第17章 一元二次方程（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第17章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的整体换根 【解惑】关于x的两个一元二次方程和，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（    ） A． B．或2023 C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ，， 是方程的一个根， 是方程的一个根， ， ， 是方程的一个根， 当时方程， 即是方程的一个根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题属于中等题型． 【融会贯通】 1．若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到，设，得到，所以，即可得到进而得到答案． 【详解】解：由得到， 对于一元二次方程， 设， ， 而关于的一元二次方程有一根为， 有一个根为， 则， ， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解答本题的关键． 2．若关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程变形为，结合题意得出或，求解即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，， ∴方程变形为，即此方程中或， 解得：，， 故答案为：，． 3．若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则关于x的一元二次方程的两根分别为 ． 【答案】， 【分析】可得，从而可得或，即可求解． 【详解】解：由得 ， 一元二次方程的两根分别为，， 或， ，； 故答案：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的同解问题，理解方程的解，掌握解法是解题的关键． 类型二、一元二次方程的解法——换元法 【解惑】解方程时，若设，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选B． 【融会贯通】 1．若，则的值为（   ） A．或1 B． C．1 D．3或1 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， 故选：C． 2．已知，那么式子的值为： ． 【答案】或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握用换元法解一元二次方程是解题的关键． 设，得到，解方程得或，即可得到答案． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ， 或， 或， 或 故答案为：或 ． 3．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，设，将原方程变为求解即可． 【详解】解：设，则方程为， 即， 解得，（舍去）， 则， 故答案为：． 类型三、一元二次方程的新定义运算 【解惑】对于任意个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键． 先根据新定义得到，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据题意得， 整理得， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【融会贯通】 1．定义运算：对于任意实数、，有，例如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的一般形式及根的判别式是解题的关键． 根据新定义可得，根据一元二次方程的一般形式可得，根据一元二次方程根的情况可得，解该一元一次不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 根据新定义，得：， 整理，得：， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 即的取值范围为且， 故选：． 2．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 【答案】或2/2或 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：或2． 3．对于实数 a，b，定义运算“﹡”：．例如，因为，所以 ．若 是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查新定义实数运算、解一元二次方程，理解新定义运算法则是解答的关键． 先解出所给的一元二次方程的根，再根据新定义的运算法则分情况求即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ， 解得：或2， ①当，时，； ②当，时，． 故答案为：3或． 类型四、一元二次方程的整数解 【解惑】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， ∴整数k的最大值为， 故选A． 【融会贯通】 1．已知关于的方程的根是整数，其中是实数，则可取的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的概念，因式解法求一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键，根据关于x的方程的根为整数，分类讨论，当时，运用因式分解求一元二次方程的根；当时，解一元二次方程得，结合题意判定是否符合题意；由此即可求解． 【详解】解：①当时，即和时， 由原方程，得, 解得，或， ∵关于的方程的根是整数， ∴； ②当时， 解得，， 分别可得，， 因此也可以； 综上所述，满足条件的值共有个． 故选：C． 2．若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值为 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解得方法是解题关键． 根据题意得出且，确定或，然后验证即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个整数根， ∴且， ∴或， 当时， 方程的根为， 当时， 方程的根为， ∴的值为2或8， 故答案为：2或8． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系，若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且，则的最小整数值是2． 故答案为： 类型五、一元二次方程的近似解 【解惑】根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 【融会贯通】 1．下表是若干组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … y … 0.36 0.13 －0.08 －027 －0.44 … 那么方程的一个近似根（精确到0.1）是（    ） A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 【答案】B 【分析】观察表格可得-0.08更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程x2-5x+c=0的一个近似根为1.5，故B正确． 故选：Ｂ． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 2．关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键． 当，解得；当，有或，分别解不等式组即可得出答案． 【详解】解：当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时， 则， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴， 当一元二次方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得：，或， 当时，， ∵， 设，则不在的范围内， ∴， 解得， 当时，原方程为：，解得，，，两个根都在的范围内，不符合题意； 当时，原方程为：，解得，，，不在的范围内，符合题意； 因此， 当时，， ∵， ∴不在的范围内， ∴， 解得无解， ∴的取值范围为或， 故答案为：或． 3．若关于x的方程（m为实数）在范围内有唯一实数根，则m的范围是 ； 【答案】或 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得，再解方程得，接着根据题意列出不等式，然后分别解两不等式，从而得到取值范围． 【详解】解：∵， ， 解得：， ， 解得：， 当时，，此时， ∴，符合题意； 当时， ∵方程在的范围内有唯一实数根， ，不等式组无解， 或，解不等式组得， 综上所述，的范围是或． 故答案为：或． 类型六、一元二次方程的规律 【解惑】阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6． (1)尝试：前15行的点数之和为 ； (2)思考：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．请说明理由； (3)拓展：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)120 (2)不能．理由见解析 (3)一共能摆20排． 