2025年中考数学二轮专题：整式综合测试提升卷

整式综合测试提升卷 一、单选题 1．若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（    ） A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式 C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【分析】利用整式的加减法则判断即可． 【详解】解：若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式， 则A-B一定是五次多项式或单项式． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可． 【详解】解：A： x2-a2=(x-a)2 ，因式分解不正确； B： 4a2+4a+1=(2a+1)2，因式分解不正确； C： -x2+4x=-x(x-4) ，原式因式分解错误； D： x2−4y2=(x+2y)(x−2y) ，原式因式分解正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 3．已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同． 4．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】乘方的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 5．已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、计算多项式乘多项式、已知式子的值，求代数式的值、通分 【分析】将原式进行通分，变形为，即，通过计算多项式乘多项式将等式右边展开，于是可得，进而可得，结合已知条件，将原式变形为，即，然后利用同底数幂的乘法及等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了通分，等式的性质，计算多项式乘多项式，去括号，等式的性质，同底数幂的乘法，代数式求值等知识点，进行通分并将原式由分式变形为整式是解题的关键． 6．某轮船在静水中的速度为u千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为小时，那么与的大小关系为（　　） A．＜ B．＞ C．＝ D．与u，v的值有关 【答案】B 【知识点】列代数式 【详解】解：t1==， t2=， t1﹣t2=﹣= ， 因为u＞v＞0， 所以t1﹣t2＞0，即t1＞t2． 故选B． 【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． 7．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算、数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论： ①第二次操作后整式串为：a，，a，； ②第二次操作后，当时，所有整式的积为非正数； ③第三次操作后整式串中共有8个整式； ④第2023次操作后，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的加减运算法则、整式的乘法运算法则等知识点，灵活运用运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算逐个判断即可． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串：a，2，， ∴第二次操作后的整式串：，故①的结论错误； 第二次操作后整式的积为：， ∵， ∴， ∴， ∴，即第二次操作后整式的积为非正数，故②的结论正确； 第三次操作后整式串为：共9个式子，故③结论错误； ∵第一次操作后的整式的和为：， 第二次操作后的整式的和为：， 第三次操作后的整式的和为：， 第n次操作后的整式的和为：， ∴第2023次操作后，所有的整式的和为：．故④结论正确； ∴正确的有：2个． 故选：B． 9．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含a，b，c的式子表示出，，，，代入进行运算，即可求解；能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键． 【详解】解：由图可知，长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ，， ， ， 解得，即， 故选：C． 10．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 11．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　） A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10 【答案】B 【知识点】因式分解的应用、整数指数幂的运算 【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可． 【详解】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2•26＋1＝（26＋1）2， 此时n＝6＋1＝7， 212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2•211＋1＝（211＋1）2， 此时n＝2×11＝22， 1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2•26•2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2， 此时n＝﹣14， 综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键． 12．一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：B． 13．若实数满足，代数式的最大值是（　　） A．27 B．18 C．15 D．12 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式以及平方的非负性，根据完全平方公式及其变形，得到，即可求解 【详解】解：∵， ∴ ∵； 又 ∴原式=， ∵， ∴其值最小为0， 故原式最大值为27． 故选A． 14．已知，现将，，，任选两个字母作差，结果记为A，剩下两个字母作差，结果记为，然后对式子进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝差操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝差操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有6种不同的“绝差操作”； ③所有的“绝差操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】化简绝对值、去括号 【分析】本题主要考查了新定义、绝对值的化简、去括号法则等知识点，理解“绝差操作”定义成为解题的关键． 根据绝对值和去括号法则逐个进行判断即可． 【详解】解：①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等；说法正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故①正确； 由，则进行“绝差操作”后结果为：， ，，，， ，，，， 共8种，故②错误； 下面是7种不同的运算结果： ，，，，， ， ，即最少有7种结果，故③错误． 综上，正确的有2个． 故选：C． 15．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①不符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①错误； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为： ， 当时，，说法④正确， 故选：B． 16．