理，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵、， ∴． （2）解：∵、、， ∴， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形． 6．如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用证明，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，即可得出的形状． 【详解】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 又， 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三线合一，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． 【题型2 全等的性质与HL综合】 7．如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，且，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出和．过C作轴于M，轴于N，推出，证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 8．如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，由折叠的性质得到，，再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 10．如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点，且，于点．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．过点Q作交的延长线于点N，先证明，得，再证明，得，然后证明，据此即可得出结论． 【详解】解：如图，过点Q作交的延长线于点N， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 11．如图，四边形中，，交于点，，．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．连接，证明得，，则，再证明得，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：． 故答案为：4． 12．如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据已知可得到从而利用判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由求得的长即可得到答案． 【详解】（1）∵，， ， ， ． （2）由， 得， 又∵，， ． 13．如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2），理由如下： 在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 14．如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)6；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先得，因为是的外角，故，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴ ∴， ∵， ∴． 【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】 15．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 16．如图，在四边形中，，，，求图中的度数及四边形的面积． 【答案】； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．连接，利用等腰直角三角形的性质求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴． 17．如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）在中，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴为直角三角形，即， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴． 18．如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】（1）解：连接，如图． 在中，，，，， ∴， 解得（负值舍去） 即A、C两点之间的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴四边形纸片的面积 ． 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 20．如图，某公园有一块四边形草坪，计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求小路的长； (2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？ 【答案】(1) (2)24秒 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与萌萌的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 ∴当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与萌萌的距离最近． 21．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 【答案】(1)，理由见解析 (2)路线更短 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，分别计算两条路线的长度，即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意可知，米，米，点在点的正东方米处，即米 ∵， ∴是直角三角形，， 即； （2）由题意可知，， ∴（米）， ∴（米） 而（米） ∵， ∴路线更短 22．随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1)能，理由见详解 (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论 【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号 （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答∶有秒可以接收到信号 23．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到0.1） 【答案】(1)，理由见解析 (2)购物车把手到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线分别于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 24．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C能被扑灭，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 25．在中，．如图1，若时，根据勾股定理有． (1)如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； (2)如图3，当为纯角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； (3)如图4，一块四边形的试验田，已知米，米，米，米，求这块试验田的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)这块试验田的面积是9600平方米． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理． （1）过点作于点，构造两个直角三角形，设，则，由勾股定理和构造等式，利用放缩法可得； （2）过点作，交的延长线于点，构造两个直角三角形设，则，利用勾股定得，整理得，利用放缩法； （3）连接．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求得，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：如图2，过点作于点，设，则， 在Rt中，有， 在Rt中，有， ∴， 解之：， ∵均为正数， ∴； （2）解：猜想：， 证明：如图，过点作，交的延长线于点，设，则， 在Rt中，有， 在Rt中，有 ， ∴， 解之：， ∵均为正数， ∴； （3）解：如图，连接． 在中，有， ∴， ∵， ∴ ， 在中，有， ∴， ∴， ∴这块试验田的面积， ， （平方米）， ∴这块试验田的面积是9600平方米． 26．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉， (1)求证：是直角三角形． (2)若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)3600元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，，且．得，结合勾股逆定理即可作答． （2）过作于点，结合等腰三角形的性质得，运用勾股定理计算，再运用割补法进行求面积，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，且． ∴， 即， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：如图，过作于点， ，，过作于点 ， 在中， 由勾股定理得：， 由（1）得，是直角三角形， ， （元）． 答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元． 27．如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为多少米． 【答案】(1)； (2)被监控到的道路长度为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形， ， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 被监控到的道路长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$