第17章 一元二次方程（中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第17章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的变形求值 【解惑】若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．若是一元二次方程一个根，则代数式的值是 ． 3．已知a是方程的一个根，则的值为 ． 类型二、一元二次方程的降次 【解惑】将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【融会贯通】 1．将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知可用“降次法”求的值是（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 2．将关于x的一元二次方程变形为，就可得表示为关于x的一次多项式，从而达到降次的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是 ． 3．将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是 ． 类型三、根据一元二次方程根的情况求参 【解惑】关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 【融会贯通】 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 类型四、根据一元二次方程的根与等腰三角形的边长 【解惑】等腰三角形一条边的边长为，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．或 B． C．或 D． 【融会贯通】 1．在等腰三角形中，，，的长分别是关于x的方程的两个根，则m的值是（   ） A．16或25 B．16 C．25 D．5或8 2．已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为 ． 3．已知关于x的一元二次方程．若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，则m的值为 ． 类型五、一元二次方程的应用——降低率/增长率问题 【解惑】电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．某地首周累计票房约1.56亿元，第三周累计票房约3.24亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年9月份售价为20.98万元，11月份售价为16.98万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个智能充电桩，第三个月新建了个智能充电桩．设该城市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列方程为 ． 3．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调，某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，求改药品平均每次降价的百分率？ 类型六、一元二次方程的应用——数字问题 【解惑】两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【融会贯通】 1．两个数的差等于，积等于，则这两个数为（   ） A．， B．， C．， D．，或， 2．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 3．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个数小1，求这个两位数． 类型七、一元二次方程的应用——传播问题 【解惑】为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 2．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 3．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 类型八、求证方程的实数根 【解惑】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的平方和为10，求k的值． 【融会贯通】 1．已知关于的方程：． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设非0实数是方程的两根，试求的值． 2．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个实数根，且满足，求p的值． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实根分别为，，当时，求的值． 类型九、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】某小区有一块长24米，宽10米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为108平方米，人行通道的宽度应是多少米？ 【融会贯通】 1．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，若苗圃园的面积为，求x的值． 2．2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 3．如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； (2)矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 类型十、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】直播带货打破了传统农产品销售的地域限制，拓宽了销售渠道，让全国各地的消费者都能品尝到特色农产品，增强了消费者对农产品的信任度，使得农产品更具吸引力．某主播带货一种农产品，经调查发现，其日销售量件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如图所示： (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)该主播日带货销售额能否达到2550元？如果能，请求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【融会贯通】 1．2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个． (1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； (2)调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？ 2．某商品交易会上，一商人将每件进价为元的纪念品．按每件元出售，平均每天售出件，该商人想采用提高售价的办法来增加利润，经调查发现这种纪念品的售价每提高元，平均每天的销售量就会减少件，设每件的涨价元，在对顾客有利的情况下，当每件的售价定为多少元时，平均每天的销售利润为元？ 3．某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (2)该商场1月份的销售量为件，月份和月份的平均增长率为．若前三个月的总销售量为件，求值． 【一览众山小】 1．若是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．8 B．6 C．−4 D．4 2．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场．设有个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的值可以为（  ） A． B．0 C． D．2 4．将一元二次方程配方写成的形式为 ． 5．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 ． 6．已知，是方程的两根，则代数式的值是 7．解方程： (1)； (2)． 8．某网店9月份盈利20000元，11月份盈利28800元，且从9月到11月，每个月盈利的增长率相同，求这两个月每个月盈利的增长率． 9．已知：关于的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求值． 10．