1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版）

温聚提杀：情做完后再看苍鼎： 1.:AB⊥4C,C-号BC g是D的中挂D=, 健力在候 品∠CAB=0,∠AB的 A-是D-E-a-号x2-1 3.C10,41L,5012,25+10w 参考答案 13(11在△中。 又“ADBC,∠DAB-∠A=30, p=1,÷E-Cp .∠DMC-∠CAn+∠AB=D AB=AC,,∠B=∠C 力=√=√1Q+-0打米 4.10 星BE-CD.△ABa△AD8AS (CELGB.AB LGB, 第【章直角三角形 5.B ∠MC-∠ECA=45 1,1直角三角形的性质和判定(I) 《.如丽所示，过点A作AE⊥CP于 AD-AE-1-Cp ∠CA-90-45=9 果】课时直身三角到的植质和利定 尾，过点B作球⊥Q于点下，则 X∠C1D=0,品∠C-3D时 .C=A罪=0米， 超在线 1.?直角三角形的性质和判定（重】 .BG=C+0元=1米. 在△中，AE-AC- LC 2.C 3.C 第1课时女段定理 过点D作DH⊥AB干点H 4.廿AD是△ABC的高，品∠BHD十∠HBD=n” 54=2m 善德在越 DG⊥GB,ABLCB, 女B然是△A的商，六∠HHD汁∠C=阿， 月理周得NF=7m, 1.B 2.A 3.B 4 B i.S .四边形NDG是能方表 ,∠BHD=∠G 又”点A与B之样的离为10n &t1》Y∠C-0'a=54c=10, ∴BH=DG=I6米 '∠C-6时'，∠BHD= 品薄过洲机的物体的最大宽度为2十10+27=64(m。 A日u0一10=0米 =√2一2=0--4 5.B 答：当双翼收老明可以通同桃的物沐的最大宽或为材严 在△DH中， GLD⊥C,∠4D+∠B= 健力在战 (2》￥∠C=0T,u=好，b=F, ,DH=-10米 若∠1=∠B.∴，∠1+∠AD=∠4C=00 7,C8.1120或90 c-w公+-中-41 .AD=√DH+AH=0+-13(米3. (3》ab=和1H,及a-Mrx之0)，则-15r 六△ABC是直角三角形. 1(门：△AC是等边三角带 拓展在碳 T,”DC是解边AB上的中线∠ACB=6, ∠ABC=∠ACB=",BC=AC ∠C-回'，=√@+g-√4+(54T=17x, 14.R CD=D带=Aa,“∠D路=∠我 ?D是边C的中意：CD-号C 又We4,17r=34,解得年=之 第3课时有限定理的速定理 又∠CF=可，AHEW, a=1,h=2初， 基码在碳 ∠DCB=∠B=∠CF= 文CE-c,∴CD-CE∠E∠cE- 7.A8.D 1,A玉A,B4G H∠ACD=∠ACB-∠DCB=9一7m5 在△EFB中，∠A-0,∠E-3, 蓝力在域 5如梨三角形岭周条边的平方和等于第三效的平为：事么运 制力在线 ∠BFE■'，冒EF⊥AB B1C.到2智28 个角后是直角三角形 m,0gA10B11,1110 (2如丽，连接BD 14,114-r s.AB.CD.GN 7.2 13.IDE晴.￥∠AnC=∠ADC=,E为AC的中点， :△AC是等边三角表 5.D5x=10-=26,=4, (2)ADLBC. ,BE为R△ADC解边上的中解，DE为R△ACD割边 ∠A= ,A=AC心-C,A-AP- 2=16间.=8762=575. 上的中线， ?D为C的中或， ,3-(14-x■15-. “100十56=70，即✉+2=9， E=CDE青AC品服=En ÷LDBC-∠ABD-T∠ABC-3 解得=， “此三角形是直角三角形，∠》是直角 20x=,dmT=9.a=25,=49,28 (2)EF看直平分BD.延W如下， 由)阅∠E=0r,∠DC=∠E,DE=D (3)由(.料AD=√A形=下-√1-12 出5十程=74*1， BE=D,EF平分∠ED V∠BFE-9,∠ABD-3, P上D且F-0 5=-变x·AD-x14×B-码 “此三角卷不是直角三角形 4.BD-2DF.&DE-2DF 即F垂直平分心 11,(1》由题意写得 陌属在线 《)54-,4-5-9, =4,N=32-7 14.1)如图①A图略)，CDLD∠BDC=的. An=1×18=所寿厘， 15.(1)∠B=0AB=16m:AC=20n ”4+3=1,目+8=2 ∠8-8.∠CD=时-∠B=34 Y∠NAC-1,∠NBC=3, BC=Ac-A区2四-IW-2m 此三角形是直角三角形，∠C是直角 裙⊥AC于点E.∠DC-0 ∠ACB=∠NC-∠NAC=1聘 《2)”山P在站AC的形直平分线上， 9.D '∠EDC=G0', .∠ACB=∠NMC PCPA cm:PB016-t em. ∠DCE-9-∠EDC-8. 同力在成 ∴BC=AN=36C海里 在R△APC中，C十P甲=C1, ∠ACB-∠D-∠DCE-5"-0'-2 10D11B2,21山，34,24m ,城青凸B到灯塔C的厘离为3非青里 《)”AC平分∠徵D. 里1+6-护-r,解得一受 1系.11E明：0-19，CGD=6.D-8- (争会有触速处脆.