第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式一定成立的为（   ） A． B． C． D． 4．小丽今年的身高超过了，则用不等式表示小丽今年的身高是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 6．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是（    ） 【用法用量】口服，每日，分1至2次服用 【不良反应】□□□□□□ 【注意事项】□□□□□□ A． B． C． D． 7．已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（      ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 9．定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 10．三角形的三边分别为，其中，且满足，，若为整数，则的长是（    ） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．点是第二象限内的一个点，则的取值范围是 ． 12．若，则 （填不等号）． 13．不等式的负整数解是 ． 14．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以380元的价格出售．“双十一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，设该护眼灯降价元，则可列出不等式为 ． 15．若关于的不等式可化为，则的取值范围是 ． 16．若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 17．如图，一次函数与交于点，则关于的不等式的解集是 ． 18．若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是 ；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．解不等式： (1) (2) 20．解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 21．已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 22．亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍． (1)采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？ (2)该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？ 23．已知：和是关于x、y的二元一次方程的两组解． (1)求k、b的值； (2)当时，求y的范围． 24．某商场计划一次性购进A，B两种商品共100件，每件商品的销售利润分别为A种商品80元，B种商品120元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的3倍，设购进A种商品x件，这100件商品的销售总利润为y元． (1)求y与x之间的函数表达式（写出自变量x的取值范围）； (2)该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？并求出最大的销售总利润． 25．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 26．我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有A符合题意． 故选：A． 2．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 3．若，则下列不等式一定成立的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．由不等式的基本性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、， ，故A错误，不符合题意； B、， ，故B错误，不符合题意； C、， 当时，，当时，，故C错误，不符合题意； D、， ，故D正确，符合题意； 故选：D． 4．小丽今年的身高超过了，则用不等式表示小丽今年的身高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列不等式，解题的关键是理解题意，根据小丽今年的身高超过了，列出不等式即可． 【详解】解：小丽今年的身高超过了，用不等式表示小丽今年的身高是． 故选：C． 5．下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 解出各个选项中不等式的解集，即可判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由可得，故选项A错误，不符合题意； 由不等式可得，故是不等式的一个解，但不是不等式的解集，故选项B错误，不符合题意； 由不等式可得，故选项C错误，不符合题意； 由不等式可得，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 6．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是（    ） 【用法用量】口服，每日，分1至2次服用 【不良反应】□□□□□□ 【注意事项】□□□□□□ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，结合已知条件列不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】解：由题意可得， 即， 即x的取值范围是， 故选：C． 7．已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（      ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数即不等式性质，根据范围，确定代数式的范围，进而得出答案． 【详解】解：， ，即， 满足条件的点可能是Q， 故选：D． 8．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 9．定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式，根据解集列方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于x的不等式的解集为， ∴， ∴． 故选：B． 10．三角形的三边分别为，其中，且满足，，若为整数，则的长是（    ） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系和解不等式组，根据三边关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵是三角形的三边，且， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴的长是4或5， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．点是第二象限内的一个点，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点在象限内的坐标符号特点，不等式组的解法，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点是解题关键．根据点是第二象限内的点，即可得到横纵坐标的符号，再建立不等式组即可求解． 【详解】解：∵是第二象限内的点， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．若，则 （填不等号）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键 .根据不等式的性质即可得到答案. 【详解】解：， 当时，， 当时，， ， 故答案为：. 13．不等式的负整数解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可． 【详解】解：不等式的负整数解为，， 故答案为：，． 14．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以380元的价格出售．“双十一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，设该护眼灯降价元，则可列出不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系，掌握不等式解决实际问题的方法是解题的关键． 根据售价减去降价元，再减去进价大于等于的利润，由此列式即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 15．若关于的不等式可化为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围． 