已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式 ，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①③⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【知识点】整式的加减运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的加减与乘法，求出，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，从而得到，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数，为关于的三次三项式，此时，故说法①正确； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 即， ∴， ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 故选：D． 二、填空题 17．计算： ． 【答案】 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 18．已知，，则 ． 【答案】1 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 19．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】-99 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式 【分析】观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案． 【详解】解：由知， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是理解求和符号“”的意义，求出，的值． 20．一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则为“型数”；，因为，则为“型数”．若四位数是“型数”，是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“型数”，则满足条件的最小四位数的值为 ． 【答案】 【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据题意列出代数式和等式，对与的大小关系进行分类讨论，用消元法求出的最小值即可． 【详解】解：∵为“3型数”， ∴①， ∵为“3型数”， ∴②， 由①②得， ∵是“型数”， （1）若，则不产生错位， ∴， ∴③， 联立①③得， ， ∴，即 ∵都是整数， ∴不符题意，舍去， （2）若，则产生错位， ∴是“型数”， ∴， 即④， 联立①④得， ∴， 将， 代入， ∴， 又∵， ∴, ∵， ∴当最大时，最小，此时，， ∴最小． 故答案为：． 【点睛】本题考查学生列出代数式和等式进行计算的能力，根据与的大小关系进行分类讨论是本题难点． 三、解答题 21．我们定义：三角形 ，五角形 ． （1）求  的值： （2）若  ，求  的值． 【答案】（1）8；（2）18． 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】（1）利用题中的新定义直接代入数据，计算即可得到结果； （2）先根据三角形计算的定义和同底数幂乘法的计算法则可得，再将五角星得定义代入数据后同底数幂运算即可求得结果． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：   =； （2）∵  =3，即， ∴， ∴， 依题意得  ， ∴  ． 【点睛】此题考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面面积分别为，． (1)比较与的大小． (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探圥：与的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为10 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据长方形的面积公式求出、，再作差即可得解； （2）先求出正方形的周长，再得出正方形的边长，从而表示出，再求出即可得解． 【详解】（1）解：根据长方形的面积公式可得：，， ∴ ， 故； （2）解：正方形的周长为：， 正方形的边长为：， ， ， 故与的差是定值，定值为10． 23．阳光中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价125元，跳绳每条定价20元．现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买一个篮球送一条跳绳； 乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球40个，跳绳条． (1)若在甲网店购买，需付款_____元；若在乙网店购买，需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？写出你的购买方法，并计算需要付款的金额． 【答案】(1)， (2)选择在甲网店购买较为合算 (3)在甲网店购买个篮球，配送根跳绳，再在乙网店购买根跳绳更省钱，付款元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）把代入两个代数式计算，得出结论； （3）在甲网店购买个篮球配送根跳绳，再在乙网店购买根跳绳最划算． 【详解】（1）解：依题意得∶ 在甲网店购买需付款∶元； 在乙网店购买需付款∶元； 故答案为：，； （2）解：当时， 在甲网店购买需付款∶元﹔ 在乙网店购买需付款∶元． 因为， 所以当时，应选择在甲网店购买较为合算； （3）解：由（2）可知，当时，在甲网店付款元，在乙网店付款元， 在甲网店购买个篮球配送根跳绳，再在乙网店购买根跳绳合计需付款∶ 元． 因为， 所以省钱的购买方案是∶在甲网店购买个篮球，配送根跳绳，再在乙网店购买根跳绳，付款元． 24．（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）或 【知识点】综合运用公式法分解因式、分组分解法、已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而得到，据此求出a、b的值，再代值计算即可； （2）①先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先分组得到，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）设，则可推出，则，即，根据都是整数，，得到或或或，据此求出m、n的值，即可求出a的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 25．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．    （1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　． （2）的展开式共有______项，系数和为_______． （3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． （4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ． 【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）；（3）1；（4）三 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可； （2）直接根据得出的规律即可求解； （3）利用规律计算原式即可得到结果； （4）由8100，根据得出的规律即可求解． 【详解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）∵的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列， ∴的展开式共有项，从规律可发现系数和为； （3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1； （4）8100 根据规律可知，除以7余数为1， ∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三． 【点睛】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键． 26．对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度．特别地，当点，重合时，规定．