关于的一元二次方程（）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是邻根方程． (1)通过计算，判断下列方程是否是邻根方程： ①； ②． (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是邻根方程，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的变形求值 【解惑】若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据题意可得，然后可得，然后将变形后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，根据题意可得，再代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：D． 2．若是一元二次方程一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、整体代入法求代数式的值．首先根据是一元二次方程一个根，可得，然后用整体代入法代入代数式求值即可． 【详解】解：是一元二次方程一个根， ， ， ． 故答案为： ． 3．已知a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值及恒等变式问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等变式的方法是解决本题的关键． 首先根据是方程的一个根，可得，再把代数式进行恒等变式，化为含有的式子，据此即可解答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2020． 类型二、一元二次方程的降次 【解惑】将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程，整体代入法：根据方程变形得到，，仿照已知整体代入化简即可得到答案，正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴ 故选：B． 【融会贯通】 1．将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知可用“降次法”求的值是（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】先求得x2=x+1，再代入x4-3x+2019即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴x4-3x+2019=（x+1）2-3x+2019 =x2+2x+1-3x+2019 =x2-x+2020 =1+2020 =2021， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 2．将关于x的一元二次方程变形为，就可得表示为关于x的一次多项式，从而达到降次的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是 ． 【答案】 【分析】由得，利用整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握完全平方公式和整体代入是解题的关键． 3．将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是 ． 【答案】2018 【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式即可得出答案． 进行求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 类型三、根据一元二次方程根的情况求参 【解惑】关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据题意得出且是解此题的关键． 根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出且，再找出选项即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 和都不符合，只有1符合， 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：2． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由“关于x的一元二次方程有实数根”可得且，解不等式组即可求出k的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 类型四、根据一元二次方程的根与等腰三角形的边长 【解惑】等腰三角形一条边的边长为，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，三角形的三边关系，根的判别式，解一元二次方程，分当其他两条边中有一个为时，将代入原方程求出，然后解方程和三角形三边关系讨论即可，当为底时，则其他两边相等，即，求出，然后解方程和三角形三边关系讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当其他两条边中有一个为时，将代入原方程， 得：， 解得：， 将代入原方程，得：， 解得，， ∴，，不能组成三角形，不符合题意舍去； 当为底时，则其他两边相等，即， 此时：， 解得：， 将代入原方程，得：， 解得：， ∴，，能够组成三角形，符合题意， 故的值为， 故选：． 【融会贯通】 1．在等腰三角形中，，，的长分别是关于x的方程的两个根，则m的值是（   ） A．16或25 B．16 C．25 D．5或8 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义、一元二次方程的解及一元二次根的判别式，熟练掌握等腰三角形的定义、一元二次方程的解及一元二次根的判别式是解题的关键；由题意可分为底边和腰长进行分类求解即可． 【详解】解：由题意可分： 当为等腰三角形的底边时，则，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得：，满足三角形三边关系； 当为等腰三角形的腰长时，则方程有一个根为8， ∴，即， ∴方程为， 解得：，满足三角形三边关系； 综上所述：m的值为25或16； 故选A． 2．已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为 ． 【答案】5或6 【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分情况讨论：当时，，可求出k的值，再将k的值代入方程进行验证；当或时，代入方程求出k的值，再将k的值代入方程进行验证，即可确定k的值． 【详解】解：m，n，3分别是等腰三角形三边的长， 当时，， ， 方程可化为， 解得， ， 满足条件； 当或时，， ， 方程可化为， 解得， ， 满足条件， 综上所述：k的值为5或6， 故答案为：5或6． 3．已知关于x的一元二次方程．若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程、等腰三角形的定义、一元二次方程根的判别式、三角形三边关系等知识．根据题意得，求得m的取值范围，分情况讨论：当腰为3时，把代入方程求解，当底边为3时，方程的两根相等，得，求解即可，注意验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：根据题意得，解得， 当3是腰时，3是方程的一个根， 把代入方程得，解得， 此时方程为， 解得， 即方程的另一根为5， ∵， ∴等腰三角形存在； 即满足题意； 当3是底边长，即两腰都是方程的根时，即方程有两个相等的实数根， 则， 解得， 此时方程为， 解得， ∵， ∴等腰三角形存在， 即满足题意， 综上所述，或． 故答案为：或． 类型五、一元二次方程的应用——降低率/增长率问题 【解惑】电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．某地首周累计票房约1.56亿元，第三周累计票房约3.24亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设增长率为x，则根据题意可列方程为， 故选：C． 【融会贯通】 1．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年9月份售价为20.98万元，11月份售价为16.98万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，结合今年9月份售价为20.98万元，11月份售价为16.98万元，且月平均降价率是，则，即可作答． 【详解】解：∵某款燃油汽车今年9月份售价为20.98万元，11月份售价为16.98万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是， ∴， 故选：A． 2．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个智能充电桩，第三个月新建了个智能充电桩．设该城市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该城市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该城市新建智能充电桩个数的月平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 3．