精品解析：湖南省常德市津市市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

湖南省常德市津市第一中学2024-2025学年 高一下学期开学考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】通过画图即可直接判断. 【详解】因为函数与函数的图象有1个交点， 所以中有1个元素. 故选：B. 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由即可求得. 【详解】. 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属基础题. 3. 若函数与的图象的任意连续三个交点均构成钝角三角形，则正实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定组成三角形为等腰三角形，结合钝角三角形的限制条件可得答案. 【详解】如图，作出函数和的图象， 不妨以图中为研究对象，由对称性可得是以C为顶角的等腰三角形， 过C点作于M，则，得， 由，得，则， 所以， 要使为钝角三角形，只需即可， 由，整理得． 故选：B 4. 已知，则取得最小值时的的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得， ， 当且仅当即即时，等号成立. 故选：D 5. 为了得到函数的图象，只需将图象上所有点（ ） A. 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 B. 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度 C. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度 D. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】首先将函数化成正弦型函数，再通过伸缩变换和平移变换求解即可. 【详解】由诱导公式可得，， 对于选项A：通过伸缩变换以及平移变换得，， 故A错误； 对于选项B：通过伸缩变换以及平移变换得，， 故B错误； 对于选项C：通过伸缩变换以及平移变换得，， 故C错误； 对于选项D：通过伸缩变换以及平移变换得，， 故D正确. 故选：D. 6. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A 39分钟 B. 41分钟 C. 43分钟 D. 45分钟 【答案】B 【解析】 【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案. 【详解】由题知，，， ， ， ， ， . 故选：B. 7. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断每一个函数的奇偶性和单调性得解. 【详解】A. ,是奇函数不是偶函数，所以该选项错误； B. ,所以函数是偶函数，由于函数在区间上是增函数，所以函数在区间上单调递增，所以该选项是正确的； C. 不是偶函数，所以该选项是错误的； D. ，所以函数是偶函数，由于函数在区间上是增函数，在上是减函数，所以函数在上是减函数，所以该选项错误. 故选B 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 设，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性分别比较与0,1的大小关系得到答案. 【详解】，，，故 故选 【点睛】本题考查数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用. 二、多选题 9. 可以作为的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先解不等式，然后判断充分不必要条件. 【详解】， ， ，解得或. 所以可以作为的一个充分不必要条件是或. 故选：AC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上无最大值 B. 的图象的两条对称轴之间的最小距离为 C. D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】由正弦型函数的图象与性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由，得，当，即时，取得最大值2024，A错误． 选项B：设的最小正周期为，则的图象的两条对称轴之间的最小距离为，B正确． 选项C：，，因，且在上单调递减，所以，所以，C正确． 选项D：令，解得，令，解得，矛盾，所以的图象不关于点对称，D错误．（另解：因为，所以的图象不关于点对称） 故选：BC 11. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集.则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（ ） A. B. 任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立 C. ，，恒成立 D. 不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接由解析式计算可判断A；分和两种情况讨论可判断B；举反例取，，可判断C；分中有两个是有理数，一个是无理数或者两个是无理数，一个是有理数讨论，每种情况再分角为直角三种情况讨论可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A，，所以，故选项A正确； 对于B，任取一个不为零的有理数，若，则，满足；若，则，满足，故选项B正确； 对于C，取，，则，而，所以，故选项C错误； 对于D，当均为有理数或均为无理数时，三点在一条直线上，不能构成三角形，所以中有两个是有理数，一个是无理数或者两个是无理数，一个是有理数，不妨设是有理数，是无理数，则，，，因为为等腰直角三角形，所以若角是直角，则，与是无理数矛盾，若角是直角，则，与是无理数矛盾，若角是直角，因为，所以，与是无理数矛盾，所以此时不可能为等腰直角三角形，当中有两个无理数一个是有理数时，不妨设是无理数，是有理数，则，，，因为为等腰直角三角形，所以若角是直角，则，与是有理数矛盾，若角是直角，则，与是有理数矛盾，若角是直角，因为，所以，且是有理数，只能是两个互为相反数的无理数，即，即，又因为为等腰直角三角形，所以，，或，与是无理数矛盾，所以不可能为等腰直角三角形，综上所述：不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12. 若幂函数在上单调递增，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用幂函数的定义求出或，再利用单调性检验即可. 【详解】因为是幂函数， 所以， 解得或， 时在上单调递减，不合题意； 时在上单调递增，符合题意， 所以， 故答案为：. 13. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先将弦化切，求出，再利用二倍角余弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得； 【详解】解：因为，所以，解得， 所以 故答案为： 14. 在算式“”的两个中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对应为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设中填入的正整数分别为、，则有，进而有它们的倒数和为，由基本不等式的性质分析可得当且仅当时取得最小值，此时有且，解可得、的值，即可得答案． 