设数轴上点表示的数为，点表示的数为． （1）若数轴上点，，，表示的数分别是，，，，则线段，相对离散度是 ，线段，的相对离散度是 ； （2）设数轴上点右侧的点表示的数是，若线段，的相对离散度为，求的值； （3）数轴上点，都在点的右侧（其中点，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，相对离散度为，当时，直接写出点所表示的数的取值范围． 【答案】（1）；；（2）的值为或；（3）数的取值范围是． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、解一元一次方程（二）——去括号、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据题意，分别解出的中点，再将中点表示的数代入公式解题即可； （2）设线段，的中点分别为，，分两种情况讨论，当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，根据题中计算公式，分别讨论与的大小关系，化简即可解题； （3）设点表示的数为,点表示的数是，则，分别求得的中点为，的中点为，的中点为，设，分三种情况讨论，①当点均在之间时；②当点在左侧，点在右侧时；③当点均在的右侧时，分别解得与的值，再结合解题，舍去不符合题意的情况即可． 【详解】解：（1），，，表示的数分别是，，，， 的中点为，的中点为， 的中点为，EH的中点为，此时两中点重合， 故答案为：，； （2）设线段，的中点分别为，， 因为，， 所以点，在数轴上表示的数分别为，， 所以， 因为线段，的相对离散度， 所以， 由题意，可知点与点不能重合， 所以，即， 当点在点的左侧时，， 解这个方程，得； 当点在点的右侧时，， ， 解这个方程，得， 综上所述，的值为或． （3）设点表示的数为,点表示的数是，则 的中点为，的中点为1，的中点为，设， ①当点均在之间时， 当时，，当且仅当时满足 此时不合题意； ②当点在左侧，点在右侧时， ， 当时，， 数轴上点，都在点的右侧 点，不重合 ③当点均在的右侧时，与①同理，不符合题意， 综上所述， 所以数的取值范围是． 【点睛】本题考查数轴，涉及绝对值的化简、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键． 27．材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： （3）若，则的值为________； （4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）①；②；（3）4；（4）存在，，，原式最小值为2023 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）将整个图形当作一个正方形和作为9个长方形或正方形求面积即可得解； （2）根据（1）可得，进而整体代入即可求解； （3）将原式变形为两个完全平方式与一个常数的和，利用偶次方的非负性即可求解y的值，进而求解； （4）将原式变形为两个完全平方式的和，利用偶次方的非负性即可求解； 【详解】解：（1）将整个图形当作一个正方形，则面积为， 将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为， ∴， 故答案为，，； （2）①∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴故答案为 ②∵， ∴， ∴即， ∵， ∴， 故答案为； （3）∵， ∴即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （4）存在， 原式    当，时，原式最小 ，，原式最小值为2023． 【点睛】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 整式综合测试提升卷 一、单选题 1．若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（    ） A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式 C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式 2．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 5．已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．某轮船在静水中的速度为u千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为小时，那么与的大小关系为（　　） A．＜ B．＞ C．＝ D．与u，v的值有关 7．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 8．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论： ①第二次操作后整式串为：a，，a，； ②第二次操作后，当时，所有整式的积为非正数； ③第三次操作后整式串中共有8个整式； ④第2023次操作后，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 10．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 11．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　） A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10 12．一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 13．若实数满足，代数式的最大值是（　　） A．27 B．18 C．15 D．12 14．已知，现将，，，任选两个字母作差，结果记为A，剩下两个字母作差，结果记为，然后对式子进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝差操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝差操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有6种不同的“绝差操作”； ③所有的“绝差操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式 ，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①③⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 17．计算： ． 18．已知，，则 ． 19．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 20．一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则为“型数”；，因为，则为“型数”．若四位数是“型数”，是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“型数”，则满足条件的最小四位数的值为 ． 三、解答题 21．我们定义：三角形 ，五角形 ． （1）求  的值： （2）若  ，求  的值． 22．甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面面积分别为，． (1)比较与的大小． (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探圥：与的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 23．阳光中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价125元，跳绳每条定价20元．现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买一个篮球送一条跳绳； 乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球40个，跳绳条． (1)若在甲网店购买，需付款_____元；若在乙网店购买，需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？写出你的购买方法，并计算需要付款的金额． 24．（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 25．