【分析】本题考查实际问题与一元二次方程：与图形有关的问题，图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前行点数之和的变化规律是解题的关键． （1）依次求出前（为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）同（1）理，发现规律，利用规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为：1； 三角点阵中前2行的点数之和为：； 三角点阵中前3行的点数之和为：； 三角点阵中前4行的点数之和为：； ， ∴三角点阵中前行的点数之和为：． ∴前15行的点数之和为． 故答案为：120； （2）解：不能． 依题意，令得， 解得， ∵为正整数， ∴三角点阵中前行的点数之和不能为500． 故答案为：不能； （3）解：同理，三角点阵中前行的点数之和为：． 令得， 解得，． ∵为正整数， ∴， 即一共能摆20排． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） (2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程； (3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 【答案】(1)； (2)78是第12个三角形数，见解析； (3)55和66． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律，根据图形找出规律是解答关键． （1）根据图形找出规律求解； （2）根据（1）的规律来求解； （3）设较小的三角形数是，则较大三角形数是，根据题意列出方程求解． 【详解】（1）解：因为第一个图三角形的个数为：， 第二个图三角形的个数为：， 第三个图三角形的个数为：， ， 第一个图三角形的个数为：． 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 整理得， 解得，． 因为是正整数， 所以舍去， 是第12个三角形数． （3）解：设较小的三角形数是， 则较大三角形数是， 由题意得：， 解得，（舍去）， 当时，， ， 所以这两个三角形数是和． 2．综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】（1）三角形点阵中前行的点数之和不可能是600，理由见解析；（2）前行的点数之和为；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据规律，令，计算即可； （2）结合题意知，再根据题目中的规律即可求解； （3）根据规律，令，计算即可． 【详解】解：（1）解：三角形点阵中前行的点数之和不可能是600． 理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600， 根据题意，得， 整理得， ， 解方程，得，， 该方程没有正整数根， 所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600； （2）由题意得： ， ∴前行的点数之和为． （3）依题意得：， 整理得：，即， ∴（舍去），， 即：． 3．【观察思考】 【规律发现】填空： （1）第5个图案中，外侧边上“●”的个数为 ； （2）第6个图案中，内部“△”的个数为 ； 【规律应用】 （3）问第几个图案中，内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍． 【答案】（1）15   （2）21   （3）第17个 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据前四个图案，得到外侧边上的点的个数，得到一般性规律，从而得到结果； （2）根据前四个图案，得到内部三角形的个数，得到一般性规律，从而得到结果； （3）根据题意，得到等式，从而得到结果． 【详解】解：（1）第一个图案，外侧边上有个“●”， 第二个图案，外侧边上有个“●”， 第三个图案，外侧边上有个“●”， 第四个图案，外侧边上有个“●”， …… 第n个图案，外侧边上有个“●”， ∴第五个图案，外侧边上有15个“●”， 故答案为：15； （2）第一个图案，内部“△”的个数为， 第二个图案，内部“△”的个数为， 第三个图案，内部“△”的个数为， 第四个图案，内部“△”的个数为， …… 第n个图案，内部“△”的个数为， ∴第六个图案，内部“△”的个数为， 故答案为：21； （3）由题意得：， ∴， ∴（舍去），， 答：第17个图案时，内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍． 类型七、一元二次方程的对称式 【解惑】阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，掌握一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系为“，”是解题的关键； （1）利用根与系数的关系，即可得出的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求解； （3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 即或 当时， ； 当时， ； 【融会贯通】 1．阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； (3)拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 【答案】(1)， (2)2或 (3)3 【分析】本题考查了一元二方程的解以及根与系数的关系． （1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，； （2）由题意可知分两种情况，或时，m、n可看作方程的两根，分别计算原式的值即可； （3）由已知得，故a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式计算出c的取值范围，取最小正整数即可． 【详解】（1）解：由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，， 故答案为：，； （2）解：∵m，n满足， 当时，原式， 当时，m、n可看作方程的两根， ∴， ∴原式， 综上，的值为2或； （3）解：∵， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵， ∵正整数， ∴，即． ∴正整数c的最小值为3． 2．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数，满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数，满足，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将代入，得，解方程求出正根即可． （2）将变形得出，将变形得出，结合，得出，是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数关系即可解答． （3）根据①，②，得出，结合， 得出③，④，将④代入①，得，将③代入②，得，得出，是一元二次方程的两个根，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：． ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴； （3）解：∵①，②， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴③，④， 将④代入①，得， ∴， 将③代入②，得， ∴， ∴，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 3．材料：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，；又如：一元二次方方程的两个实数根分别为，，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)一元二次方程的两个根分别为，，则______，______； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足 ，其中且．求 的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，读懂材料是解题的关键． （1）用材料中给出的，直接计算即可； （2）将变形为，即可求解； （3）将变形为，则可看作一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，，即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，； （2）解：由题意知，，， 则； （3）解：∵且， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴可看作一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，， 即， ∴ ． 类型八、一元二次方程的几何动点求t 【解惑】综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 【融会贯通】 1．如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或4秒 (3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【详解】（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 2．