第一章 三角形的证明 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第一章 三角形的证明 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．3，4，5 D．5，6，7 2．下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 3．已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点，到杆脚的距离相等，点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等腰三角形的定义 B．垂线段最短 C．等腰三角形的三线合一 D．等腰三角形是轴对称图形 5．到三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 6．如图，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．如图：，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 9．如图，已知，点是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（   ） A．6 B． C．3 D． 10．已知和是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接交于点M，交于点N，交于点G，以下结论正确的个数是（）    ①；②；③；④连接是的角平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 12．等腰三角形的底边是，腰长是，那么这个等腰三角形的周长为 ． 13．如图，等边的三条角平分线交于一点O，则的度数为 ． 14．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的为 °． 15．如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长为 ． 16．如图，的高与交于点O，若，则 ． 17．如图，在中，，D，E分别为上的点，，，，，则的面积为 ． 18．如图，等腰腰长为6，等腰的斜边，点为边的中点，若等腰绕点旋转，则点到点的距离最大值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 20．如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数． 21．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 22．如图是单位长度为1的正方形网格．    (1)在图1中画出一条长度为的线段； (2)在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都是无理数的直角三角形． 23．菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 24．如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 25．如图，为正比例函数的图像上一点，轴，垂足为． (1)求的值． (2)①点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动设运动时间为．过点作交直线于点，若，求的值． ②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形．若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 26．在学习完全平方公式后，某数学活动小组对公式应用作了进一步综合与实践活动． 【活动一】代数计算 例如：若，，求的值． 解：，， ，． ． ． 请根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： （1）若，，求的值． 【活动二】数形结合 （2）已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中． ①如图1．若，的面积为6，和的面积之和为20，求线段的长； ②如图2，若与在同一直线上，连接，延长与交于点，在上截取，连接．若和的面积之和为13，的面积为6，则线段的长为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．3，4，5 D．5，6，7 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形，据此逐一判断，即可求解．能熟练利用此定理是解题的关键． 【详解】解：A、.，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 2．下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题； B. 每个定理不一定有逆定理，是假命题； C. 等腰三角形的顶角不一定是锐角，是假命题； D. 等腰三角形的底角必为锐角，是真命题； 故选：D． 3．已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两个底角相等，进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角的度数是：． 故选：C． 4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点，到杆脚的距离相等，点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等腰三角形的定义 B．垂线段最短 C．等腰三角形的三线合一 D．等腰三角形是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴（等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合）， 即得出垂直于的依据是等腰三角形的三线合一． 故选：C． 5．到三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解题关键．直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴到三个顶点的距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 故选：C． 6．如图，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和，等腰三角形性质等．根据题意先得到，再由得到，，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 7．如图：，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质，熟记等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键．根据等边对等角求出，再利用外角性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键．运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：B 9．如图，已知，点是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称求最短距离，作C点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接交于点D、交于点E，连接，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为3． 【详解】解：作C点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接交于点D、交于点E，连接，， 由对称性可知，，， ∴周长， 此时周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 即周长的最小值等于3， 故选：C． 10．已知和是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接交于点M，交于点N，交于点G，以下结论正确的个数是（）    ①；②；③；④连接是的角平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义．由等边三角形的性质可得出，，，从而推出，即可利用证明，可判断①；由全等的性质可得出，再利用三角形外角的性质即可推出，即可判断②；由和B、C、D三点共线，可求出，即可证明，得出，即可判断③；过点作于点P，于点Q，易证，得出，即又易证，得出，即GC是的角平分线，可判断④． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； ∵，B、C、D三点共线， ∴． ∴在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 如图，过点作于点P，于点Q，    在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即是的角平分线，不是的角平分线，故④错误． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形、等边三角形，掌握轴对称图形的定义和等边三角形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的定义和等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：等边三角形三条边上的高所在直线均为对称轴， 等边三角形有3条对称轴． 故答案为：3． 12．等腰三角形的底边是，腰长是，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形定义是关键．