专题01 平面向量（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题01平面向量 【考点01 ：向量的有关概念】 【考点02：向量的线性运算】 【考点03：投影向量】 【考点04：共线/平行向量定理】 【考点05：垂直向量】 【考点06：数量积的运算】 【考点07：判断基底】 【考点08：正弦定理和余弦定理综合应用】 知识点1 ：向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 知识点3：共线向量定理/垂直向量的充要条件 ①向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 或设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. ②两个向量垂直的充要条件 当，≠时，⊥·＝0 知识点3：向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点4：平面向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 2.数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 常用结论 1． 中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 2．＝λ＋μ(λ,μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1. 3．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线 4．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． 知识点5 ：正、余弦定理及变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 知识点6：三角形常用面积公式 1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)； 2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 知识点7：解三角形中的常用结论 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 考点01：平面向量的概念 1．下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【分析】由向量的定义即可判断 【详解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向 故选:C 2．已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起点是M D．终点是M 【答案】D 【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】AC 【分析】根据向量的有关定义即可判断选项正误. 【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确； B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误； C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确； D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误． 故选：AC． 考点02：向量的线性运算 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 5．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】在中，，则. 故选：C 6．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：D. 7．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形结合向量线性运算即可. 【详解】. 故选：A. 8．（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 考点03：投影向量 9．已知，且满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用投影向量的概念，结合数量积运算计算即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 10．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可. 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 11．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用模的平方求出数量积，再结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由已知，且， 则， 解得， 故在上的投影向量是＝. 故选：B. 12．已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影的意义求解即得. 【详解】向量，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影数量为. 故选：A 考点04：共线/平行向量定理 13．已知向量，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故选：B 14．已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得. 【详解】由，可得， 若若与平行可知， 解得. 故选：A 15．已知平面向量，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据向量共线的结论求参数的值. 【详解】因为，由， 所以 . 故选：D 16．已知向量，，则是向量与向量共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由向量共线解得的值，从而判断充分性和必要性. 【详解】当时，，，则向量与向量共线； 当向量与向量共线时，，即，解得或， 所以是向量与向量共线的充分不必要条件. 故选：A. 17．已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 18．已知，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由向量线性运算的坐标表示以及向量共线可列方程求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，解得. 故选：A. 19．已知三点共线，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】D 【分析】根据得到方程，求出答案. 【详解】， 因为三点共线，故， 即，解得. 故选：D 20．已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量是不共线的向量，且， 对于A中，设，即， 可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以A不正确； 对于B中，设，且，可得， 可得，解得 ，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，设，且，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以C不正确； 对于D中，设，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以D不正确. 故选：B. 21．已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解. 【详解】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线， 所以， 所以, 故选：D 22．在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解. 【详解】因为A，B，C三点共线， 则，， 即， 则，解得. 故选：C 23．已知向量，，，若、、三点共线，则 . 【答案】 【分析】计算出、的坐标，由题意可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】已知向量，，， 则， ， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故答案为：. 24．已知向量，. (1)若与共线，求的值； (2)若，，且三点共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共线向量的坐标表示可构造方程求得结果； （2）由三点共线可知共线，由此可构造方程求得结果. 【详解】（1），，又与共线， ，解得：. （2），，又三点共线， ，解得：. 考点05：垂直向量定理 25．已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，， 故， 所以， 故选：D 26．已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标公式，求得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：A. 27．已知向量，，若存在唯一的实数t，使得，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据垂直的坐标表示得，再转化为判别式为0即可. 【详解】由，得， 即， 由题意可知，存在唯一的实数，使得， 则关于的方程有且只有一个解， 所以，解得. 故选：A. 28．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 【答案】B 【分析】由已知条件结合向量垂直的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题， 因为，所以. 故选：B. 29．已知向量， ，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】，，则， 即，解得. 故选：C. 30．已知，则的值为 . 【答案】 【分析】由，可得，再根据数量积的坐标运算公式即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 【考点06：数量积的运算】 31．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的定义求解． 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 32．已知向量与的夹角，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意先求出，再由向量模长公式即可求解. 【详解】由题， 所以. 故答案为：. 33．已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 34．已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果； （2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 【考点07：判断基底】 35．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用平面向量基底的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，由，得不共线，B是； 对于C，，向量共线，C不是； 对于D，，向量共线，D不是. 故选：B 36．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据向量的共线与否，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，与共线，所以不能作为基底，故A错误， 对于B，，故两向量共线，B错误， 对于C，，，，两向量不共线，故可作为基底，C正确， 对于D，，两向量共线，D错误， 故选：C 37．在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】判断两向量是否共线，即可得解. 【详解】对于A：因为，，所以，则，故不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以与不共线，故可以作为一组基底，故B正确； 对于C：因为，，所以，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D：因为，，所以，所以，故不能作为一组基底，故D错误. 故选：B 38．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】利用不共线的两个非零向量可以作为一组基底一一判断求解. 【详解】对A，因为为零向量，所以不能作为基底，A错误； 对B，因为，所以不共线，可以作为基底，B正确； 对C，因为，所以共线，不能作为基底，C错误； 对D，因为，所以不共线，可以作为基底，D正确； 故选：BD. 