如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于，理由见详解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用； （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，依题意， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 3．在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)t (2) (3)不能，理由见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的面积的求法． （1）先表示出，，判断出，进而建立方程求解，即可得出答案； （2）利用“”建立方程求解，即可求出答案； （3）假设在运动过程中，线段能平分的面积，进而利用“”建立方程，判断出此方程无实数根，即可得出答案． 【详解】（1）解：由运动知，，， ∴， ∵点P在从C向点A运动，点Q从点A向点C运动， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在运动过程中，线段不能平分的面积； 理由：假设在运动过程中，线段能平分的面积， 则， 由（2）知，， ∴， ∴， 而， ∴此方程无实数根， ∴在运动过程中，线段不能平分的面积． 类型九、一元二次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． (1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； (2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次不等式组、新定义、数轴与不等式的解集，理解题意新定义是解题的关键． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再解一元一次不等式组，根据“半隐二次方程”的定义，分析得出答案即可； （2）先解一元二次方程，再解不等式组，画出数轴图，根据“半隐二次方程”的定义，得出且，解出答案即可． 【详解】（1）解：是，理由如下， 将方程左边因式分解，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， ∴是不等式组的一个解，不是不等式组的解， ∴方程是不等式组的半隐二次方程； （2）解： 移项得：， 将方程左边因式分解，提取，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， 如图，画出数轴图， ∵若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程， ∴且， 解得：． 【融会贯通】 1．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则c=________． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2)2 (3) (4)的值为0． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，将根代入方程积累二元一次方程组即可求解； （3）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （4）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：设方程的两个根分别为：， ∴， 解得：或（舍去） 故答案为：2； （3）解：设方程的两个根分别为：， 则由根与系数的关系可得：， 消去得：， 故答案为：； （4）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 2．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 3．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析 (2)k的值为2 (3)m的取值范围为或 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． 类型十、一元二次方程的配方法与换元法的应用 【解惑】阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意设，得到，求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 【融会贯通】 1．材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 3．【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时， 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 【一览众山小】 1．一元二次方程的较小的根是（   ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，有理数的大小比较，先根据因式分解法解一元二次方程可得，，再比较大小即可得解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程的较小的根是， 故选：A． 2．字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为（   ） A．3 B．1 C．3或1 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意分情况讨论，再分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即：， ∴， 即：， 移项配方得：， 解得：，即：或（舍）， 当时，， 即：， ∴， 即：， 解得：（舍）或， 综上所述：或， 故选：C． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键．根据题意，由且求得m的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴的最大整数值是4， 故选：D． 4．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再整体代入代数式即可求解，掌握一元二次方程的解的定义及整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原式， 故答案为：． 5．已知关于x的方程有一个根，那么a的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了解分式方程，一元二次方程根的情况．原分式方程可转化为一元二次方程，若只有一个根，则，用含a的代数式表示，即可求出a． 【详解】解：方程两边都乘x得，，即， ∵方程有一个根， ∴①若方程有增根，则，此时， ②若整式方程有相等的根，则，即，解得． 故答案为：或． 6．已知，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的性质，解一元二次方程，完全平方公式，熟练掌握解一元二次方程，完全平方公式是解题的关键，由得，进而得，最后把当作一个整体求解一元二次方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：或． 7．已知是一元二次方程的一个根． (1)求m的值； (2)已知一元二次方程的两个根分别为，求代数式的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值： （1）将代入，即可求解； （2）由根与系数关系，得出，，，代入化简，即可求解， 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：； （2）解：由解析（1）可得， ∴方程为， 一元二次方程的两个根分别是，， ，，， ． 8．已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，整式的混合运算，完全平方公式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）由题意可得，于是结论得证； （2）利用因式分解法解一元二次方程，得，，由“方程的两个实数根都是整数”可得或，解方程即可求出的值，再结合“是正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， 此方程总有两个实数根； （2）解：， ， ，， 方程的两个实数根都是整数， 或， 解得：或或或， 是正整数， 或． 9．阅读材料：我们都知道， 于是， ． 又因为，所以，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长___________（直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，①请用含x的代数式直接表示出S，___________； ②山羊的活动范围的面积S能否达到平方米？能，就求出x的值，不能请说明理由． (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 【答案】(1) (2)①，②能，或 (3)平方米 【分析】此题考查了配方法的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据得到，整理即可得到答案； （2）①根据列出代数式即可；②当时，得到方程，解方程即可得出答案； （3）先得到，再根据题中的方法即可得到答案． 