程由如下， ∠DCA-∠ACL 如图，谨点C作E⊥AN,交AN于点B, “车一碧时，点P在边C的用直界分线上比时点Q BC==CD+以=+ ∠BDC-90”. '"∠ADE+∠DE=∠DCE+∠CDE=9W: ∠A=9片 较△H是直角三角形 品∠ADE=∠DE :∠NC-.Cf-子C-士×5-i制海第 茶储的降根为8X费-25(m>1壮m 廿AF⊥AC,DE⊥AC,BFDE 2D0AB=C=x.AD=主一5 点Q边C上，0Q=25一12=13(m. ∠PHA=∠A减 :1球海里<0海里， ∠ADB=∠BDC=的' 第2课时与胶究理的实除症两 .转∠ACB相等的角有∠BCA,∠ADE,∠FHL 二妇是轮自不议变方宾增候向前蓝有，会有触庭意响 AP-Al+B 蓝速在线 拓属在域 阿展在战 =(-)+ 1.D2A3.B4.C5.Bt.A3.C 15,4"减38 1232 K设AD-x,第延意，得 都件2一票放AB-兰 第2课粉 含0“角的直角三角形的性质及芹虚两 1五家D的中点多，连接A民 (10+xY+15-10=1-x)', 后展在线 蒂随在线 FADLAC, 解得x地2. 16.B LC 23 ∠CAD=0 树高B为12鸟 1,由题意.得△PAC2△PAB 深究在线·八年级收学（下）·X灯 17 .PA=PA=,P8=-10,∠"AH=∠A日 ∠MCD=0 .∠CD=∠AN》十∠A'=0+0°=1g, .△AIma△A .∠严AP=∠AC=0m 二闲边第ABCD的围职为号X5×2-子×3×4-2 (3)如阳，诗点0作D店⊥突(O的起长找于点 )H△ABX9△AG,,G=FC △PAP为等边三角形. F∠0D=10,,∠D0E=aB 量G=FG=,周GC=6一 P'P PA6. 4,如图，感长AD至点E,使ED= 在△BPP中，矿m十P=+-PB, AD.盗接HE 0c-80w-1DE-0m-1 E为CD的中ACE-F-E7CD-& ÷∠rPw=30÷∠AN=T+99=14 ,D为的中点 .5G=1+. 微专■！巧用勾望定理求量短喜径的长 CD BD. $om-C:成-子Xx1- ,在R△CEB0中，由有歌定理，期CE十C=BC, 又AD=D,∠AC=∠EDB 起图，直接 L.10 图护十(4一x=3+x,解得=么.kG=么 2,如国，作出点A美于河岸MN的对臀 ÷△Aa△EDHCSAS 由慧意创知△A☑△额E, s.4 -AC-13. CE=AE=1,BE-E=2,∠ABE 点A, 阶段剩评1(1.1一1) 蓬腐AB交MW于点P,毫候AP,则 A十桂第 在AABE中，AE=2AD=I2,L=5, ∠C8E, 1.A2B3.C4.A五.Af.B AP十PB=AP十PB=A'B黄是0面 1A2+AF=12十分=15， F∠ABE+∠EHC=W, 鞋程 义：E=1°=16网.A径十AP=甲 ,∠CBE+∠EBC-时，厚∠EBE=9 ,7防88身答16.的1.00法.101 由与霍定理，得EE一 在△A'Dn中，AD=4十4十T=15km,D-月km △A非基直角三角形，且∠AE=阳广，知AD1AD 1&:在△AC中，∠C=9时，∠BAC= i.,AC=C.∠CBm0, 在△EEC中，CE+EE一1+B=9-CE ∠B3 由句数定理.对A'8=四+-17(km) 将△ACM镜点C地时特旋转，可得△CD,连搜 由匀重定理的通克理可矩∠EEC=6: :AN平分∠AC:,六∠CAM-∠AM-3 即德要完度这特事情爬委的品短醇程品订m ￥∠EBE=0,E=8E, ND,如图所示 ÷∠B-∠L4MM=AM=1克 3.13cn 点∠BEE=∠EE=45 ∠A=∠D,C3=CD,D=A制 ,在R△AC中.∠CAM=39', 4(1)圆腰 “.∠BC=∠吉E+∠F5C=45+=15 (3)鼎形助手楼作略 散麦题3勾经定理中的数学思想 ∴CW-支AM-7. W∠MCV=4梦， (3)起式之体因形的侧四居开，如用离 ∠DCN=∠MCN=4 110或 ∴DC-C+M-7.+15-225m 术，莲膜AC,期AC为解中果行的量短 又廿CN=N,÷△MCN2△Ns4s 2在△A℃中，∠A=90,AI=3,C-4, 4如图所承.（案不一 降视 ∴.DN=IMN= 由女登定，得AC心一A十C一+=。 (4)由题盘易知=5，在白△AC中，由妇数定理，特 所AC=3, 又晨理∠A=∠BM■45 AC=10时+=15 ∠NBD=∠GBM+∠C8D=∠CBM+∠A= 过点B作D⊥C于点D,则5g一专AB,BC 放解牛角行的最期群围的平者为18 二△ND为直角兰角形，厚以2,4，山为边袋的三角形是 6.B.1山0 直角三角形， 言AC·D,所以D- 天：u是△AC每进A8上的中线，CD=d 微专题2，利用每散定理判定直角的六种凳月方法 品.如图，连接CD 过点H的直线把△AC分制成两个三角形，使其中只有 CD-CM-BM-AM. L(DCELAB. "DH2DW.∠MDC+∠CDW= 一个等颗三角形，如周，有三种帮况 ∠Am∠DC3M, ∠ABC=∠EC90 :∠ACB=则'，AC=C,D为AB的中点 ∠CD国-∠DMC 在△r中，Ev-期-√一（号了一号 D肖AB-AP-8时，知，S4=APD CD⊥AB.∠AGCD=∠D=4B∠A= ∠A=∠DX4=1”-∠CDM ∠B=5 号×3×2.4-点4， 又：∠E+∠CN=w, 在△Ar中-m--√-(T-要 ∠CDN+∠NDB=o.