2.4 三角形的中位线-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版）

△Ba△HAsA3,iD= “陶边每A这中是平士料道形 ∠a 能方在线 士A了=岁.=《F.= 4,),西边影AD是平口习边形..AF8 ∠A=∠ 互C国 风边形ACD为平行W边B. 又”AEF.二，四边形ACF是半行图诗形： 在△E0程△FOD中 ∠EA0=∠O, 7,)周，△AH0停为年求作的三角想 AB■D,且9D 1∠1u∠2 A'n. 5A4,D 1力片国边形AD是平行洲a带 △RUC△FCKAAS的，=以 1)AB+AC2AD理自期 1.n8D, 二AH=D,4= 又：4=(，边思A军是平廿同边形 拓展在膜 六.∠A+∠D-14,∠+∠C=1B ?四功影4武下是平行W边思， 【相健W升1主 , g∠A=∠C,,∠D-∠且 AEFC.AFCE.HE DF. 阶段测评1(2.1一2.2到 第2课时 中心时释图形 立同边形D是平行国边形 (BE-DF. 1B￥，0a,C4,Ⅱ308c,四 基础在以 在△A和△DF中，A=于 我E=DF(答案不难一1数版，1e1L4石2,8 L,A2A三L 力在齿 AO-CD. 1以，如国.里据题度，得∠3=◆- 糖方在候 4 AAB@人DFY888 10.3 CEFGHLAFCH.CIRDE ,“陶边命AD是平行料边币， '∠2+∠8+∠4=18， 5,4相同和等 1,:离边形AD是平H西道形， ∴D=AB,A=',∠AH=∠报 《录计国形如国 .∠AK=∠A,AD8CL 又”△4E程△下多基等造三角形， E平分∠AC,BF平分∠AC, DE●ADAE,CFBF■，∠E∠Fw 解青比大过用第每一个为期为华一1工-1， 理山：平行图边形是中心对释国 形，对林中心是简条时角线的义点，只要满芷两块地自朝 ÷∠ADE-∠AI,∠TF-TZA8X BF-DECPAF 正雀边无的一个内角为位一》X1侧-1， 相等，且库求并军流国以， ∠于-∠一∠.∠A=∠-∠0 ∠1■360--1'-10g4 :经这意0静作意一条直线平计平行国边形的自积， ∠ADE=∠aF:,∠EDF=∠TF 又"ADNB,品∠F=∠CBF,∠E=∠ADE 14,(蓝明：图站形AD是平行国边形 品找再鲜角线的受点与水井气严前座线州在直假即可 CD-AB. 拓展在 ∠F=-∠E 5AD IC.AD- A△DFM△BAE巾，∠D下-∠A1E. “,西边能F?花是平H周自形 ∠A=∠，∠AD=∠Ip CF-AE. 挂，水正正快不耀一，其他正副方法明 世点E是A出边的中直.E=E .△Fa△Ms%,.DW=6 佰黑在线 △DE☑△IAAs.A=BF 又”F一DF,程过BEDF是半行日诗E 这，I)罐精：得边形AD是罕行传边形， 义AD=,BF✉设 ,1任明：？有E,F,:H骨渊是平行国边形1D养边 4D∠O-∠Ta (2)W厚边琴ACD是平行图山B 的中直： :点0是A的中点.二A从)=Y2 ,A8CD,4na.∠E-∠EF AH8F,A=(下 世减王AH.∠F=30.∴∠pf= ∠EO=∠FN ∴.四边密AFC程是平行习诗形.，AM公V 世比一AB,p球=（么：△多是等装直角三角形， 雀△(hE别△（下中：A0: 何理可得网力用A(是平行再边郑， ∠DT=∠E=45,∠FC=1 ∠N-∠（球 ANL料直形ACN是平行同边形 6,(1)话扇：料达用A州D是子行得边形 .△M2△C市A5A-球 2.4三角形的中位线 力能所承，直接A ,M0=)-D认 :日，G什制是AD,D的中点 基留在博 E=DF,F以 品国边时FH是甲行四边后 品点N是△AD的熏 LB名D1,H4B5,AC7,814 ,置边形A平整早行四毒用 力与西边形AG口面积用尊的所有羊廿得进形有 CN-2HN. ()=..8-=3 3,PG分别是A8.D.M的中点 OGOCH.CMAUNE.OEFCD.CEGFN ”m边形F是平什图连形 FG-AD EG-BC. 液专4平行四选形的性质和判定 5时=5m=2:- YADBC.&FGEG. 24 又H是△Ap你中线-5 ,△C记的面积为1. 世H是EF的中点， 2,1)=0g答宽木里一1 16.1证明：：月边形A琪D黄平国边形 CHLEF. (2)隆明：：四动形ATD是平行国边形 号AC是可AAN可AXT)的对角线： 5.AD-CB.AD/CB. 使力在线 ABSCD,∠A=∠CDA. 名发m-青s -Bp,AD-球=Ci-E ∠E-∠FDH,∠E-∠E A=求AP车， h北.e2.D山. 在△：与△球H中， :口A1域V的南L为， 房边形LF是平行国虚形.4LE-4少 14.山证围，如丽①，延长DE到点F,使得E=DE些接 ∠K-∠F 口ABCD的面阳为2 =CH,AE一G=F-CH.品FG=FH KE-DF, .【定理重观】证副：：初自虑A议)是半初四边和 2》与∠AFG至条前角有∠AE,∠FGi,∠FD 片点尼是A心的中点，A■里 ∠EB,∠FDH ACD,AB=队 /ECH. 