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调，某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，求改药品平均每次降价的百分率？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程． 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意列方程得：， 解得：（舍去）， 则该药品平均每次降价的百分率为， 答：该药品平均每次降价的百分率为． 类型六、一元二次方程的应用——数字问题 【解惑】两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 【详解】解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 【融会贯通】 1．两个数的差等于，积等于，则这两个数为（   ） A．， B．， C．， D．，或， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两个数中的大数为，则小数为 ，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这两个数中的大数为，则小数为 ， 由题意得，, 解得，， ∴小数为或， ∴这两个数为，或，， 故选：． 2．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 【答案】23或32 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， 解得：或， 则或． 则这个两位数是23或32． 故答案为：23或32． 3．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个数小1，求这个两位数． 【答案】35 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；用到的知识点为：两位数十位数字个位数字． 等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和这个两位数，把相关数值代入求得整数解即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（舍），， 这个两位数为35． 类型七、一元二次方程的应用——传播问题 【解惑】为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，找到“等量关系”列方程是解决问题的关键． 第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得，（舍去），， 的值是， 故选：C． 【融会贯通】 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 2．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 故答案为：． 3．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 类型八、求证方程的实数根 【解惑】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的平方和为10，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系、根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：，，， ． ， 该方程总有两个实数根． （2）解：令方程的两根为，， 则，， 由得，， 即， 解得， ， ． 【融会贯通】 1．已知关于的方程：． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设非0实数是方程的两根，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义； （1）计算一元二次方程根的判别式，根据，即可得证； （2）根据题意可得是原方程的解，可得，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵． 无论取何实数时，总有． ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入方程，得．即． ∵， ∴． 由根与系数的关系，． ∴． ∴． 2．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个实数根，且满足，求p的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练运用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）由根的判别式，即可得出结论； （2）将化简，由根与系数的关系求出，的值，代入即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系得， ， ， 即， ， ， 解得，． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实根分别为，，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式和根与系数之间的关系，熟练掌握一元二次方程的性质是解题关键． （1）利用根的判别式，进行判断即可； （2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，方程化为：， ∵方程的两个实根分别为， ∴， ∴． 类型九、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】某小区有一块长24米，宽10米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为108平方米，人行通道的宽度应是多少米？ 【答案】人行道的宽度为2米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系． 人行道的宽度为x米，根据两块绿地的面积之和为108平方米，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度是2米． 【融会贯通】 1．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，若苗圃园的面积为，求x的值． 【答案】x的值为10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为． 根据题意得，， 解得， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故x的值为10． 2．2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，设，则，即可作答． （2）根据矩形养鸡场，代入数值，进行求解即可. 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，设，且的铁栅栏， ∴长为， 即 （2）解：由题意可知： 解得：， ∵当时，，，不合题意，舍去． 当时，，符合题意， 答：鸡场的长为． 3．如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； (2)矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)能达到， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （）设与墙平行的一边长为，根据，得到，根据矩形面积公式即可求解； （）先求出的取值范围，再将代入中，求出的值即可判断求解． 【详解】（1）解：设与墙平行的一边长为 ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：能达到． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 即 ， 解得（不合，舍去），（符合题意）， ∴当时，矩形实验田的面积能达到． 类型十、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】直播带货打破了传统农产品销售的地域限制，拓宽了销售渠道，让全国各地的消费者都能品尝到特色农产品，增强了消费者对农产品的信任度，使得农产品更具吸引力．某主播带货一种农产品，经调查发现，其日销售量件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如图所示： (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)该主播日带货销售额能否达到2550元？