第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，云南专用）

第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列式子中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．在中，已知，则x的值是（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 4．用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 5．已知是方程的一个解，则的值为　　 A． B． C．2 D．﹣1 6．下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 7．某校八年级共有学生160人，已知男生人数比女生人数的2倍少50人，设男生、女生的人数分别为，人，根据题意可列方程组是（ ） A． B． C． D． 8．若单项式与是同类项，则的值是（ ） A．9 B．8 C．2 D．1 9．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是（ ） y 3 2 x A．1 B．17 C． D． 10．二元一次方程的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（ ） A．3 B．5 C．9 D．11 12．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ） A． B． C． D． 13．若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（ ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中、，若A、B两点关于x轴对称，则点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．已知 ，用含x的代数式表示y，则 ． 17．写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 18．已知方程组，则用含x的代数式表示 ． 19．对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．） 20．（7分） 21．（6分）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 22．（7分）冬季来临，某电器店开始销售A、B两种型号的取暖器，A型取暖器每台元，B型取暖器每台元．若两周内共销售台，这两周的销售额为元，A、B两种型号的取暖器分别销售了多少台？（请用二元一次方程组的知识解答） 23．（8分）用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示． (1)求每块地砖的长与宽． (2)求所拼成的矩形地面的周长． 24．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 25．（8分）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 26．（8分）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 27．（12分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． (1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． (3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列式子中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程组的定义即可求解． 【详解】解：A．，是二元一次方程，故该选项符合题意； B．，只有1个未知数，是一元一次方程，故该选项不符合题意； C．，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D．，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意． 故选：A． 2．在中，已知，则x的值是（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】把代入求出x的值即可． 【详解】解：代入中得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 3．下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，将选项中的逐项代入二元一次方程验证即可得到答案，熟记二元一次方程的解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解； B、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解； C、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解； D、把代入方程，左边右边，所以是方程的解； 故选：D． 4．用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把两个方程相减，合并同类项即可得到答案． 【详解】解：得： 即 故选D. 5．已知是方程的一个解，则的值为　　 A． B． C．2 D．﹣1 【答案】C 【分析】已知方程的解，代入方程中，即可求出答案． 【详解】解：把代入方程得： ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将解代入原方程，即可得到答案． 6．下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解及其解法，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为， 故答案选B． 7．某校八年级共有学生160人，已知男生人数比女生人数的2倍少50人，设男生、女生的人数分别为，人，根据题意可列方程组是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设男生、女生的人数分别为x、y人，根据男女生共160人且男生人数比女生人数的2倍少50人，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设男生、女生的人数分别为x、y人， 依题意得． 故选：D． 8．若单项式与是同类项，则的值是（ ） A．9 B．8 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，那么这两个单项式是同类项”、二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义是解题关键．先根据同类项的定义可得，再解方程组求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， 则， 故选：A． 9．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是（ ） y 3 2 x A．1 B．17 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案． 【详解】解：设2与x中间的数为z，由题意得： ， ∴． 故选：C． 10．二元一次方程的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是用y表示出x．将，代入计算得到x为正整数即可． 【详解】解：方程， 解得：， 当时，；时，；时，， 则方程的正整数解有3个． 故选：C． 11．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（ ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 12．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 13．若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 14．如图，在平面直角坐标系中、，若A、B两点关于x轴对称，则点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称与坐标变化、点所在的象限，涉及了二元一次方程组的求解．关于x轴对称的两点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： ∴点在第四象限 故选：D 15．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论，即可． 【详解】解：设购买了个篮球，购买了个足球， ∴， 整理得：且，为正整数， 当时，；当时，；当时，； ∴该社团共有种购买方案． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．已知 ，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算即可． 本题考查了用一个未知数表示另一个未知数，熟练掌握等式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 ． 故答案为：． 17．写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 18．已知方程组，则用含x的代数式表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握根据二元一次方程，用一个未知数表示另一个未知数．根据，把用表示出来，然后再把代入进行化简即可． 【详解】解：∵， 由①得：， ， ∴， 故答案为：． 19．对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则 ． 【答案】11 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入，再把代入计算即可求出值． 【详解】∵，， ∴根据题中的新运算，得 解得 ∴， ∴． 故答案为：11 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．） 20．（7分） 【答案】． 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法．先化简原方程组，再利用加减消元法进行求解即可． 【详解】 解：， 原方程组化简为：， 得：， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：． 21．（6分）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 22．（7分）冬季来临，某电器店开始销售A、B两种型号的取暖器，A型取暖器每台元，B型取暖器每台元．若两周内共销售台，这两周的销售额为元，A、B两种型号的取暖器分别销售了多少台？（请用二元一次方程组的知识解答） 【答案】A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台． 【详解】解：设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台， 解得： 答：A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台． 23．（8分）用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示． (1)求每块地砖的长与宽． (2)求所拼成的矩形地面的周长． 【答案】(1)每块地砖的长与宽分别为和 (2)所拼成的矩形地面的周长是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系是解题的关键． （1）设每块地砖的长与宽分别为，根据图中关系可得，解方程组即可； （2）由矩形周长公式求解． 【详解】（1）解：设每块地砖的长与宽分别为， 由题意得：， 解得：， ∴每块地砖的长与宽分别为和； （2）解：所拼成的矩形地面的周长， 答：所拼成的矩形地面的周长是． 24．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 25．（8分）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【答案】见解析 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，根据“两个工程队总共完成350米，共用时30天”分别列方程，求解即可得到答案． 【详解】解：选择的方程组为甲， 设为工程队工作的天数； 为工程队工作的天数． 根据提意得， 解此方程组得， ，， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 选择的方程组为乙， 设为工程队整治河边道路长度； 为工程队整治河边道路长度． 根据提意得， 解此方程组得， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 26．（8分）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 27．（12分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． (1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． (3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 【答案】(1)每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元 (2)共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆 (3)方案一获得利润最大，最大利润为万元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程根的计算，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买型车辆，购买型车辆，由此列式，代值计算即可求解； （3）根据利润的计算，进行比价即可求解． 【详解】（1）解：设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元， ∴， 解得，， ∴每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元； （2）解：设购买型车辆，购买型车辆， ∴， ∴， ∴是的倍数，且是正整数， 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆； （3）解：方案一：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案二：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案三：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； ∵， ∴方案一获得利润最大，最大利润为万元． / 学科网（北京）股份有限公司 $$