【考点08：正弦定理和余弦定理综合应用】 39．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【答案】(1)； (2)周长、外接圆面积分别为、. 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求角的大小； （2）由三角形面积公式有，应用余弦定理得，即可求周长，再由正弦定理求外接圆半径，进而求面积. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； （2）因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 40．在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由求出，由正弦定理得到答案； （2）由三角形面积公式得到方程，求出，由余弦定理得到. 【详解】（1），且， ， 由正弦定理得， 又， ； （2）， . 由余弦定理得：， . 41．在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 42．在中，内角A、、的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，．求： （ⅰ）面积和边长； （ⅱ）的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【分析】（1）由正弦定理边角互换可得答案； （2）（ⅰ）由三角形面积公式及余弦定理可得答案； （ⅱ）由余弦定理可得，后由倍角公式，两角差的正弦公式可得答案. 【详解】（1）因，由正弦定理可得： 又在三角形中， ，则. 又，则，又，则； （2）（ⅰ）由（1），； 又由余弦定理，， 则； （ⅱ）由余弦定理：， 则，，又 . 则. 43．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． （2）由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 44．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后结合三角恒等变换的公式求解即可； （2）利用得到，结合余弦定理解出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，， 则由得：， 在中，， ，则， ，， ， ，； （2）∵D为AC的中点，，，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积. 45．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)当时，求a的值； (2)若的面积为3时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，所以可得，由正弦定理可得. （2）由的面积为3，可得，由余弦定理得 ，解得，两式联立可得. 【详解】（1）∵，∴， 由正弦定理可知： ，∴. （2）∵， ∴， 由余弦定理得：， ∴，即， 则：， 故：. 46．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)若，，求c； (2)若的面积为，，求a. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先明确三角形的形状，再利用直角三角形的边角关系求边. （2）先利用三角形的面积求边，再利用余弦定理求边. 【详解】（1）如图：      在中，因为，，所以，所以为等腰三角形. 过作于，则为中点. 在中，，，，所以，即. （2）因为： . 由余弦定理： ， 所以 47．在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积为b，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由正弦定理得，可得，再代入，得，可求，进而可得的值； （2）由三角形的面积可得，再由余弦定理得，由同角三角函数的关系可得，计算可求得的值. 【详解】（1）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴； （2）∵，∴， ∵且，∴， ∵，∴，∴或， 当时，，∴， 当时，，∴. 48．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理角化边得，进而可求； （2）由面积公式可得，由正弦定理角化边得，代入，从而可求，进而可求，从而可求. 【详解】（1）根据余弦定理可得，，则， 所以； （2）因为，所以， 又的面积为，所以，即， 因为，结合正弦定理可得， 又，所以，解得， 所以， 所以，即， 所以的周长为. 49．已知中，角的对边分别为，. (1)是边上的中线，，且，求的长度. (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正弦定理求出，对两边平方求出中，再由余弦定理可得答案； （2） ，根据为锐角三角形求出的范围，再由的范围可得答案. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 因为，所以， 所以，因为，所以，解得， 因为，所以， ， 又因为，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以，即； （2）由题设 ， 因为为锐角三角形，所以 ，从而， 可得，所以， 则面积的取值范围是. 50．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，, ． ． . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01平面向量 【考点01 ：向量的有关概念】 【考点02：向量的线性运算】 【考点03：投影向量】 【考点04：共线/平行向量定理】 【考点05：垂直向量】 【考点06：数量积的运算】 【考点07：判断基底】 【考点08：正弦定理和余弦定理综合应用】 知识点1 ：向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 知识点3：共线向量定理/垂直向量的充要条件 ①向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 或设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. ②两个向量垂直的充要条件 当，≠时，⊥·＝0 知识点3：向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点4：平面向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 2.数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 常用结论 1． 中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 2．＝λ＋μ(λ,μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1. 3．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线 4．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． 知识点5 ：正、余弦定理及变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 知识点6：三角形常用面积公式 1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)； 2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 知识点7：解三角形中的常用结论 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 考点01：平面向量的概念 1．下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 2．已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起点是M D．终点是M 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 考点02：向量的线性运算 4．（   ） A． B． C． D． 5．在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 考点03：投影向量 9．已知，且满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 10．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 12．已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 考点04：共线/平行向量定理 13．已知向量，，且，则（     ） A． B． C． D． 14．已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 15．已知平面向量，且，则（   ） A． B． C． D．1 16．已知向量，，则是向量与向量共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．已知，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 19．已知三点共线，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 20．已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 21．已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．已知向量，，，若、、三点共线，则 . 24．已知向量，. (1)若与共线，求的值； (2)若，，且三点共线，求的值. 考点05：垂直向量定理 25．已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C．4 D． 27．已知向量，，若存在唯一的实数t，使得，则（    ） A． B． C．2 D．4 28．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 29．已知向量， ，且，则（    ） A． B． C． D． 30．已知，则的值为 . 【考点06：数量积的运算】 31．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 32．已知向量与的夹角，且，，则 ． 33．已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 34．已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【考点07：判断基底】 35．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 36．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 37．在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 38．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点08：正弦定理和余弦定理综合应用】 39．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 40．在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 41．在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 42．在中，内角A、、的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，．求： （ⅰ）面积和边长； （ⅱ）的值． 43．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 44．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 45．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)当时，求a的值； (2)若的面积为3时，求的值． 46．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)若，，求c； (2)若的面积为，，求a. 47．在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积为b，求的值. 48．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 49．已知中，角的对边分别为，. (1)是边上的中线，，且，求的长度. (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 50．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$