在△AD和△于中， 3,AF=, ∠A-∠DO,∠AD=∠Da .3中心对称中心对称图形 A5-B, AF-EI-6E-F ∠-∠T 影1课时中出对非 ∠AED=∠EF, ,AE=方 在有凸)中，AB=D 游意在线 DE-FE. ∠C-∠D3A:H84B ∠AA=∠ L2,Ap △AEDH△EFSM9, ∠HE-∠DF ∴△A2AXAs,∴A-C=( 4加丽：△AB厚为所求 ∠A-∠E,A0-,ADCF 在△AR△TP中，AE=: 【性规破用】 :点D是A打的中点.，AD=》=事 ∠AED=∠市D. 话璃，智国边形山D是平行周边形， 的思K市D是平行图面形 AABEOACDFYASA).ABCIL ADK,=C∠E=∠入∠A DEIC.OF-C. 深究在所·八年雪数学（下）·X灯 21 又E-FE,4DEDF=C ∠E=∠FMR AN-DC. L11:道形A丝日是受形，=3，=12： ∠12-∠5F ∠1=∠3 :pE/nC.n 品5mwn-ABD-寸X2-现 ED-EF. -CM. C份长为6.能本：因中，毒接AN并是长义BC的 △CDB≌△MFEIAAX ,△nDCM(SAS.∠A-∠D 生一了国下 某长H干点E,蓝ALDN0△ECN,有AVNE.进西可 (2蓬接：W边影AD为即B, :∠1=∠=0，口AK0为年毛 ,AC⊥HD ∠H=∠DCE-b,AB=CD-12A=C-1n 店邦必，明略 厚MN为△ABE的中位线 2.IK-2MN-CE E为r的中点球-(E-号B置一在 2,I)装明：平行国动形AD的对角线C,D奖于点 O,)w线 点0e=+p=+17=13 又：F=DE,R为△DF常的中位L 由I可得△(EAMFE, -号0+()-}c·0-A 二（军=ME,=F-4D=AM-12 aEF,且ag-4E BE ME 灵FE为a的中成，∴限■÷0 师展在残 辐展在线 下L,.∠EMG=侧 行 ,M=AF,4F.二国和AF0为平有四边用 ,售，接门.里时D的中点从，请醒 「F= 在R点B和R△MEG中，E一ME 《)得山=段时：国边影A下脚)是年形.餐屏年了 2G,3菱形的判定 EM.FIL 基码在明 ”阵边意A风D是平行国边形： ”点E是AD的中点. 二△HYGW△MGCHL,÷Gi=Aa L R 2B .M=即点0为AC的中点 .在△Ai0中，8L量 设O+上，周G=王F=GM十F=x+日， 3,在△A图相△AC中 A程=k.,用L1. EM-号AL 程F=十求=+1门=1， ,平行料边形AFB0是矩形。 (A0-AD. 又F7十F,(+12)'r+18 ∠MEF=∠P 拓深在拔 ACAC. 解便一导品，- = 1门，)相等，厘由是 月界可证FMCD,FM-T ”直搜， 黏展在线 2由：AB,∴∠AAC=∠lM 品∠MFQ-∠(QF ,∠0E=∠BL 1五6或10 ∠BAC-∠D.C,i∠CA-∠DAC 义B=D,对=M 上第分∠AD, A=4 .∠MF=∠M 之.2更形的刺定 ∠《X王=∠rE 基德在线 YAD"AD.CD-CD..AB-CD-CD-AD ,∠P=∠0F. .∠元=∠灯然4= 21短利 1,” 同库W蓝F=OC,花 :属功那ACD是菱惠， 上.因诗形ADF龄即形 L.C 马，五】形馆性质 2)裤点D雀AC的中点上时，因边用A下是距后 用下，：D,2,P登例是边，A4A的中点 三，t△师是直角三角形，星由如下： 基建在怪 程山是：A4-是=5， DE8AC,DFNA且 L∠A%容累不有一 压边轮手是平行风边用 国山后ACD是半四自电，D=k, 四边解ADF是平行网边形 EF=(C-1,二AC=F B-D=号D- 2.A1.D6D5CtC7.号 义：∠尼AC=,∴.国边思AEF是形 平行四边用AE下是距形. 号-8，U加=4，A=8 B.”国边参ACD是斯形， 26=菱形 品01+用=AF AB■CD,iR4D .:CELA.AF⊥(T 名，6,1菱思的性质 云△出是直箱三角形.且∠A岸-r ∠BAE-∠My ∠AE=∠AC=∠AFD= 慕延在线 延明.由1知，∠用=8，二1C上 文球⊥C.1, :闲自地AXT)昆平社图透形. 1ABA风暮案不明一) :平行目达带A兴D是菱湘 ,∠EU=∠CFD 品AsC段∠FAE=∠AF= 2B3,C4.1n163 4,105 在△AE与△中 ∠AY=∠AC=∠A=5 T国边形AD是卷魅， 镜力在线 ∠AB=∠CFD. 四边用A下是师形， ∴C-度C 1iAE-∠CF 1,1D4,A 在△下△BCE, ,AD度ABCD用∠AD∠CD) AB-CD. 1.号△MB为等边角形.A=0. ∠1=∠2 头，“AB=.D是道上的中规， △AHE2△DFLAAS, :对边单A议门是平行同边鬼： pe-nC. ,A》香直平分， A且-F 000p.OAOD.ACBL ZC-4C EDEC.FB-FC. .A十F=求+F .平行网应思A州》为起形 ADCFEABCECASA). YCF BE. 康AF=区 6A &DF-BE. .∠=∠T,∠D=∠ 回力在线 能力在镜 &4LD14万减2w 5D=CT.A7I△TAAs) 1e.A1.C,12:c1a5 ,A10.