函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练-2025届高三数学二轮复习

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练 考点一 函数的单调性 1．（24-25高三下·广东深圳·开学考试）下列函数中在区间单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·云南红河·期末）已知函数，存在实数且，对于上任意不相等的两个实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末·多选）已知函数为上的单调函数，则实数的取值可以是（   ） A． B． C．2 D．3 9．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数则不等式的解集是 ． 10．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 考点二 函数的奇偶性 1．（24-25高三上·重庆长寿·期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·广东广州·开学考试）函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·湖南常德·开学考试·多选）已知函数满足对任意，都有，则（    ） A． B．可能是增函数 C． D． 6．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知函数为奇函数，则 . 7．（24-25高三上·广东·期末）已知函数，为奇函数，其中，则 8．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为 . 9．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数是奇函数，则 ． 考点三 函数的单调性与奇偶性综合 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知奇函数在上是减函数，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 6．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广东湛江·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是（      ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·河南三门峡·期末·多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．函数的零点是 C．在上单调递增 D．的最大值是 9．（24-25高三下·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解为 ． 10．（24-25高三上·辽宁·期末）已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为 . 考点四 函数的周期性与对称性 1．（2025·云南昭通·一模·多选）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江西九江·阶段练习·多选）已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D． 3．（24-25高三下·广西·开学考试·多选）定义在R上的函数满足，，若，其中k为正整数，则（     ） A．5是的一个周期 B． C．的图象关于对称 D． 4．（24-25高三上·河南周口·期末·多选）已知函数满足：①对，，且；②；③为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·浙江金华·期末·多选）已知定义域是的函数不恒为0，满足，且则（   ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D． 6．（24-25高三上·河南许昌·期中·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若的增区间为，则 B．若在上单调递减，则 C．若的极大值为0，则 D．若，则曲线的对称中心为 7．（2025·福建·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数a，使得的图象关于点对称 B．任意的实数a，b，函数恒有两个极值点 C．设为的极值点，则 D．当时，若（其中），则 8．（24-25高三下·山东德州·开学考试·多选）已知函数及其导函数的定义域都为，若，，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·山西·期末·多选）已知定义域为的函数满足，且，，则（   ） A． B．为偶函数 C． D． 10．（24-25高三上·河南南阳·期末·多选）已知函数. (1)当时，求证：的图象关于点对称； (2)若，，证明：； (3)若，恒有，求实数的取值范围. 11．（24-25高三下·湖北·开学考试·多选）已知函数，其中 (1)当时，求曲线的对称中心； (2)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练 考点一 函数的单调性 1．（24-25高三下·广东深圳·开学考试）下列函数中在区间单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对于选项B：在区间上单调递减，故选项B错误； 对于选项C：在上单调递增，在上单调递增； 对于选项D：在上单调递减，在上单调递增，故选项D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 4．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 5．（24-25高一上·云南红河·期末）已知函数，存在实数且，对于上任意不相等的两个实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于上任意不相等的两实数，都有， 即对于上任意不相等的两实数，都有， 令，所以是在上的增函数，且 ， 所以，所以， 故由题意可知，存在，使得， 所以，且的最大值为， 所以. 故选：D. 6．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 7．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得解得. 故选:C. 8．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末·多选）已知函数为上的单调函数，则实数的取值可以是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】AB 【详解】因为函数是单调函数，又因为单调递减，所以在上单调递减， 则， 解得． 故选：AB． 9．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】函数， 显然在上单调递增，在上单调递增， 且，即时函数连续，所以在上递增， 不等式可化为，即，解得或， 则原不等式的解集为． 故答案为：. 10．