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．    （1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　． （2）的展开式共有______项，系数和为_______． （3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． （4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ． 26．对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度．特别地，当点，重合时，规定．设数轴上点表示的数为，点表示的数为． （1）若数轴上点，，，表示的数分别是，，，，则线段，相对离散度是 ，线段，的相对离散度是 ； （2）设数轴上点右侧的点表示的数是，若线段，的相对离散度为，求的值； （3）数轴上点，都在点的右侧（其中点，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，相对离散度为，当时，直接写出点所表示的数的取值范围． 27．材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： （3）若，则的值为________； （4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D B B B B C B 题号 11 12 13 14 15 16 答案 B B A C B D 1．B 【知识点】整式的加减运算 【分析】利用整式的加减法则判断即可． 【详解】解：若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式， 则A-B一定是五次多项式或单项式． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．D 【知识点】判断能否用公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可． 【详解】解：A： x2-a2=(x-a)2 ，因式分解不正确； B： 4a2+4a+1=(2a+1)2，因式分解不正确； C： -x2+4x=-x(x-4) ，原式因式分解错误； D： x2−4y2=(x+2y)(x−2y) ，原式因式分解正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 3．A 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同． 4．D 【知识点】乘方的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 5．B 【知识点】同底数幂相乘、计算多项式乘多项式、已知式子的值，求代数式的值、通分 【分析】将原式进行通分，变形为，即，通过计算多项式乘多项式将等式右边展开，于是可得，进而可得，结合已知条件，将原式变形为，即，然后利用同底数幂的乘法及等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了通分，等式的性质，计算多项式乘多项式，去括号，等式的性质，同底数幂的乘法，代数式求值等知识点，进行通分并将原式由分式变形为整式是解题的关键． 6．B 【知识点】列代数式 【详解】解：t1==， t2=， t1﹣t2=﹣= ， 因为u＞v＞0， 所以t1﹣t2＞0，即t1＞t2． 故选B． 【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． 7．B 【知识点】有理数的除法运算、数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．B 【知识点】计算多项式乘多项式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的加减运算法则、整式的乘法运算法则等知识点，灵活运用运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算逐个判断即可． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串：a，2，， ∴第二次操作后的整式串：，故①的结论错误； 第二次操作后整式的积为：， ∵， ∴， ∴， ∴，即第二次操作后整式的积为非正数，故②的结论正确； 第三次操作后整式串为：共9个式子，故③结论错误； ∵第一次操作后的整式的和为：， 第二次操作后的整式的和为：， 第三次操作后的整式的和为：， 第n次操作后的整式的和为：， ∴第2023次操作后，所有的整式的和为：．故④结论正确； ∴正确的有：2个． 故选：B． 9．C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含a，b，c的式子表示出，，，，代入进行运算，即可求解；能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键． 【详解】解：由图可知，长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ，， ， ， 解得，即， 故选：C． 10．B 【知识点】绝对值非负性、已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 11．B 【知识点】因式分解的应用、整数指数幂的运算 【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可． 【详解】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2•26＋1＝（26＋1）2， 此时n＝6＋1＝7， 212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2•211＋1＝（211＋1）2， 此时n＝2×11＝22， 1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2•26•2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2， 此时n＝﹣14， 综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键． 12．B 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：B． 13．A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式以及平方的非负性，根据完全平方公式及其变形，得到，即可求解 【详解】解：∵， ∴ ∵； 又 ∴原式=， ∵， ∴其值最小为0， 故原式最大值为27． 故选A． 14．C 【知识点】化简绝对值、去括号 【分析】本题主要考查了新定义、绝对值的化简、去括号法则等知识点，理解“绝差操作”定义成为解题的关键． 根据绝对值和去括号法则逐个进行判断即可． 【详解】解：①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等；说法正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故①正确； 由，则进行“绝差操作”后结果为：， ，，，， ，，，， 共8种，故②错误； 下面是7种不同的运算结果： ，，，，， ， ，即最少有7种结果，故③错误． 综上，正确的有2个． 故选：C． 15．B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①不符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①错误； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为： ， 当时，，说法④正确， 故选：B． 16．D 【知识点】整式的加减运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的加减与乘法，求出，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，从而得到，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数，为关于的三次三项式，此时，故说法①正确； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 即， ∴， ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 故选：D． 