如果能，请求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能达到2550元；理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的关系式为， 结合图象过点，，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意，销售额，假设销售额能达到2550元， 则， 整理得， ∴ ， ∴该方程没有实数解，即该主播日带货销售额不能达到2550元． 【融会贯通】 1．2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个． (1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； (2)调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】(1)每次上涨的百分率为 (2)销售单价应降低20元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每次上涨的百分率为，则第一次调整后的售价为元，第二次调整后的售价为元，由此列方程即可； （2）设销售单价应降低元，根据进价、售价、销量、利润之间关系列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每次上涨的百分率为， 由题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为． （2）解：设销售单价应降低元，根据题意，得 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：销售单价应降低20元． 2．某商品交易会上，一商人将每件进价为元的纪念品．按每件元出售，平均每天售出件，该商人想采用提高售价的办法来增加利润，经调查发现这种纪念品的售价每提高元，平均每天的销售量就会减少件，设每件的涨价元，在对顾客有利的情况下，当每件的售价定为多少元时，平均每天的销售利润为元？ 【答案】元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件的涨价元，平均每天的销售利润为元，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设每件的涨价元，平均每天的销售利润为元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵对顾客有利， ∴， （元）， 答：当每件的售价定为元时，平均每天的销售利润为元． 3．某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (2)该商场1月份的销售量为件，月份和月份的平均增长率为．若前三个月的总销售量为件，求值． 【答案】(1)每件商品应降价元 (2)值为 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设每件商品应降价元，则每件利润为（元），降价后的销售量为件，由此列式求解即可； （2）根据题意，分别算出月份月份的销售量，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设每件商品应降价元，则每件利润为（元）， ∵售价为元时，每月可售出件，每件商品降价元，商场每月就可以多售出件， ∴降价后的销售量为（件）， ∴，整理得，， 解得，，， ∴当降价元时，每月销售量为（件），当降价元时，每月销售量为（件）， ∵有利于减少库存， ∴每件商品应降价元； （2）解：根据题意，月份的销售量为件，月份的销售量为， ∵前三个月的总销售量为件， ∴， 令，整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 解得，， ∴值为． 【一览众山小】 1．若是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．8 B．6 C．−4 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 首先根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后把前面的值代入即可求出其值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故选：A． 2．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场．设有个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设有个队参赛，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设有个队参赛， 根据题意得：， 故选：． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的值可以为（  ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：且， ∴实数k的值可以为， 故选：A． 4．将一元二次方程配方写成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，先把4移到方程的右边，然后方程两边都加25，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 5．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用换元的思想是解决问题的关键． 先把方程变形为，则此方程可看作关于的一元二次方程，所以，然后解一次方程即可． 【详解】解：∵方程变形为， ∴此方程可看作关于的一元二次方程， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于的一元二次方程有一个根为， 解得． 故答案为：2023． 6．已知，是方程的两根，则代数式的值是 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义；利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可． 【详解】解：，是关于的方程的两根， ，，． ． 故答案为：． 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． （1）用公式法求解； （2）先移项，再用因式分解法求解． 【详解】（1）解：方程，其中． ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． ， 即． （2）， 则或． 解得． 8．某网店9月份盈利20000元，11月份盈利28800元，且从9月到11月，每个月盈利的增长率相同，求这两个月每个月盈利的增长率． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，设这两个月每个月盈利的增长率为，根据“某网店月份盈利元，月份盈利元”列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设这两个月每个月盈利的增长率为x，根据题意，得 ． 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月每个月盈利的增长率为． 9．已知：关于的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据根的情况求参数，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关知识点． （1）根据根的判别式计算，即可求解， （2）先将代入，求出值，由根与系数关系，得到，，代入，即可求解， 【详解】（1）解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：当时，，解得：， 则原方程为：， ，， ． 10．关于的一元二次方程（）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是邻根方程． (1)通过计算，判断下列方程是否是邻根方程： ①； ②． (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是邻根方程，求的值． 【答案】(1)①不是；②是 (2)或 【分析】本题主要考查了新定义“邻根方程”，理解该新定义是解题关键． （1）分别解两个方程，根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）利用因式分解法解该方程，可得，，然后根据“邻根方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②， 解得， ∵， ∴方程是“邻根方程”； （2）， ， 或， 解得，， ∵关于x的一元二次方程是“邻根方程”， ∴或， 解得或， 即的值为或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$