精品解析：云南省玉溪市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

玉溪市2024~2025学年秋季学期期末高二年级教学质量检测 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 6 3. 已知等比数列满足，则（ ） A. 9 B. 36 C. 54 D. 72 4. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，M在PA上，N在BC上，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某学校组织学生开展环保知识测试活动，现把100名学生的成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图，根据图中数据得（ ） A. ，此样本数据的66%分位数为82.5 B. ，此样本数据的66%分位数为82.5 C. ，此样本数据的66%分位数为85 D. ，此样本数据的66%分位数为85 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（ ） A. B. C. 4 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆的一般方程为，则（ ） A. 该圆圆心坐标为 B. 该圆圆心坐标为 C. 该圆半径为5 D. 该圆半径为 10. 已知函数的定义域为，，是偶函数，，，且，有，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数的图象大致如图，则（ ） A. B. C. 向右平移个单位后得到一个偶函数 D. 向右平移个单位后得到一个偶函数 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的焦点坐标为_____________． 13. 已知向量，，若，则________. 14. 已知等边三角形ABC内一点O到边AB，BC，AC的距离分别为2，3，4，则________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若对，恒成立，求实数k的取值范围. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，. （1）证明：平面； （2）求PB与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的左支相交于P，Q两点，满足，且，. （1）求双曲线C的方程； （2）过点与直线PQ平行的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的面积. 19. 设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式. （1）求； （2）若切比雪夫多项式，求的值； （3）已知函数在上有3个不同的零点，分别记为，，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪市2024~2025学年秋季学期期末高二年级教学质量检测 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集，可得答案. 【详解】由题意可得，，，所以. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】整理复数的标准式，根据模长公式，可得答案. 【详解】由，得，∴. 故选：C. 3. 已知等比数列满足，则（ ） A. 9 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】设出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式化简等式，可得答案. 【详解】因为数列为等比数列，设等比数列的公比为， 因为， 则，可得，解得， 所以. 故选：B. 4. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，由此可得双曲线的右焦点，得到，解得，再根据渐近线方程公式计算. 【详解】由椭圆，易知其右焦点坐标为， ∴双曲线的右焦点为，则，得到. ∴该双曲线的渐近线方程为. 故选：A 5. 在三棱锥中，M在PA上，N在BC上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】M在PA上，N在BC上，且，， . 故选：B. 6. 某学校组织学生开展环保知识测试活动，现把100名学生的成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图，根据图中数据得（ ） A. ，此样本数据的66%分位数为82.5 B. ，此样本数据的66%分位数为82.5 C. ，此样本数据的66%分位数为85 D. ，此样本数据的66%分位数为85 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率和为1可求，利用百分位数的定义可求66%分位数，从而可得结论. 【详解】由频率分布直方图得：，解得， 数据在的频率为，数据在的频率为0.84， 因此此样本数据的66%分位数，由，解得， 所以估计此样本数据的66%分位数为82.5. 故选：B. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的余弦与切化弦可求得，进而利用两角差的余弦公式可求值. 【详解】因为，， 所以， 解得， 因此. 故选：A. 8. 如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量定义求出夹角的余弦值，进而可得其正弦值，再根据向量积的定义可求得结果. 【详解】在正方体中，因为，且， 所以， 所以， 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆的一般方程为，则（ ） A. 该圆圆心坐标为 B. 该圆圆心坐标为 C. 该圆半径为5 D. 该圆半径为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 10. 已知函数的定义域为，，是偶函数，，，且，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得函数的单调性与对称性，由此检验各个选项，可得答案. 【详解】因为，且，有，所以在上单调递减， 又是偶函数，则的图象关于直线对称， 故的图象关于直线对称，则，故A正确； ，故B不正确；，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 11. 设函数的图象大致如图，则（ ） A. B. C. 向右平移个单位后得到一个偶函数 D. 向右平移个单位后得到一个偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】由可求得判断AB；利用，可得，进而结合已知可求得，可求得向右平移个单位后得到判断C；向右平移个单位后得到判断D. 【详解】由图知，∴， 又∵，∴，故A不正确，B正确； ∵，∴，， 又∵，，∴，∴， ∴，∴向右平移个单位后得到，故C正确； ∴向右平移个单位后得到，故D不正确. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的焦点坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】 将抛物线的方程变为标准形式，由抛物线的几何性质可求得答案． 【详解】将抛物线的方程整理为标准形式，得， 则该抛物线的焦点在y轴正半轴，坐标为． 故答案为：． 13. 已知向量，，若，则________. 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，可得答案. 【详解】由题意，得，则，解得或4. 故答案为：或. 14. 已知等边三角形ABC内一点O到边AB，BC，AC的距离分别为2，3，4，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，利用图形的组合可得面积的等式，建立方程，可得答案. 【详解】连接OA，OB，OC，设，则，，解得. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若对，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由不等式与方程的关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案； （2）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以的两根为和3， 所以解得. 【小问2详解】 由（1）得， ，，即， 因为当时，单调递增， 所以，即，解得. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质求出公差后，可得通项公式；（2）用分组求和法． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由，得， 解得，， 所以 【小问2详解】 于是有， 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，. （1）证明：平面； （2）求PB与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 由，，，得， 而，则，又，平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 又，设PB与平面成角， ， 所以PB与平面所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的左支相交于P，Q两点，满足，且，. （1）求双曲线C的方程； （2）过点与直线PQ平行的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：设，，根据双曲线定义可得，再根据勾股定理求；解法二：设，，根据题意结合双曲线的定义求； （2）可知直线l的斜率为，联立方程求交点坐标，即可得面积. 【小问1详解】 解法一：由，设，， 由，得， 则，， 而，解得， 因此，， 令，在中，由， 得， 则， 由，可得， 所以双曲线方程为C：； 解法二：由题意，设，， 所以， 设，则①，， 所以②， 由①②解得，， 又因为，所以， 因为，所以，， 所以， 所以双曲线方程为C： 【小问2详解】 由（1）得：， 结合对称性，图中P，Q位置可互换，则直线PQ的斜率为，故直线l的斜率为， 设点，， 当直线l的方程为时，联立， 可得，解得，，， 因此， 结合对称性，当直线l的方程为时，结果不变， 综上：的面积为. 19. 设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式. （1）求； （2）若切比雪夫多项式，求的值； （3）已知函数在上有3个不同的零点，分别记为，，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿造切比雪夫多项式结合余弦二倍角公式直接求出即可； （2）仿造切比雪夫多项式再结合余弦展开式和余弦二倍角公式，待定系数法求出即可； （3）先将问题转化为方程在上有3个不同的实根，再令，联系切比雪夫多项式，再结合余弦展开式和特殊角的余弦值求解； 【小问1详解】 因为， 可得切比雪夫多项式 【小问2详解】 因为 ， 因此，即， 则，，， 所以. 【小问3详解】 函数在上有3个不同的零点，，， 即方程在上有3个不同的实根. 令，， 由（2）知，而， 则或或， 于是，，， 则， 而 所以， 【点睛】关键点点睛：本题前两问的关键是能够理解多项式新定义；第三问的关键是将方程在上有3个不同的实根后结合多项式的新定义和余弦展开式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $