专题01 平面向量运算（4个考点7种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题01平面向量的运算 一、单选题 1．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法运算，即可求解. 【详解】由题意，. 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知,,代入条件根据向量加法的运算法则计算即可得到答案. 【详解】由题意可知: ,, 所以. 故选：D 3．（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的运算法则可得结果. 【详解】易知. 故选：B 4．（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【详解】. 故选：D. 5．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 6．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算计算即可． 【详解】， 故选：D． 7．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 8．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，点在边上，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根已知条件和向量的减法法则即可直接计算得解. 【详解】由题. 故选：B. 9．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减运算可得结果． 【详解】， 故选：B． 10．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法计算即可. 【详解】. 故选：D. 11．（15-16高一上·湖北孝感·期末）四边形ABCD中，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】由三角形法则可得：. 故选：A 12．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法和减法公式，即可求解. 【详解】. 故选：D 13．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，已知，记，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据向量减法运算，再求模. 【详解】. 故选：C 14．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知：，结合向量减法运算分析求解. 【详解】因为， 可知，当且仅当反向时，等号成立； ，当且仅当同向时，等号成立； 所以的取值范围为. 故选：D. 15．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 16．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数乘向量的运算律化简求解即可. 【详解】根据向量运算公式可知， . 故选：D. 17．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用将用表示，由共线定理推论即可求得. 【详解】因为所以 由, 因三点共线，由共线定理推论可得，解得 故选：A. 18．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）设分别是所在边上的两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由题意知，点分别是边上的两点，且满足， 可得. 故选：B. 19．（22-23高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由三点共线定理可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 20．（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案. 【详解】原式． 故选：D． 21．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知向量与向量不共线，若向量与向量共线，则实数的值为（    ） A．2或 B．或1 C．2 D．任意实数 【答案】A 【分析】根据题意，存在实数，使得成立，由向量与向量不共线可得，消去可得的值. 【详解】因为向量与向量共线， 所以存在实数，使得成立， 即，又向量与向量不共线 所以，消去可得，解得或. 故选：A. 22．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量加减法则，即可得到答案. 【详解】由题意有， 所以． 故选：A 23．（23-24高一下·河南新乡·期中）在中，边上的中线为，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的线性运算即可. 【详解】   为的中点， ， . 故选：A. 24．（2024·全国·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，因为，所以为的中点， 又因为，所以为线段的靠近的三等分点， 所以． 故选：D． 25．（21-22高二上·北京·开学考试）已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】由可得，即，解之即可求解. 【详解】由，等式两边同时平方得， 又的夹角为，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以. 故选：B. 26．（21-22高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义，列式求出夹角的余弦. 【详解】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得， 由，得，解得， 所以. 故选：C 27．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 28．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 29．（21-22高一下·四川眉山·期末）向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】由两边平方得，即， 所以，又，所以. 故选：A 30．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量的定义，结合向量数量积的运算律即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 即， 则有， 又向量与的夹角为，， 所以. 故选：C. 31．（20-21高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为120°，且，则（　　） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【分析】应用数量积的运算律及其定义求结果. 【详解】. 故选：D 32．（22-23高三上·甘肃张掖·阶段练习）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将原问题转化为，结合向量的数量积公式可得答案. 【详解】解：因为向量与的夹角为， 所以， 所以 ， 故选：A. 33．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解. 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 34．（20-21高三上·陕西西安·阶段练习）已知，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由数量积的定义求出，再由模的平方运算代入数量积求解可得. 【详解】∵，，且与的夹角为， ∴， ∴， 故． 故选：A. 35．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求. 【详解】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 二、多选题 36．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的加法法则可逐一判断． 【详解】对于A，由平面向量加法的平行四边形法则得，A正确； 对于B项，，B错误； 对于C项，，C正确； 对于D项，，D正确． 故选：ACD 37．（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量加减法的计算法则直接可得解. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：ABD. 38．（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断. 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 39．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 40．（23-24高一下·广东广州·期中）已知正方形的边长为2，则为 ． 【答案】 【分析】根据向量的加法公式，以及正方形的性质，即可求解. 【详解】. 故答案为： 41．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，点是内一点且，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】取的中点，根据平面向量的线性运算判断出点的位置，进而可得出答案. 【详解】取的中点， 因为，所以，故， 即，所以点为的中点， 所以 故答案为：. 42．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 【答案】 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由题意，所以． 故答案为：. 四、解答题 43．（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3） . 44．（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 45．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 46．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知中，， P在线段上，且，，设，. (1)用向量，表示； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 利用向量的线性运算计算即可； （2）根据条件求出，再根据数量积的定义计算即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）根据题意知，                             所以 47．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求在方向上的投影向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据模长及夹角得出向量的数量积； （2）根据向量的数量积求模长； （3）先根据垂直得出数量积，再根据数量积计算投影向量即可. 【详解】（1）. （2）由，得， 所以.故. （3）由题意得，即，得， 所以.因为，所以， 在方向上的投影向量： 48．（23-24高一下·山东济南·期中）已知向量，满足，，且与的夹角为． (1)求及的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律求出； （2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）向量，满足，，且与的夹角为， ， ， ； （2）， ， ， ，解得． 49．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值； （2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为在菱形中，. 故， 故，所以. （2）显然， 所以 ……① 因为菱形，且，故. 所以. 故①式. 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01平面向量的运算 一、单选题 1．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 3．（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，点在边上，，记，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 11．（15-16高一上·湖北孝感·期末）四边形ABCD中，设，，，则（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，已知，记，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 14．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）设分别是所在边上的两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 20．（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知向量与向量不共线，若向量与向量共线，则实数的值为（    ） A．2或 B．或1 C．2 D．任意实数 22．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·河南新乡·期中）在中，边上的中线为，点满足，则（    ） A． B． C． D． 24．（2024·全国·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 25．（21-22高二上·北京·开学考试）已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 26．（21-22高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 28．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 29．（21-22高一下·四川眉山·期末）向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 31．（20-21高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为120°，且，则（　　） A．12 B． C．4 D．13 32．（22-23高三上·甘肃张掖·阶段练习）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 33．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 34．（20-21高三上·陕西西安·阶段练习）已知，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 36．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 39．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 40．（23-24高一下·广东广州·期中）已知正方形的边长为2，则为 ． 41．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，点是内一点且，则的面积为 . 42．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 四、解答题 43．（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 44．（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 45．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 46．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知中，， P在线段上，且，，设，. (1)用向量，表示； (2)若，求. 47．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求在方向上的投影向量. 48．（23-24高一下·山东济南·期中）已知向量，满足，，且与的夹角为． (1)求及的值； (2)若，求的值． 49．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$