日 能力在极 BE FC.EB BF FCEC. 411D4减 l,D13,18度时 :辉边翻H球（是委形 ÷∠ME= (2减情@∠1-∠2 14.1)E晴，4A2△DFE 1011进明：T8AL- :G1D, 证明，：闲防形议D是平行肉应无 =OF,∠AF=∠FDE .∠AF=∠CFD,∠M=∠FTA ∠F= 二A,AH= A.Ay ov. :点E是AC的中A,AE=CE ∠DCE-∠EF ∠A十∠D=10 .库边意AFC是半行图自形 ÷△Aa△FEXA1s 在△E和△FE中： 在△A图△KM中， 42)18 当C以C时，丙a形ADC于是整形.任明下： 22 深究在线·八年级数学（下）·灯©2.4三角形的中位线 ①基础在线》 :识烫，点分类结 BD=16,则EF的长为 A.32 B.16 C.8 D.4 知识点三角形的中位线 1.(中考·云南)如图，A,B两点被池塘隔开，A, B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为 M,N.若MN=3米，则AB= 第6题图 第7题图 A.4米 B.6米 7.如图，在△ABC中，点D,E分别是AC,BC的 C.8米 D.10米 中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB 于点F,若AD=5,DE=4,则BF的值为 8.(教材P56练习T2变式)如图，在△ABC中， D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点，四边形 第1题图 第2题图 BEFD周长为14，则AB+BC的长为 2.(教材P57习题T3变式)如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E 是边BC的中点，AB=4,则OE的长为( A.2 B.1 c D.2 9.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,E,F,G, 3.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的 H分别是AB,CD,AC,EF的中点. 中点，∠C=45°，∠A=50°，则∠ADE的度数 求证：GH⊥EF. 为 ( A.959 B.85 C.75 D.50 第3题图 第5题图 4.(教材P56练习T1变式)（天津期中）已知三 能力在线》方法规体除合娠 角形的3条中位线分别为3cm,4cm,6cm,则 这个三角形的周长是 10.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中 A.3 cm B.26 cm 点，AC=20,F是DE上一点，连接AF,CF,DF C.24 cm D.65 cm =4.若∠AFC=90°，则BC的长度为() 5.如图，在△ABC中，AB=8,∠C=90°，∠A A.24 B.28 C.20 D.12 30°，DE是中位线，则DE的长为 () A.2 B.3 C.4 D.23 6.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD= AC,AE⊥CD,垂足为E,F是BC的中点，若 第10题图 第11题图 43探究在线八年级数学（下）·X灯 11.如图，△ABC的周长为26，点D,E都在边 BC上，∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为 Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P, 若BC=10,则PQ的长为 ( A号 B号 C.3 D.4 12.如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=3, M,N分别是AD,BC的中点，则线段MN的 取值范围是 ( A.1<MN<5 B.1<MN≤5 C<MN<号 D.1<MN< 第12题图 第13题图 13.如图，□ABCD的顶点C在等边三角形BEF 的边BF上，点E在AB的延长线上，G为 DE的中点，连接CG.若AD=3,AB=CF=2, 拓在线沙优拔尖提升…。 则CG的长为 15.如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD,点 E,F分别为AD,BC的中点，延长BA,CD, 14.我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角 分别交射线FE于P,Q两点. 形的中位线.三角形的中位线有如下性质：三 求证：∠BPF=∠CQF, 角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于 第三边的一半.下面请对这个性质进行证明. (1)如图①，点D,E分别是△ABC的边AB, AC的中点，求证：DE∥BC,且DE=BC: (2)如图②，在四边形ABCD中，点M是边 AB的中点，点N是边CD的中点，若AD∥ BC,AD=4,MN=5,直接写出BC的长. 图① 图② 第2章44