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知函数定义域为或， 令是二次函数，对称轴为，在上单调递增， 由复合函数单调性可知，在上严格增，则. 故答案为： 考点二 函数的奇偶性 1．（24-25高三上·重庆长寿·期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为，因为，所以此函数为偶函数，所以A错误， 对于B，函数的定义域为，因为，所以此函数为奇函数， 因为无解，所以此函数无零点，所以B错误， 对于C，函数的定义域为，因为，所以此函数为奇函数， 由，得，方程无解，所以此函数无零点，所以C错误， 对于D，函数的定义域为，因为，所以此函数为奇函数， 由，得，解得，所以此函数存在零点，所以D正确. 故选：D 2．（24-25高三下·广东广州·开学考试）函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题设，整理得， 所以，此时， 由且定义域为R，满足题设， 所以. 故选：D 3．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数值域为R，，是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是奇函数， 当时，，求导得，当时，； 当时，，函数在上递增，在上递减，， 而当时，，即函数的值域不是R，C不是； 对于D，函数的定义域为，，是奇函数； 当时，都递减，则函数在上单调递减， 函数在上值域为，在上值域为，因此函数在上的值域是R， 同理函数在上的值域是R，D是. 故选：D 4．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 因为是偶函数，所以， 即①， 因为是奇函数，所以， 即②， ①②联立得，所以. 故选：A. 5．（24-25高三下·湖南常德·开学考试·多选）已知函数满足对任意，都有，则（    ） A． B．可能是增函数 C． D． 【答案】ACD 【详解】令，得，解得， 代入，得，所以A正确，B错误； 用替换中的，得， 用替换中的，得， 所以，故D正确； 中，取得，取得， 所以，故C正确. 故选：ACD. 6．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知函数为奇函数，则 . 【答案】2 【详解】因为为奇函数，所以，解得或， 当时，，成立； 当时，，，，故不成立， 所以. 故答案为：2. 7．（24-25高三上·广东·期末）已知函数，为奇函数，其中，则 【答案】 【详解】设，则，因为函数为奇函数，所以. 所以. 所以. 故答案为： 8．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】. 【详解】是定义在上的奇函数，故可得，即， 当时，； 设，则，故， 即，则，即当时，； 则，，， 故曲线在点处的切线方程为：， 也即，整理得：. 故答案为：. 9．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】因为是奇函数，故， 故恒成立，故，或， 当时，函数定义域为，不关于原点对称，舍， 故，此时，故， 故答案为：. 考点三 函数的单调性与奇偶性综合 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，函数的定义域为. ∵， ∴为奇函数. ∵，∴， ∵，当且仅当，即时取等号，， ∴恒成立，即在上为增函数. ∵， ∴， ∴，解得，即的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，由对恒成立， 所以的定义域为， 又 ， 所以函数为奇函数，由复合函数的单调性可得在上为单调递增函数， 由，可得， 所以，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集是. 故选：A. 3．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数， 则，故函数在上递增， 所以, 又，，， 所以， 又是偶函数，则 ， 所以，，，. 故选：B. 4．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知奇函数在上是减函数，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为奇函数在上是减函数，且， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：A. 5．（24-25高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【详解】的定义域为，而，则， 故是奇函数， 由于，函数单调递增，故在上单调递增， 故选：B 6．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以．又，所以．根据题意作出的大致图象如图所示，   等价于或由图可得． 故选：D 7．（24-25高三上·广东湛江·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为， 设，则，即函数为偶函数 ， 当时，，则函数在上单调递增，B满足要求； 对于C选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递减，C不满足要求； 对于D选项，函数为偶函数，且该函数在上单调递减，D不满足要求. 故选：B. 8．（24-25高一上·河南三门峡·期末·多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．函数的零点是 C．在上单调递增 D．的最大值是 【答案】ABD 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以，函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，A对； 对于B选项，因为，令，可得， 所以，函数的零点是，B对； 对于C选项，当时，， 因为内层函数在上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为减函数， 所以，函数在上为增函数，在上为减函数，C错； 对于D选项，当时，；当时，且， 要考虑函数的最大值，只需考查函数在上的最大值. 由C选项可知，函数在上为增函数，在上为减函数， 则，D对. 故选：ABD. 9．（24-25高三下·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解为 ． 【答案】 【详解】因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 且，所以在单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 10．（24-25高三上·辽宁·期末）已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为 . 【答案】 【详解】已知当时，， 将其变形为，进一步整理得. 令，对求导， . 当时，，， 可得，所以在上单调递减.   因为是定义在上的偶函数，即. 那么，所以是奇函数.   所以在上也是单调递减.   已知，则. 当时，，则， ∴不等式可化为，即. 因为在上单调递减，则. 当时，；，得，则， ∴不等式可化为，即，则. 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 考点四 函数的周期性与对称性 1．