【详解】设中填入的正整数分别为、，则有，它们的倒数和为， 则有， 当且仅当时等号成立，此时且， 解可得，， 则两个数构成的数对应为； 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和图象的对称中心； （2）当时，函数的最大值为11，最小值为3，求实数的值． 【答案】（1），对称中心是 （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得，然后利用周期公式可求出周期，由可求出对称中心的横坐标，从而可求出对称中心， （2）求得，，得，然后分和两种情况讨论可求得结果. 【小问1详解】 函数 ， 所以的最小正周期． 由得， 所以函数的对称中心是． 【小问2详解】 ， 由，得， 则． 当时，的最大值为，最小值为， 所以解得 当时，的最大值为，最小值为， 所以解得 综上所述，或． 16. 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式结合补集的概念即可得解. （2）由题意得，由此即可得解. 【小问1详解】 由题意当时，， 所以或. 【小问2详解】 由题意， 而方程的两根分别为， 因为，所以， 若时，则， 解不等式组得，所以实数的取值范围为. 17. （1）已知，且，求； （2）已知函数，若，求的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及对数的性质求出，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用诱导公式化简，即可得解; （2）根据的范围求出的取值范围，即可求出的取值范围，从而得到的值域. 【详解】解：（1） ，， ，， ，， （2）且， ，， 故函数的值域为. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，及正弦型函数的值域，属于基础题. 18. 如图所示，为积极开展“最美怀化”建设，我市某校中学现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上. （1）当点分别是边中点和靠近的三等分点时，求的正切值； （2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1）1；（2）是，. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再利用两角和的正切公式求出，即可得解； （2）设，在利用勾股定理即可得到，在由锐角三角函数表示，，利用两角和的正切公式得到，即可得证； 【详解】（1）由题意可知， 所以， 由题意可知，所以， 所以.故. （2）设，所以 在直角三角形中， 所以， 整理得 因为， 所以 将代入上式可得， 所以， 所以为定值. 19. 联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的以上（含），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为（万），60岁以上的人口数可近似表示为（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万． （1）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由； （2）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）． 参考数据：． 【答案】（1）142；不可能突破，理由见解析； （2）20万. 【解析】 【分析】(1)根据所给的公式，将有关数据代入计算即可； (2)利用公式 将年份代入计算即可. 【小问1详解】 年该地区人口共计105万， ，， ， ， ， 未来该地区人口总数不可能突破142万； 【小问2详解】 该地区2013年恰好进入老龄化社会， ， ， ， 万 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市津市第一中学2024-2025学年 高一下学期开学考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 若函数与的图象的任意连续三个交点均构成钝角三角形，则正实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，则取得最小值时的的值为（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需将图象上所有点（ ） A. 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 B. 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度 C. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度 D. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度 6. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 39分钟 B. 41分钟 C. 43分钟 D. 45分钟 7. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 可以作为的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 上无最大值 B. 图象的两条对称轴之间的最小距离为 C. D. 的图象关于点对称 11. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集.则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（ ） A. B. 任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立 C. ，，恒成立 D. 不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形 三、填空题 12. 若幂函数在上单调递增，则__________． 13. 若，则_______． 14. 在算式“”的两个中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对应为______ 四、解答题 15. 已知函数． （1）求最小正周期和图象的对称中心； （2）当时，函数的最大值为11，最小值为3，求实数的值． 16 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）当时，求实数的取值范围． 17. （1）已知，且，求； （2）已知函数，若，求的值域. 18. 如图所示，为积极开展“最美怀化”建设，我市某校中学现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上. （1）当点分别是边中点和靠近的三等分点时，求的正切值； （2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由. 19. 联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的以上（含），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为（万），60岁以上的人口数可近似表示为（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万． （1）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由； （2）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）． 参考数据：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$