根据等腰三角形定义计算求出周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的底边是，腰长是， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：18． 13．如图，等边的三条角平分线交于一点O，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理．利用等边三角形的性质和角平分线的定义求得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵的三条角平分线交于一点O， ∴， ∴， 故答案为：． 14．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的为 °． 【答案】115或65 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，能根据题意进行分类讨论是正确解答本题的关键．分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【详解】解： ①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是． 故答案为：115或65． 15．如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质，可知，进而可知，即可求出的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 的周长， 故答案为：22． 16．如图，的高与交于点O，若，则 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．利用直角三角形两个锐角互余求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：和是的高， ， 在中，，， ， ； 故答案为：． 17．如图，在中，，D，E分别为上的点，，，，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于点F，延长交于点G，证明，求得．设，则，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：过点B作交的延长线于点F，延长交于点G． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 设，则，， ∴，解得， ∴． 故答案为：5． 18．如图，等腰腰长为6，等腰的斜边，点为边的中点，若等腰绕点旋转，则点到点的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，连接，如图所示，由等腰直角三角形的判定与性质得，然后利用三角形三条边的关系求解即可．确定当三点共线且点不位于点之间时有最大值是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在等腰中，，且， ∵点为边的中点， 由等腰三角形三线合一性质可知，即是斜边上的高线， ∴， 、均为等腰直角三角形， ． 等腰的斜边， ． 当三点不共线时，由三角形的三边关系可知，此时一定有；即当三点共线且点不位于点之间时有最大值，此时有， 等腰腰长为6， ∴，即点到点的距离的最大值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 【答案】， 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一解答．根据等腰三角形的性质求出，进而解答即可． 【详解】，， ， ，是中线， ，即． ． ，是的平分线， ． 是的外角， ． 20．如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据题意先求出，再证明，再根据直角三角形两内角互余即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ∵是等边三角形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 21．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的判定，角平分的定义，掌握角平分线的尺规作图基本步骤及角平分线的定义性质是解决的关键； （1）根据角平分线的尺规作图步骤，以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求； （2）根据角平分线的定义可以得到，即可证明； 【详解】（1）解：作图如图所示， 则为所求作的角平分线 （2）证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 22．如图是单位长度为1的正方形网格．    (1)在图1中画出一条长度为的线段； (2)在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求解； （2）根据勾股定理及其逆定理求解． 【详解】（1）如图：根据勾股定理．    故即为所求； （2）如图：根据勾股定理得：，，   ， 故直角三角形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理和逆定理，掌握网格结构特点和勾股定理是解题的关键． 23．菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 【答案】 【分析】该题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，根据题意求出，再根据勾股定理逆定理得出，再求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 则放置菊花盆栽区域的面积为： ． 24．如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，中垂线的性质以及角平分线的判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先根据中垂线的性质得到，可证，从而得到，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明； （2）易证，得到，再根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ，为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）解：在和中， ， ， ， ，，， ， 即， 解得． 25．如图，为正比例函数的图像上一点，轴，垂足为． (1)求的值． (2)①点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动设运动时间为．过点作交直线于点，若，求的值． ②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形．若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②当的值为2.5或4或6.4时，为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）把代入求解即可得到结论； （2）①根据两点之间距离公式得到，再由全等三角形的性质得到．分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，列方程求解即可得到结论；②由等腰三角形性质，分三种情况讨论：若；若；若，列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在正比例函数的图象上， ∴把代入，得， ∴的值为； （2）解：①由（1）知， ∴， ①若，则． 当点在线段上时，如图所示： 得，即，解得； 当点在线段的延长线上时，如图所示： 得，即，解得； 综上所述，的值是或； ②若，如图所示： 则点在的垂直平分线上， ， ，即， 此时， ∴； 若，如图所示： 在中，，，则由勾股定理可得， ，即， ∴； 若，过点作于点，如图所示： 由等面积法确定， 在中，，，则由勾股定理可得， 则由等腰三角形三线合一性质可知，，即， ∴． 综上所述，当的值为2.5或4或6.4时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了正比例函数的综合题，涉及正比例函数图象与性质、两点之间距离公式、勾股定理、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． 26．在学习完全平方公式后，某数学活动小组对公式应用作了进一步综合与实践活动． 【活动一】代数计算 例如：若，，求的值． 解：，， ，． ． ． 请根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： （1）若，，求的值． 【活动二】数形结合 （2）已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中． ①如图1．若，的面积为6，和的面积之和为20，求线段的长； ②如图2，若与在同一直线上，连接，延长与交于点，在上截取，连接．若和的面积之和为13，的面积为6，则线段的长为______． 【答案】（1）5（2）①8② 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的运用． （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）①根据等腰三角形的性质得，，然后根据三角形面积公式求得，，再根据，整体代入计算出的值，再开平方即可得出答案； ②根据等腰三角形的性质得，，，证得，根据全等三角形判定，得，然后证明是等腰直角三角形，即可证得，根据三角形面积公式求得，，再根据，整体代入计算出的值，再开平方即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）①∵等腰直角和等腰直角，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴； ②和是等腰直角三角形，， ，，， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$