【详解】解：不等式可化为， ， 解得：， 故答案为：． 16．若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先解出的不等式组的解集是，再结合关于的不等式组有解，则，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵有解， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，一次函数与交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据函数图象，可以发现当时，一次函数的图象在的图象的上方，从而可以得到不等式的解集． 本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键． 【详解】解：由图象可知， 当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴的解集为． 故答案为： ． 18．若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是 ；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程，不等式的性质，列代数式，整式的加减，熟练根据题意列出代数式，并熟练掌握分离整数法，解不定方程是解题的关键．利用千位为，得出，要使“合作数”最大确定百位数为，得出，再取十位最大即可；根据题意列出前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和为，利用它们的和被整除，得出是整数，结合及、、、的性质得出，则此时，结合、、、的性质即可得出满足条件的最大“合作数”． 【详解】解：∵“合作数”千位为，， ∴， 要使“合作数”最大，则百位数为， ∴，即， ∵各个数位上的数互不相等， ∴十位数为且个位数为时，“合作数”最大， ∴若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是； 由题意得、、、是整数，且，，，， 前三位数可表示为，后三位数可表示为， ∴它们的和为， ∵它们的和被整除， ∴是整数， ∵、、、是整数， ∴是整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，且各个数位上的数互不相等， ∴， 又∵是整数， ∴， ∴，即， 又∵、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大取（大于时，）， 此时， ∵，、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大值为，此时，， ∴满足条件的“合作数”最大是， 故答案为：①；②． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．解不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤，要根据各不等式的特点灵活应用． （1）利用不等式的基本性质，先移项，然后合并同类项，系数化为一，即可得到不等式的解集． （2）利用不等式的基本性质，先去分母，去括号，然后移项，合并同类项，系数化为一，即可得到不等式的解集． 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：       20．解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解得， 解得， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为 21．已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先得出该不等式组的解集为．再结合“有5个整数解”这个条件得这5个整数解为3，2，1，0，，再列出，即可作答． 【详解】解：解不等式， 得． 解不等式， 得， 该不等式组的解集为． 这个不等式组有5个整数解， 这5个整数解为3，2，1，0，， ， ∴解得， 的取值范围为． 22．亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍． (1)采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？ (2)该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？ 【答案】(1)采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元 (2)最多采购大型纪念品20套 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意，正确的列出方程和不等式是解题的关键． （1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元，依题意列出方程即可得解； （2）设采购大型纪念品能套，依题意列出不等式即可得解； 【详解】（1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元． 根据题意得． 解得． ． 答：采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元． （2）设采购大型纪念品能套． 根据题意得． 解得． 答：最多采购大型纪念品20套． 23．已知：和是关于x、y的二元一次方程的两组解． (1)求k、b的值； (2)当时，求y的范围． 【答案】(1)的值为2，的值为 (2) 【分析】题考查了二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，不等式的性质，熟练知识点是解题的关键． （1）将已知两组解代入二元一次方程中得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值； （2）由与的值确定出二元一次方程，根据不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：和是关于、的二元一次方程的两组解， ， 解得：， 即的值为2，的值为； （2）解：由（1）得：该二元一次方程为， 当时，， ∴ ∴． 24．某商场计划一次性购进A，B两种商品共100件，每件商品的销售利润分别为A种商品80元，B种商品120元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的3倍，设购进A种商品x件，这100件商品的销售总利润为y元． (1)求y与x之间的函数表达式（写出自变量x的取值范围）； (2)该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？并求出最大的销售总利润． 【答案】(1)（且x为整数） (2)购进A种商品25件、B种商品75件；最大的销售总利润为11000元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）先根据公式：销售总利润A种商品的销售总利润 B种商品的销售总利润，列出函数关系式，再求出自变量x的取值范围即可； （2）根据函数解析式得到随的增大而减小，再利用一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， B种商品的进货量不超过A种商品的3倍， ， 解得：， y与x之间的函数表达式为（且x为整数）． （2）解：， 对于函数，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， 此时， 该商场购进A种商品25件、B种商品75件，才能使销售总利润最大，最大的销售总利润为11000元． 25．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可知，然后求解即可； （2）根据和题目中的新定义，利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，解得． 故x的取值范围是； （2）解：因为， 所以当，即时， ， 解得； 当，即时， ， 解得，故． 综上所述，x的取值范围是或． 26．我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)是“无缘组合”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别解方程和不等式，判定是否符合定义； （2）分别解方程和不等式，根据方程的解在不等式的解集范围内确定的取值范围； （3）分别解方程和不等式，根据方程的解不在不等式的解集范围内确定的取值范围. 【详解】（1）解方程，得， 解不等式，得， 不在范围内， 组合是“无缘组合”． （2）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“有缘组合， 在范围内， （3）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“无缘组合”， ， 解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$