（2025·云南昭通·一模·多选）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】为奇函数，则关于点中心对称，则， 又因为，令则，则故则关于直线轴对称. 又因为，故，则的周期为8. 对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误； 对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确； 对于C：在上也单调递增，故C错误； 对于D：则 而在上也单调递增，则，故D正确. 故选：BD. 2．（24-25高三下·江西九江·阶段练习·多选）已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D． 【答案】AB 【详解】由，可得，则， 令，得，A正确． 令，则，故为偶函数，B正确． 假设的图象关于点对称，则，则，即关于直线对称，又不是常函数，这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立，C不正确． 因为的图象关于点对称，所以，令，则， 则（C为常数），则， 从而，即， 由，得，D错误． 故选：AB． 3．（24-25高三下·广西·开学考试·多选）定义在R上的函数满足，，若，其中k为正整数，则（     ） A．5是的一个周期 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，，所以， 所以，即， 所以是周期为6的周期函数，所以A不正确; 对于C，因为，所以的图象关于直线对称，所以C正确; 对于B，在中，令，得，则， 因为，又的图象关于直线对称，所以， 所以，所以B正确; 对于D，由函数的对称性和周期性可得， 因为，即， 所以，，， 则， 结合函数是以6为周期的周期函数， 可得，所以D正确. 故选：BCD 4．（24-25高三上·河南周口·期末·多选）已知函数满足：①对，，且；②；③为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由，得， 则，即，即， 所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 所以，， 故A错误，C正确； 因为为偶函数，所以，即， 所以函数关于对称， 所以， 由，得，则， 又，所以，故B正确； 由，得， 则， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 5．（24-25高三上·浙江金华·期末·多选）已知定义域是的函数不恒为0，满足，且则（   ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D． 【答案】ABD 【详解】令时，，A正确； 令时，，解得或， 若，令，得， 因为不恒为0，所以，B正确； 令，可得， 所以关于点对称，C不正确； 因为，所以， 令，可得，， ， ， 可以发现函数的周期为，且一个周期内 ， 因为， 所以，D正确. 故选：ABD 6．（24-25高三上·河南许昌·期中·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若的增区间为，则 B．若在上单调递减，则 C．若的极大值为0，则 D．若，则曲线的对称中心为 【答案】ACD 【详解】函数定义域为R，求导得：， 对于A，若的增区间为，则的解集为， 所以，解得，正确； 对于B，若在上单调递减，则在上恒成立， 所以或，解得或，错误； 对于C，当时，令得，令得或， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处有极大值，则，解得，与矛盾； 当时，令得，令得或， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极大值，则，解得，正确； 对于D，若，则， 因为， 所以曲线的对称中心为，正确. 故选：ACD 7．（2025·福建·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数a，使得的图象关于点对称 B．任意的实数a，b，函数恒有两个极值点 C．设为的极值点，则 D．当时，若（其中），则 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，A选项正确； 对于B，，因为，所以有两个不相等的实数根，即恒有两个极值点，B选项正确； 对于C，易知，C选项错误； 对于D，当时，由（其中）可知，， 即，所以， 所以， 所以，D选项正确； 故选：ABD． 8．（24-25高三下·山东德州·开学考试·多选）已知函数及其导函数的定义域都为，若，，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为为奇函数， 所以， 取可得，， 所以，A正确； 由，可得， 所以（为常数）， 又，所以， 所以， 取可得，，故， 所以，又， 所以，即， 所以， 所以， 所以函数为周期为的周期函数， 因为，所以，， 所以，， 所以， 所以，， 又， 所以，又， 所以，C正确； 因为，， 所以， 所以，所以函数的周期为， 所以， 所以函数为周期为的函数， 又，， ，，B错误； 所以， 所以， D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高三上·山西·期末·多选）已知定义域为的函数满足，且，，则（   ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【详解】令，，则，所以， 令，，则，所以， 令，，则，所以，故A错误； 令，则， 所以，则， 令，则，所以，所以， 所以为偶函数，故B正确； 令，则， 所以，则， 所以，故C正确； 由，得，所以4为的一个周期， 由，得，， 所以， 所以，D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高三上·河南南阳·期末·多选）已知函数. (1)当时，求证：的图象关于点对称； (2)若，，证明：； (3)若，恒有，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，的定义域为. 对任意，都有 因为恒成立， 所以的图象关于点对称； （2）解法一：， 当时，是递增函数，因此，， 又，所以，在上递减， ， 因为，所以， 从而； 解法二：因为，所以， 欲证，只需证明 记，则 因为，，， 所以， 所以，在上递减， 因为，所以， 从而； （3）解法一：因为，恒有，所以 即，所以. 当时，因为，所以， 记，则 在上递减，在上递增，， 所以 综上所述的取值范围是. 解法二：，， 当时，，在上是减函数， 当时，， 因此不可能恒成立. 时，由得， 记，， 则有两个实根，一根小于1，一根大于1， 大于1的根为，知它是关于的减函数， 注意到在上是增函数，且， 即时，，时，， 所以时，，递减，时，，递增， 所以， 时，，此时， 记，在上递减，在上递增，且， 因此，，即成立. 当时，，， 当时，，，所以不恒成立. 综上，时，恒成立 所以的取值范围是. 11．（24-25高三下·湖北·开学考试·多选）已知函数，其中 (1)当时，求曲线的对称中心； (2)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，定义域为， 其定义域关于对称， 则 ， 所以函数的对称中心是. （2）由， 因为，所以，所以的定义域为， 则， 由题可得在区间上恒成立， 则在区间上恒成立， 则， 解得， 故实数a的取值范围为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$