∠MDC=∠ND8 ∠A=1800-2(0-∠D @当AB BPm3时，如图心，在R△ABD中，由制量定 ∠D=∠B=,CD=H (2)王明：B=1,AC=18 罪.别A=A㎡一B=1.8,脂AD=LB, +∠A-2∠E,∠E-吉∠L I.∠N=∠NDB, A桥=(g+A=四 保A-A》-1,4,所以8和w一子·D 16(1)证到，AC-30km-C-80m:AB=i00kn: 在△CD将△HND中，《CD=D, DC+AC-AD AC+BCAH. ,△AC是直角日角形. L∠MCD=∠NBD45 ×3.6×-43 :△A是直角三角丞 △CMD2△EVD(ASA).CM=BN. 2.如周连接AE设CE一a,期BC一a:BE ÷.∠ACI=90' -14 .CM+CN-BN+CN-AC D当CH-GP-4时，如w0.8gsr-CP·B- (2海露C受台风思响 又世A评=AC+心= 国边卷ACD为正方彩 理由如下，如悟，过离C作CD .AB2CM+CNY. AB=AD=CD=BC=4起 ⊥AB于点D F为CD的中A:DF=CF2a 1,1山△CCD是等腰已角形 上听注.等顺三角形的面积可能为3,6,4，44 理当，：在：△AaC中，O是AB的中 号m-YAC,BKC-H·D =+C=+(2JP-5w2,A-A+的 高0C-B CDCC0x40() (a1+(8)=a 号在△ABD中，O是AH的中息： ?256>240,品青港C受但风影响 2a+a=25d, Xt 4B AF+EP-AE ÷00-子AL 点(1》证明：在正方形ABD中，AD=A8=C=D=s, (U当一250km,℃一50时，E好影麻C灌可 丝民△ED中，山句段宽理.料 ·∠AF式=行，即∠AP然是直角 ∴0C一0二△0风D是等要三角形 由所量的性质，可知AD一AF, 司建AC ABAF. ED-√E-Cf-v20一2-7m1. B片AC=,0是AB的中点，“C⊥A机 YG平分∠BAF,h∠BG=∠FAQ F=1的k属 ∠B=9 ∠从C=时.由围意幕得OD=0进 ABAF ,台风给浦震为0n/h C-y+= ∠0DB-∠O8D 在△AG和△AFG中，∠HG-∠FG 140+40=a.5h1 “+t婴=， 片∠A8-30,“∠00=3，∠A0D= AG-AG. :台风影有填南塘持续的时间为工5 18 深究在线，八年组数学（下）+灯1.2 直角三角形的性质和判定（‖) ©第1课时 勾股定理 ①基础在线 免要点分类结 6.(教材P11练习变式)在Rt△ABC中，∠C= 90°，AB=c,BC=a,AC=b. 知识点1勾股定理 (1)a=6,c=10,求b: 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2, (2)a=40,b=9,求c: BC=5,则AB= (3)c=34,ab=815,求a,b. A.2IB.√29 C.v26 D.6 第1题图 第2题图 2.(鞍山期中)如图，当正方形B的面积为64，正 方形C的面积为100时，正方形A的面积为 ( ) A.36 B.25 C.16 D.6 3.如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的 知识点2勾股定理的验证 边长都是1)中，标记格点A,B,C,D,则下列 7.在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图 线段长度为√/10的是 ( 所示两种方案，则方案正确的是 A.线段AB B.线段BC C.线段AC D.线段BD ·D A 之10 A.甲对 B.乙对 第3题图 第4题图 C.两人都对 D.两人都不对 4.(教材P17习题T5变式)如图，边长为1的正 易错点 直角边不确定时漏解 方形ABCD,AB在数轴上，点A在原点，点B 8.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4， 对应的实数为1，以点A为圆心，AC长为半径 则第三边长为 逆时针画弧交数轴于点E,则点E对应的实数 () 是 A.5 B.7 C.7 D.7或5 A.-1-√2 B.2 2 能力在线沙方法规律嫁合鳞 C.2 D.-2+2 5.(中考·郴州)如图，在Rt△ABC 9.(教材P16习题T3变式)（益阳期末）如图，在 中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, 四边形ABCD中，∠D=∠ACB=90°，CD= 点M是AB的中点，则CM= 12,AD=16,BC=15,则AB= () A.20 B.25 C.35 D.30 5探究在线八年级数学（下）·X灯 题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答 过程. (1)作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含x的 S 代数式表示CD,则CD= 第9题图 第10题图 (2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建 10.(中考·日照)已知直角三角形的三边a,b,c 立方程，并求出x的值： 满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方 (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角 形，把两个较小的正方形放置在最大正方形 形的面积. 内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为 S1,均重叠部分的面积为S2,则 ( A.S>S B.S<S C.S=S D.S,S大小无法确定 11.如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意 图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若 AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示 的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( ③拓展在线沙螃化找尖撰升续。 15.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm, AC=20cm,P,Q是△ABC边上的两个动 点，其中点P从点A开始沿A→B方向运 动，且速度为1cm/s,点Q从点B开始沿B 图TD 图2 C→A方向运动，且速度为2cm/s,它们同 A.36 B.76 C.66 D.12 时出发，设运动的时间为ts 12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC (1)求BC的长： =5,BC=12,那么AB边上的高CD为 (2)当t为何值时，点P在边AC的垂直平分 线上？求出此时CQ的长. 第12题图 第13题图 13.(中考·凉山)如图，在Rt△ABC纸片中， ∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将 △ACD沿CD折叠，当点A落在点A'处时， 恰好CA'⊥AB,若BC=2,则CA'= 14.(金安区校级期未)如图，在△ABC中，AB=15, BC=14,AC=13,求△ABC的面积 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解 第1章6 ©第2课时 勾股定理的实际应用 基础在线沙知识点分类 5.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在桌面上，固 定两端A和B,然后把中点C向上竖直拉升 知识点勾股定理的实际应用 3cm到D点，则橡皮筋被拉长了 () 1.(广阳期末)第27届LG杯世界棋王赛决赛于 A.3 cm B.2 cm 2023年2月举行，这也是2023年第一个世界 C.4 cm D.2.5 cm 围棋大赛决赛.如图是一个围棋棋盘的局部， 若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则 黑、白两棋子的距离为 A.2 B.,3 第5题图 第6题图 C.2、5 D.25 6.(鸡西期中)如图，将一根长为18cm的牙刷放 置在底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形牙 刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小为( A.5 cm B.6 cm C.7cm D.8 cm 第1题图 第2题图 7.如图，有一架秋千，当它静止时， 2.(中山期未)如图，A,C之间隔有一湖，在与AC 踏板离地0.5米，将它往前推 方向成90°角的CB方向上的点B处测得AB 3米时，踏板离地1.5米，此时秋 500m,BC=400m,则AC的长为 千的绳索是拉直的，则秋千的长 A.300m B.400m 度是 C.500m D.600m A.3米 B.4米 3.如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面 C.5米 D.6米 6m,树的顶端离树根8m,则这棵树在折断之 8.(教材P29复习题T8变式)如图，AB为一棵 前的高度是 大树，在树上距地面10m的D处有两只猴 A.18m B.16m 子，它们同时发现C处有一筐水果，一只猴子 从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑 C.14m D.24m 到C处，另一只猴子从D滑到B,再由B跑到 C处，已知两只猴子所经过的路程都为15m, 求树高AB. 第3题图 第4题图 D 4.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米， 两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到 一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 A.6米 B.8米 C.10米 D.12米 7探究在线八年级数学（下）·X灯 ②能力在线》 方法规律综合紫. (1)求小明与小亮之间的距离CD(结果保留 根号)： 9.(淮南期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙， (2)若风筝A在小明的北偏东45°方向上，且 一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的 高度AB为60米，AB⊥GB,求此时风筝A 距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保 到小亮的距离AD. 持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时， 顶端距离地面2米，则小巷的宽度为() A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 10.如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯 子底端离墙7米，如果梯子的底部在水平方 向上向右滑动了8米，那么梯子的顶端下滑 米. D 图① 图② 3 拓展在线沙烤犹发尖提升练…， 第10题图 第12题图 14.(昌平区二模)船航行的海岸附近有暗礁，为 11.(中考·东营)一艘船由A港沿北偏东60°方 了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立 向航行30km至B港，然后再沿北偏西30 两座灯塔，只要留心从船上到两个灯塔间的 方向航行40km至C港，则A,C两港之间的 角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如 距离为 km. 图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D, 12.如图是一台多功能手机支架，图②是其侧面 P,M,N是网格线交点，当船航行到点P的 示意图，DE为地面，支架CD垂直地面，AB, 位置时，此时与两个灯塔M,N间的角度 BC可分别绕点B,C转动，测量知AB= (∠MPN的大小)一定无触礁危险.那么，对 30 cm,BC=20 cm,CD=15 cm.AB,BC 于A,B,C,D四个位置，船处于 时，也 转动到∠BCD=120°，且A,C,D三点共线时， 一定无触礁危险 则点A到地面的距离为 cm. P 13.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”如图， 小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处， DG⊥GB且DG=10米，CG=60米，CE⊥ GB.(不考虑两人身高，点G,C,B在同一水 A.位置A B.位置B 平线上) C.位置C D.位置D 第1章8 ©第3课时 勾股定理的逆定理 基础在线沙知识点分恭 6.(洛阳期中)如图，在正方形网格中，每个小正 方形的边长都是1，有AB,CD,EF,GH四条 知识点1 勾股定理的逆定理及应用 线段，其中能构成直角三角形三边的线段是 1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是 7.若一个三角形的三边长分别是m十1，m十2， A.8,15,17 B.4,5,6 m十3，则当m=时，它是直角三角形 C.5,8,10 D.8,39,40 8.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a, 2.如图，正方形网格中△ABC,若小方格边长为1， b,c,判断下列三角形是否为直角三角形？并 则△ABC是 判断哪一个角是直角？ (1)a=10,b=26,c=24; A.直角三角形 B.锐角三角形 C.饨角三角形 D.以上答案都不对 3.一个三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a +b)(a一b)=c2,则这个三角形是 (2)a=5,b=7,c=9: A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 4.若a,b.c满足(a-5)2+b-121+√(c-13) =0,则以a,b,c为边的△ABC是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 (3)a=2,b=√3，c=√7. 5.(教材P17习题T6变式)古埃及人曾经用如 图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离 的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、 5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三 角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是 3 (2)K12 知识点2勾股数 3 1 9.(贵州期末)下列各组数中，是勾股数的是() 4 (10 商 A.6,8,12 B.0.6,0.8,1 第5题图 第6题图 C.8,15,16 D.9,12.15 探究在线 八年级数学（下）·X灯 2 能力在线沙方法规律综合然 15.(天门期末)如图，已知△ABC中AB=AC,BC =10,D是AC上一点，且CD=6,BD=8. 10.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角 (1)求证：△BDC是直角三角形： 边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 (2)求AB的长. 古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与 股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10：8,15， 17…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为 正整数)，则其弦（结果用含m的式子表示） 是 ( A.4m-1 B.4m2+1 C.m2-1 D.m2+1 11.(鞍山期未)如图，学校在校园围墙边缘开垦 一块四边形菜地ABCD,测得AB=9m,BC =12m,CD=8m,AD=17m,且∠ABC= 90°，这块菜地的面积是 A.48m B.114m C.122m D.158m ③拓展在线沙烤优我尖提升练 16.如图，在正方形网格内，A,B,C,D四点都在小 方格的格点上，则∠BAC+∠DAC=() 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，E为AC的中点，其中 BD=1,DC=3,BC=√10，AD=、7,则DE A.30 B.45 C.60° D.75 13.如图，方格中的点A,B,C,D,E称为“格点” 17.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6, (格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶 PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针 点画三角形，共可以画 个直角三角形. 旋转后，得到△PAB,求点P与点P'之间的 距离和∠APB的度数. A BC 14.如图，已知△ABC的三边长分别为6cm, 8cm,10cm,分别以它的三边为直径向上作三 个半圆，则图中阴影部分的面积为 第1章10 微专题1巧用勾股定理成最短路径的长 型①用平移法解决平面中的距离问题 (二)圆锥中的最短问题 1.暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游， 4.如图，观察图形解答下面的问题： 按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东 (1)此图形的名称为 走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西 (2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形， 走3km,再折向北走6km处往东一拐，仅走 并把它的侧面沿AS剪开，铺在桌面上，则它 1k就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的 的侧面展开图是一个 (3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗 直线距离为 km. 牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能 去母宋就点 绕此立体图形的侧面爬行一周到C处.你能在 侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ 2 (4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为 登陆点8 90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方. 堡愈②用对称法解决平面中的最短问题 2.【应用意识】如图，一个牧童正在小河南4km 的A处牧马，此时正位于他的小屋B的西 8km,北7km处，他想把他的马牵到小河边 去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的 最短路程是多少？ 222 M A:牧帝 北 (三)长方体中的最短问题 东 Da... 5.如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长，宽 小屋B 分别为8cm和6cm、高为10cm,将一支长为 18cm的签字笔放人笔筒内，则签字笔露在笔 筒外的长度最少为 () A.10 cm B.(18-102)cm C.8 cm D.10√2cm 单位：cm 50B 类型③用展开法解决立体图形中的最短 问题 (一)圆柱中的最短问题 3.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃 第5题图 第6题图 杯的点A爬到点B处（点A,B 6.如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分 均在玻璃杯外部)，如图所示，已 别是50cm,30cm,10cm,点A和点B是这个 知杯子高8cm,点B距杯口3cm,杯子底面半 台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从A点 径为4cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短路程 出发，沿着台阶面爬向B点去吃可口的食物.请 为 .(π取3) 你想一想，这只壁虎至少需要爬 cm. 11探究在线八年级数学（下）·X灯 44 微专题2利用勾股定理判定直角的六种常用方法>，· 分选①利用三边的数量关系证明直角 击②利用转化为三角形法构造直角三 1.如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E,AC=4, 角形 BC=3BE-号 3.(大连期末)如图，在四边形ABCD中，AB=4, BC=3,CD=12,AD=13,∠B=90°，求四边 (1)求AE的长： 形ABCD的面积. (2)求证：△ABC是直角三角形. 方选③利用倍长中线法构造直角三角形 4.如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB=5, 2.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E AD=6,AC=13.求证：AB⊥AD. 为BC上一点，且CE=}BC 求证：∠AFE是直角. 第1章12 陆④利用化分散为集中法构造直角三7.如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB= 角形 ∠ADB=90°，AC=BC,∠ABD=30°，O是 5.如图，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上 AB的中点，连接DC,OC,OD. 取两点M,N,使∠MCN=45°，设AM=a, (1)判断△OCD的形状，并说明理由： MN=x,BN=b,判断以x,a,b为边长的三角 (2)求∠COD的度数： 形的形状. (3)若CO=2,求△OCD的面积. 方陆⑤利用“三线合一“"法构造直角三角形 6.如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，D 为AB的中点，M,N分别为AC,BC上的点， 且DM⊥DN.求证：AB=2(CM+CN). 方法6 利用旋转法构造直角三角形 8.如图，E是正方形ABCD内一点，连接AE, BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到 △CBE的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,求 ∠BEC的度数. 13探究在线八年级数学（下）·X灯 4 微专题3勾股定理中的数学思想 类型①分类讨论思想在勾股定理中的应用 4.(宝鸡一模)如图，∠AOB=90°，OA=25m, 1.在Rt△ABC中，AB=8,BC=6,则以AC为 OB=5m,一机器人在点B处看见一个小球从 边的正方形的面积为 点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人 2.在R1△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4, 立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球， 过点B的直线把△ABC分割成两个三角形， 恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速 使其中只有一个是等腰三角形，求这个等腰三 度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走 角形的面积 的路程BC是 () A.12米B.13米C.14米D.15米 5.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边 CD的中点，将△ADE沿AE折叠，得△AFE, 延长EF交BC于点G,连接AG,AG平分 ∠BAF. (1)求证：△ABG≌2△AFG: (2)求BG的长. 类型②方程思想在勾股定理中的应用 类型③ 转化思想在勾股定理中的应用 3.如图，R1△ABC的周长为24，∠C=90°，且 6.在直线1上依次摆放着七个正方形（如图所 AB:AC=5:4,则BC的长为 示).已知斜放的三个正方形的面积分别是1， 2,3,正放的四个正方形的面积依次是S,S:, S,S4,则S1+S2+S十S,= 09 第3题图 第4题图 第1章14