17.1 一元二次方程 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

17.1 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。一般形式为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)。 二、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项 在一元二次方程的一般形式中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 巩固课内例1:平均增长率问题 1．为创建义务教育优质均衡发展示范学校，我校9月份购买图书30000本，11月份又购买图书43200本，设每月购买图书数量的平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得， ． 故选：． 2．某厂家2022年1~5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，观察函数图象，找出该厂家2月及4月的口罩产量，再利用该厂家4月份的口罩产量该厂家2月份的口罩产量（增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：， 故答案为：． 3．传承闽都文脉，汇聚城市艺文，三坊七巷已成为福州的烫金名片，漫步坊巷，体验古老和新生并存的福州城．三坊七巷景区在2019年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年国庆长假期间，将接待游客达28.8万人次．求三坊七巷景区2019至2021年国庆长假期间接待游客人次的平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键． 设平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义做出有取舍即可． 【详解】解：设平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍去） 答：三坊七巷景区2019至2021年国庆长假期间接待游客人次的平均增长率是． 巩固课内例2:面积问题 1．2023年12月10日，龙城太原迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意列方程为： ， 故选：D． 2．如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】解：设小路宽为米，则把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米， 根据题意得：． 故答案为：． 3．某小区有一块长12米、宽6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米. 【答案】小路的宽为1米. 【分析】设小路的宽度为x米，根据题意可得两块长方形的长为(12－3x)，宽为(6－2x)，然后根据长方形的面积公式可列出方程，解方程即可. 【详解】解：设小路的宽度为米，根据题意得 ， 解得或（不合题意，舍去）. 答：小路的宽为1米. 【点睛】此题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，根据题意列出方程是解题的关键. 巩固课内例3:一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，解题的关键是掌握一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的求法．一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是． 故选：B． 2．一元二次方程的常数项为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，通过移项把一元二次方程化为一般形式，然后找出常数项即可．解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：（、、是常数且），叫二次项，叫一次项，是常数项，其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程化成一般式为：， ∴常数项为． 故答案为：． 3．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项为，一次项为，常数项 (2)，二次项为，一次项为，常数项 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． （1）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答； （2）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答． 【详解】（1）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项； （2）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项． 类型一、一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，运用定义对每个方程作出判断． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 2．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据定义可知，且，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得：． 故答案为：1． 3．已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 类型二、一元二次方程的项(系数) 1．方程的一次项系数是（   ） A．2 B． C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：方程的一次项系数是， 故选：B． 2．一元二次方程的一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．掌握“一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项”是解题关键．根据一元二次方程的一般形式的相关定义解答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项为， ∴一次项系数为． 故答案为：． 3．把一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1 【详解】将方程两边去分母、去括号、移项、合并同类项，使方程右边为零，左边按x的降幂形式排列． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 此方程的二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1． 类型三、一元二次方程的解 1．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求出m的值即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得， 故选：D． 2．关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， ， ． 答：的值为 类型一、长方形问题 1．用长的铁丝制成一个长方形框，框的面积是，此时框的长和宽分别约为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考一元二次方程的应用．设框的长为，则宽为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设框的长为，则宽为，根据题意得： ， 解得：， ∵，即， ∴框的长为，则宽为． 故选：A 2．同一根细铁丝可以折成边长为的等边三角形，也可以折成面积为的长方形．设折成的长方形的一边长为 ，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先根据可以折成边长为的等边三角形可知这根细铁丝长为，然后根据折成的长方形的一边长为，则可知长方形的另一边长为，根据长方形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：由题意可知细铁丝长为， 设折成的长方形的一边长为，则另一边长为， 根据题意得：， 故答案为：． 3．