17． 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 18．1 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 19．-99 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式 【分析】观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案． 【详解】解：由知， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是理解求和符号“”的意义，求出，的值． 20． 【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据题意列出代数式和等式，对与的大小关系进行分类讨论，用消元法求出的最小值即可． 【详解】解：∵为“3型数”， ∴①， ∵为“3型数”， ∴②， 由①②得， ∵是“型数”， （1）若，则不产生错位， ∴， ∴③， 联立①③得， ， ∴，即 ∵都是整数， ∴不符题意，舍去， （2）若，则产生错位， ∴是“型数”， ∴， 即④， 联立①④得， ∴， 将， 代入， ∴， 又∵， ∴, ∵， ∴当最大时，最小，此时，， ∴最小． 故答案为：． 【点睛】本题考查学生列出代数式和等式进行计算的能力，根据与的大小关系进行分类讨论是本题难点． 21．（1）8；（2）18． 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】（1）利用题中的新定义直接代入数据，计算即可得到结果； （2）先根据三角形计算的定义和同底数幂乘法的计算法则可得，再将五角星得定义代入数据后同底数幂运算即可求得结果． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：   =； （2）∵  =3，即， ∴， ∴， 依题意得  ， ∴  ． 【点睛】此题考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．(1) (2)是定值，定值为10 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据长方形的面积公式求出、，再作差即可得解； （2）先求出正方形的周长，再得出正方形的边长，从而表示出，再求出即可得解． 【详解】（1）解：根据长方形的面积公式可得：，， ∴ ， 故； （2）解：正方形的周长为：， 正方形的边长为：， ， ， 故与的差是定值，定值为10． 23．(1)， (2)选择在甲网店购买较为合算 (3)在甲网店购买个篮球，配送根跳绳，再在乙网店购买根跳绳更省钱，付款元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）把代入两个代数式计算，得出结论； （3）在甲网店购买个篮球配送根跳绳，再在乙网店购买根跳绳最划算． 【详解】（1）解：依题意得∶ 在甲网店购买需付款∶元； 在乙网店购买需付款∶元； 故答案为：，； （2）解：当时， 在甲网店购买需付款∶元﹔ 在乙网店购买需付款∶元． 因为， 所以当时，应选择在甲网店购买较为合算； （3）解：由（2）可知，当时，在甲网店付款元，在乙网店付款元， 在甲网店购买个篮球配送根跳绳，再在乙网店购买根跳绳合计需付款∶ 元． 因为， 所以省钱的购买方案是∶在甲网店购买个篮球，配送根跳绳，再在乙网店购买根跳绳，付款元． 24．（1）；（2）①；②；（3）或 【知识点】综合运用公式法分解因式、分组分解法、已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而得到，据此求出a、b的值，再代值计算即可； （2）①先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先分组得到，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）设，则可推出，则，即，根据都是整数，，得到或或或，据此求出m、n的值，即可求出a的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 25．（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）；（3）1；（4）三 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可； （2）直接根据得出的规律即可求解； （3）利用规律计算原式即可得到结果； （4）由8100，根据得出的规律即可求解． 【详解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）∵的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列， ∴的展开式共有项，从规律可发现系数和为； （3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1； （4）8100 根据规律可知，除以7余数为1， ∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三． 【点睛】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键． 26．（1）；；（2）的值为或；（3）数的取值范围是． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、解一元一次方程（二）——去括号、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据题意，分别解出的中点，再将中点表示的数代入公式解题即可； （2）设线段，的中点分别为，，分两种情况讨论，当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，根据题中计算公式，分别讨论与的大小关系，化简即可解题； （3）设点表示的数为,点表示的数是，则，分别求得的中点为，的中点为，的中点为，设，分三种情况讨论，①当点均在之间时；②当点在左侧，点在右侧时；③当点均在的右侧时，分别解得与的值，再结合解题，舍去不符合题意的情况即可． 【详解】解：（1），，，表示的数分别是，，，， 的中点为，的中点为， 的中点为，EH的中点为，此时两中点重合， 故答案为：，； （2）设线段，的中点分别为，， 因为，， 所以点，在数轴上表示的数分别为，， 所以， 因为线段，的相对离散度， 所以， 由题意，可知点与点不能重合， 所以，即， 当点在点的左侧时，， 解这个方程，得； 当点在点的右侧时，， ， 解这个方程，得， 综上所述，的值为或． （3）设点表示的数为,点表示的数是，则 的中点为，的中点为1，的中点为，设， ①当点均在之间时， 当时，，当且仅当时满足 此时不合题意； ②当点在左侧，点在右侧时， ， 当时，， 数轴上点，都在点的右侧 点，不重合 ③当点均在的右侧时，与①同理，不符合题意， 综上所述， 所以数的取值范围是． 【点睛】本题考查数轴，涉及绝对值的化简、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键． 27．（1），，；（2）①；②；（3）4；（4）存在，，，原式最小值为2023 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）将整个图形当作一个正方形和作为9个长方形或正方形求面积即可得解； （2）根据（1）可得，进而整体代入即可求解； （3）将原式变形为两个完全平方式与一个常数的和，利用偶次方的非负性即可求解y的值，进而求解； （4）将原式变形为两个完全平方式的和，利用偶次方的非负性即可求解； 【详解】解：（1）将整个图形当作一个正方形，则面积为， 将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为， ∴， 故答案为，，； （2）①∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴故答案为 ②∵， ∴， ∴即， ∵， ∴， 故答案为； （3）∵， ∴即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （4）存在， 原式    当，时，原式最小 ，，原式最小值为2023． 【点睛】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$