【详解】（1）依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①依题意得：， ， ． 故答案为：； ②能． 当时，， ∴， 解得或； （3） 又因为， 所以，， 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米． 10．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键． （1）设，则可化为； （2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5； （3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得． 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的整体换根 【解惑】关于x的两个一元二次方程和，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（    ） A． B．或2023 C． D．或 【融会贯通】 1．若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，则方程的解是 ． 3．若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则关于x的一元二次方程的两根分别为 ． 类型二、一元二次方程的解法——换元法 【解惑】解方程时，若设，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，则的值为（   ） A．或1 B． C．1 D．3或1 2．已知，那么式子的值为： ． 3．若，则代数式的值为 ． 类型三、一元二次方程的新定义运算 【解惑】对于任意个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【融会贯通】 1．定义运算：对于任意实数、，有，例如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 2．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 3．对于实数 a，b，定义运算“﹡”：．例如，因为，所以 ．若 是一元二次方程的两个根，则 ． 类型四、一元二次方程的整数解 【解惑】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【融会贯通】 1．已知关于的方程的根是整数，其中是实数，则可取的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值为 ． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值是 ． 类型五、一元二次方程的近似解 【解惑】根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（   ） x A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下表是若干组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … y … 0.36 0.13 －0.08 －027 －0.44 … 那么方程的一个近似根（精确到0.1）是（    ） A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 2．关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 3．若关于x的方程（m为实数）在范围内有唯一实数根，则m的范围是 ； 类型六、一元二次方程的规律 【解惑】阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6． (1)尝试：前15行的点数之和为 ； (2)思考：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．请说明理由； (3)拓展：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） (2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程； (3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 2．综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 3．【观察思考】 【规律发现】填空： （1）第5个图案中，外侧边上“●”的个数为 ； （2）第6个图案中，内部“△”的个数为 ； 【规律应用】 （3）问第几个图案中，内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍． 类型七、一元二次方程的对称式 【解惑】阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【融会贯通】 1．阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； (3)拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 2．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数，满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数，满足，，求的值． 3．材料：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，；又如：一元二次方方程的两个实数根分别为，，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)一元二次方程的两个根分别为，，则______，______； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足 ，其中且．求 的值． 类型八、一元二次方程的几何动点求t 【解惑】综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【融会贯通】 1．如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 2．如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 3．在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 类型九、一元二次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． (1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； (2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 【融会贯通】 1．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则c=________． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 2．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 3．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 类型十、一元二次方程的配方法与换元法的应用 【解惑】阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【融会贯通】 1．材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 3．【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【一览众山小】 1．一元二次方程的较小的根是（   ） A． B．1 C．或1 D．3或 2．字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为（   ） A．3 B．1 C．3或1 D．或1 3．关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 4．若是关于的方程的解，则的值为 ． 5．已知关于x的方程有一个根，那么a的值为 ． 6．已知，则的值为 ． 7．已知是一元二次方程的一个根． (1)求m的值； (2)已知一元二次方程的两个根分别为，求代数式的值． 8．已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 9．阅读材料：我们都知道， 于是， ． 又因为，所以，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长___________（直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，①请用含x的代数式直接表示出S，___________； ②山羊的活动范围的面积S能否达到平方米？能，就求出x的值，不能请说明理由． (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 10．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$