在一次活动课上，张老师让小明同学用一根绳子围成一个长宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽． (2)若小明用另一根长度相同的绳子围成一个正方形，他认为围成的正方形的面积一定要比原来的长方形的面积大，请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)小明的说法是正确的，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用， （1）根据题意，设长方形的长为，宽为，由此列式求解即可； （2）由（1），可知绳子的长度为，可得正方形的边长和面积，再进行比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设长方形的长为，宽为， ∴，即， ， ，则， 答：长方形的长为，宽为． （2）解：小明的说法是正确的，理由如下， 由（1），可知绳子的长度为， 则围成的正方形的面积为， ， 故可以判断小明的说法是正确的． 类型二、直角三角形问题 1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（  ）． A． B．5 C． D．7 【答案】B 【分析】设一条直角边为x，则另一条直角边为7-x，利用三角形面积公式可得：x (7-x)=6． 【详解】设一条直角边为x，则另一条直角边为7-x，利用三角形面积公式可得： x (7-x)=6， 解得x=3或4，故该直角三角形两个直角边分别为3和4， 利用勾股定理可得斜边长为：， 故斜边为5． 【点睛】本题利用三角形面积公式和勾股定理考察了一元二次方程的应用． 2．用一条长为的铁丝围成一个斜边长为的直角三角形，则两条直角边的长分别是 和 ． 【答案】 【分析】首先设一直角边长为，则另一直角边长为，由题意得等量关系：两直角边的平方和等于10的平方，进而列出方程，再解方程即可． 【详解】设一直角边长为，根据勾股定理得： ， 解得，， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意列出方程是解题的关键． 3．一个直角三角形两条直角边相差，面积是．则它的斜边长为多少？ 【答案】这个直角三角形斜边的长为 【分析】设较短的直角边长是，较长的就是，根据面积是，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：设较短的直角边长是，则较长的就是， 根据题意，得， 所以， 解得，， ∵直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去， ∴， 当时，， 由勾股定理，得直角三角形的斜边长为． 答：这个直角三角形斜边的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用． 类型三、单(双)循环问题 1．某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关系列方程是解题的关键． 设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，列出方程即可． 【详解】解：设参赛队伍有x支， 根据题意得，． 故选：C． 2．为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 故答案为：． 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 【答案】每个支干长出8个小分支 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． 由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有个分支,即可列方程求得x的值． 【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）， ∴ 答：每支支干长出8个小分支． 类型一、已知一元二次方程的根求参 1．已知为一元二次方程的根，那么的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程解的定义和求代数式的值．根据一元二次方程解的定义得，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：为一元二次方程的根， ∴， 则， ∴， 故选：A． 2．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：把代入方程得，即， ∴， 故答案为：． 3．已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】23 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念、利用整体代入的方法进行求解是解题的关键．先将a代入得到，对化简得到，再整体代入即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 类型二、新定义问题 1．定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值是（    ） A．0 B． C．2 D．2m 【答案】A 【分析】由题意易得，进而可得，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ∵a，b是方程的两根， ∴把a，b代入方程得：， ∴，即， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 2．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：，若关于x的方程的一个实数根为4，则 ． 【答案】3 【分析】先关键新的运算法则列出方程，然后根据方程的解的定义代入即可求出k的值． 【详解】解：由题意得，， ∵其一个实数根为4， ∴， 解得， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数的运算，一元二次方程的解的定义，根据题意列出方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【答案】(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）根据“和谐方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 故一元二次方程是 “和谐方程”； （2）解：是关于x的“和谐方程”， 当时，， 是此“和谐方程”的一个根， ， 即， 解得． 故． 类型三、整体换根问题 1．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型． 因为满足方程，所以，两边同时除以即可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ， 是一元二次方程的一根， 故选：C． 2．已知一元二次方程的两根为，则的两根为 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换法求解一元二次方程的根，解题的关键是掌握利用整体代换法求解一元二次方程的根的方法． 首先将变形为，由题意可得：或，再进行转化即可得出根． 【详解】解：∵可变形为， 由题意可得：或， ∴或， 即方程的根为或． 故答案为：，． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)4、 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则，所以，然后把代入已知方程得； （2）设所求方程的根为y，则，所以．然后把代入已知方程得．再化成整式方程即可． （3）把一元二次方程变形为，再与方程比较可得解． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以， 把代入已知方程，得． 化简得， 故所求方程为， 故答案为：； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）一元二次方程整理度可得：， ∵令 ∴ 则方程的两根比两根大1， 所以方程的两根分别是4、 【点睛】本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握． 1．一元二次方程的二次项系数是（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中叫做二次项，a叫做二次项系数，叫做一次项， b叫做一次项系数， c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是， 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（   ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，一元二次方程的定义，把代入方程再结合一元二次方程的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴，， ∴， 故选：B． 3．已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意将代入方程中，得到，从而得到，然后代入式子进行计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程中， 得：， ， ， 故选A． 4．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为 (其中a、b、c是常数，)，其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项．根据一元二次方程的一般式可得答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式， 可得：． 一次项系数为： 故答案为∶ ． 5．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 6．已知是方程的根，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，二次根式的性质与化简，先将代入方程，可得关于的方程，解方程求出的值，再根据二次根式的性质化简即可，解题关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 由 ， ∵， ∴， 故答案为：． 7．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 8．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 9．已知a是方程的解，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了代数式求值，方程的解，整式乘法运算，解题的关键是熟练掌握整体代入法的应用．先化简得出，然后根据是方程的解，得出， 最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ ． 10．定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，新定义运算． （1）根据“友好”方程的定义求解； （2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解． 【详解】（1）解：的“友好”方程是； 故答案为：； （2）解：是．理由如下： 把代入方程得， 即， 关于的一元二次方程的“友好”方程为， 把代入得， 所以是方程的一个解， 即为的“友好”方程的一个解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.1 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。一般形式为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)。 二、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项 在一元二次方程的一般形式中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 巩固课内例1:平均增长率问题 1．为创建义务教育优质均衡发展示范学校，我校9月份购买图书30000本，11月份又购买图书43200本，设每月购买图书数量的平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某厂家2022年1~5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程 ． 3．传承闽都文脉，汇聚城市艺文，三坊七巷已成为福州的烫金名片，漫步坊巷，体验古老和新生并存的福州城．三坊七巷景区在2019年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年国庆长假期间，将接待游客达28.8万人次．求三坊七巷景区2019至2021年国庆长假期间接待游客人次的平均增长率． 巩固课内例2:面积问题 1．2023年12月10日，龙城太原迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程 ． 3．某小区有一块长12米、宽6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米. 巩固课内例3:一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的常数项为 ． 3．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 类型一、一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 3．已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 类型二、一元二次方程的项(系数) 1．方程的一次项系数是（   ） A．2 B． C．9 D．8 2．一元二次方程的一次项系数为 ． 3．把一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 类型三、一元二次方程的解 1．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 2．关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 3．若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 类型一、长方形问题 1．用长的铁丝制成一个长方形框，框的面积是，此时框的长和宽分别约为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．同一根细铁丝可以折成边长为的等边三角形，也可以折成面积为的长方形．设折成的长方形的一边长为 ，则可列方程为 ． 3．在一次活动课上，张老师让小明同学用一根绳子围成一个长宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽． (2)若小明用另一根长度相同的绳子围成一个正方形，他认为围成的正方形的面积一定要比原来的长方形的面积大，请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 类型二、直角三角形问题 1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（  ）． A． B．5 C． D．7 2．用一条长为的铁丝围成一个斜边长为的直角三角形，则两条直角边的长分别是 和 ． 3．一个直角三角形两条直角边相差，面积是．则它的斜边长为多少？ 类型三、单(双)循环问题 1．某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程 ． 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 类型一、已知一元二次方程的根求参 1．已知为一元二次方程的根，那么的值为（    ） A． B． C．0 D． 2．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 3．已知a是方程的一个根，求代数式的值． 类型二、新定义问题 1．定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值是（    ） A．0 B． C．2 D．2m 2．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：，若关于x的方程的一个实数根为4，则 ． 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 类型三、整体换根问题 1．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两根为，则的两根为 ． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．（直接写出结果） 1．一元二次方程的二次项系数是（   ） A．2 B． C． D．0 2．若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（   ） A．3 B． C．3或 D． 3．已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 4．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为 ． 5．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 6．已知是方程的根，化简： ． 7．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 8．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 9．已知a是方程的解，求代数式的值． 10．定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$